浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第41講 課本題改編型問題講解篇

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1、 第41講　課本題改編型問題 內(nèi)容 特性 課本中例題、習(xí)題是針對教材內(nèi)容而設(shè)置，具有示范性、典型性和代表性，例題、習(xí)題是學(xué)業(yè)考試試題和模擬試題編制的題源，這種“源于課本，又高于課本”的考題，既立足教材，又遷移了教材中解決問題的基本思想和方法，對教材中問題的適當(dāng)拓展或延伸，改變題目的原有呈現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)問題的推陳出新. 解題 策略 通過課本中例題、習(xí)題的基本解題思路和改編后問題的結(jié)構(gòu)去進(jìn)一步探索，結(jié)合縱向、橫向思考，特殊到一般等數(shù)學(xué)方法. 基本思想 類比思想、特殊到一般、運(yùn)動變換思想體現(xiàn)較多. 類型一　以題改題－情景不變，內(nèi)容改變 　課本的作業(yè)題中有這

2、樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法． 我們有多少種剪法，圖1是其中的一種方法： 定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線． (1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種) (2)△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，設(shè)∠C＝x°，試畫出示意圖，并求出x所有可

3、能的值； (3)如圖3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長． 　【解后感悟】本題的母題在浙教版教材八上第63頁探究活動．問題通過課本題再賦予新的定義，進(jìn)行了類比探究，豐富問題內(nèi)含．考查了學(xué)生學(xué)習(xí)的理解能力及動手創(chuàng)新能力，知識方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角間的關(guān)系及等腰三角形知識，是一道體現(xiàn)能力的題目． (浙教版教材八上，第86頁第16題) 1．已知△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是直線BC，AC上的點(diǎn)，直線AE、BF相交于點(diǎn)P，且CF＝k·BE，∠BAC＝α. (1)若點(diǎn)E、F分別是邊BC，CA上的點(diǎn)． ①如圖1

4、，k＝1，α＝60°，求∠APF的度數(shù)； ②如圖2，k＝，α＝120°，求∠APF的度數(shù)； (2)如圖3，若點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在CA的延長線上，k＝，α＝120°，求∠APF的度數(shù)． 　　　　　　　　 類型二　以題生題－借助習(xí)題，拓展問題 　(2015·溫州)各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)(橫豎格子線的交錯點(diǎn))上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形．如何計算它的面積？奧地利數(shù)學(xué)家皮克(G.Pick，1859～1942)證明了格點(diǎn)多邊形的面積公式：S＝a＋b－1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積．如圖，a＝4，b＝6，S＝4＋×6－1＝6. (1)請在圖1

5、中畫一個格點(diǎn)正方形，使它內(nèi)部只含有4個格點(diǎn)，并寫出它的面積； (2)請在圖2中畫一個格點(diǎn)三角形，使它的面積為，且每條邊上除頂點(diǎn)外無其他格點(diǎn)． 【解后感悟】本題的母題在浙教版教材八下第103頁課題學(xué)習(xí)．本題是應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是理解皮克公式，根據(jù)題意求出a、b的值． (浙教版教材八下，第132頁第11題) 2．(2017·湖州)已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O. (1)如圖1，E，G分別是OB，OC上的點(diǎn)，CE與DG的延長線相交于點(diǎn)F.若DF⊥CE，求證：OE＝OG； (2)如圖2，H是BC上的點(diǎn)，過點(diǎn)H作EH⊥BC，交線段OB于點(diǎn)E，連結(jié)DH交C

6、E于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G.若OE＝OG， ①求證：∠ODG＝∠OCE； ②當(dāng)AB＝1時，求HC的長． 　　　　　　 類型三　借景編題－利用材料，設(shè)置問題 　如圖的一座拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面4m，已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若選取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時的拋物線解析式是y＝－(x－6)2＋4，則選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時的拋物線解析式是________________________________________________________________________． 【解后感悟】本題的母題在浙教版教材九上第17頁探究活動．此題

7、主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵． (浙教版教材九下，第10頁第5題) 3．(2015·衢州)如圖，已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份，從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60cm長的綁繩EF，tanα＝，則“人字梯”的頂端離地面的高度AD是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm 類型四　多題聯(lián)題－利用習(xí)題，組合編題 　已知甲、

8、乙兩地相距90km，A，B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動車，圖中DE，OC分別表示A，B離開甲地的路程s(km)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問題． (1)A比B后出發(fā)幾個小時？B的速度是多少？ (2)在B出發(fā)后幾小時，兩人相遇？ 【解后感悟】本題的母題在浙教版教材八上第166頁第2題和第165頁例2.本題考查利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，準(zhǔn)確識圖并獲取信息是解題的關(guān)鍵． (浙教版教材九上，第149頁第5題和第136頁第6題) 4．銳角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，兩動點(diǎn)M、N分別在邊AB

9、、AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y ＞0)，當(dāng)x ＝　　　　　　　　，公共部分面積y最大，y最大值 ＝　　　　　　　　. 類型五　以題換題－結(jié)構(gòu)不變，情景改變 　(2016·紹興)課本中有一個例題：有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果制作窗框的材料總長為6m，如何設(shè)計這個窗戶，使透光面積最大？ 這個例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大值約為1.05m2. 我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解

10、答下列問題： (1)若AB為1m，求此時窗戶的透光面積？ (2)與課本中的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大？請通過計算說明． 【解后感悟】本題的母題在浙教版教材九上第24頁例1.此題主要通過例題的方法去解決新問題，正確表示出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵． (浙教版教材九下，第23頁第5題；浙教版教材九上，第148頁第2題) 5．如圖是一只球沿著斜面向下運(yùn)動的截面圖，球的半徑為0.24m，接觸點(diǎn)為B，BC＝6m，斜面坡角為α＝20°，求球最高點(diǎn)A離地面的距離AH. (精確到0.1m) (參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，ta

11、n20°≈0.36，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) 【課本改變題】教材母題－－浙教版教材八下，第127頁第4題 提出問題： (1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE＝DH； 類比探究： (2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； 綜合運(yùn)用： (3) 在(2)問條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求圖中陰影部分的面積． 【方法與對策】

12、本題通過課本題逐步深化，借助課本題模型聯(lián)系前后知識和方法設(shè)置問題，紹興市中考對該課本題也改編過．本題考查了三角形的綜合知識．用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大．這是中考課本題改編題的常用題型． 【求最值時，忽視自變量的取值范圍】 某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具． (1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元(x＞40)，請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤w元，并把結(jié)果填寫在表格中： 銷售單

13、價(元) x 銷售量y(件) 銷售玩具獲得利潤w(元) (2)在(1)問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應(yīng)定為多少元； (3)在(1)問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 第41講　課本題改編型問題 【例題精析】 例1　(1)如圖2作圖． (2)如圖3 ①、②作△ABC.①當(dāng)AD＝AE時，∵2x＋x＝30＋30，∴x＝20.②當(dāng)AD＝DE時，∵30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40.

14、 (3)如圖4，CD、AE就是所求的三分線．設(shè)∠B＝α，則∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此時△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，設(shè)AE＝AD＝x，BD＝CD＝y(tǒng)，∵△AEC∽△BDC，∴x∶y＝2∶3，∵△ACD∽△ABC，∴2∶x＝(x＋y)∶2，所以聯(lián)立得方程組解得即三分線長分別是和.　 例2　(1)畫法不唯一，如答圖1或2.　(2)畫法不唯一，如答圖3或4. 例3　由題意可得出：y＝a(x＋6)2＋4，將(－12，0)代入得出，0＝a(－12＋6)2＋4，解得：a＝－，∴選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時的拋物線解析式是：y＝－(x＋6)

15、2＋4.故答案為：y＝－(x＋6)2＋4. 例4　(1)由圖可知，A比B后出發(fā)1小時；B的速度：60÷3＝20(km/h)；(2)由圖可知點(diǎn)D(1，0)，C(3，60)，E(3，90)，設(shè)OC的解析式為s＝kt，則3k＝60，解得k＝20，所以s＝20t，設(shè)DE的解析式為s＝mt＋n，則解得所以s＝45t－45，由題意得解得所以，B出發(fā)小時后兩人相遇．　 例5　(1)由已知可得：AD＝＝m，則S＝1×＝m2， (2)設(shè)AB＝xm，則AD＝m，∵3－x>0，∴0

16、2>1.05m2，∴與課本中的例題比較，現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大． 【變式拓展】 1． (1)①∵AB＝AC，α＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∵k＝1，∴CF＝BE，∵∴△ABE≌△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠APF＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBF＋∠ABP＝60°；②∵CF＝·BE，∴＝，∵AB＝AC，α＝120°，∴＝.∵∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠APF＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBF＋∠ABP＝30°. (2)∵∴△ABE∽△BCF，∴∠CFB＝∠AEB，又∵∠CAE＝∠ FAP，∴∠APF＝∠C＝30°.　 2. (1)如題圖1中，∵四邊形ABC

17、D是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴△DOG≌△COE(ASA)，∴OE＝OG. (2)①證明：如題圖2中，∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE.②設(shè)CH＝x，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1－x，∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH

18、⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴＝，∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，解得x＝或(負(fù)值舍棄)，∴HC＝.　 3. B　4.3　6　 5.過點(diǎn)B作BE⊥AH，BF⊥CH，在Rt△OBE中，cos20°＝＝，∴OE＝0.24×cos20°≈0.23.在Rt△BCF中，sin20°＝＝，∴BF＝6×sin20°≈2.04，∴AH＝AO＋OE＋EH＝0.24＋0.23＋2.04＝2.51≈2.5m. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH.∴∠HAO＋∠OAD＝90°.∵AE⊥DH，∴∠ADO

19、＋∠OAD＝90°.∴∠HAO＝∠ADO.∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AE＝DH.(2)EF＝GH.將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM＝EF.將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN＝GH.∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根據(jù)(1)的結(jié)論得AM＝DN，所以EF＝GH； (3)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠AHO＝∠CGO，∵FH∥EG，∴∠FHO＝∠EGO，∴∠AHF＝∠CGE，∵∠A＝∠C＝90°，∴△AHF∽△CGE，∴＝＝＝，∵EC＝2，∴AF＝1，過F作FP⊥BC于P，根據(jù)勾股定理得EF＝，∵FH∥EG，∴＝，根據(jù)(2)知EF＝GH，∴FO＝HO.∴S△FOH＝

20、FO2＝×(EF)2＝，S△EOG＝EO2＝×(EF)2＝，∴陰影部分面積為. 【錯誤警示】 (1)銷售量y(件)：1000－10x；銷售玩具獲得利潤w(元)：－10x2＋1300x－30000； (2)－10x2＋1300x－30000＝10000，解之得：x1＝50，x2＝80，答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10000元銷售利潤． (3)根據(jù)題意得解之得：44≤x≤46，w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250，∵a＝－10＜0，對稱軸x＝65，∴當(dāng)44≤x≤46時，y隨x增大而增大．∴當(dāng)x＝46時，W最大值＝8640(元)．答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元． 10