3、個點到圓的最小距離為6 cm,最大距離為9 cm,則該圓的半徑是(C)
A.1.5 cm B.7.5 cm
C.1.5 cm或7.5 cm D.3 cm或15 cm
8.(2017·棗莊)如圖,在網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)中選取9個格點(格線的交點稱為格點).若以點A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi),則r的取值范圍為(B)
A.2<r< B.<r<3
C.<r<5 D.5<r<
第8題圖 第9題圖
9.(2017·淮北模擬)如圖,AB為⊙O的直徑,點C,D在⊙O上,已知∠AOD=50°,A
4、D∥OC,則∠BOC=65°.
10.如圖所示,在△ABC中,BD,CE是兩條高線,求證:B,C,D,E四點在同一個圓上.
證明:取BC的中點O,連接OD,OE,
∵BD,CE是△ABC的兩條高線,
∴∠BDC=∠BEC=90°.
∴OD=OE=BC=OB=OC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).
∴B,C,D,E四點在以點O為圓心,BC的一半長為半徑的圓上.
第2課時 垂徑分弦
01 基礎(chǔ)題
知識點1 圓的對稱性
1.兩個同心圓的對稱軸(D)
A.僅有1條 B.僅有2條
C.僅有4條 D.有無數(shù)條
5、知識點2 垂徑定理及其推論
2.(2018·張家界)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,OC=5 cm,CD=8 cm,則AE=(A)
A.8 cm B.5 cm
C.3 cm D.2 cm
第2題圖 第3題圖
3.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為M,下列結(jié)論不成立的是(D)
A.CM=DM B.=
C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD
4.(2018·蕪湖模擬)如圖,將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長為(D)
A.2 cm B. cm
C.
6、2 cm D.2 cm
第4題圖 第5題圖
5.如圖,在⊙O中,圓心角∠AOB=120°,弦AB=2 cm,則⊙O的半徑是2__cm.
6.如圖,⊙O的直徑為10,弦AB的長為6,M是弦AB上的一動點,則線段OM的長的取值范圍是4≤OM≤5.
7.如圖所示,在⊙O中,AB,CD為兩條弦,且AB∥CD,直徑MN經(jīng)過AB的中點E,交CD于點F,試問:點F是CD的中點嗎?
解:點F是CD的中點.
理由:∵直徑MN平分不是直徑的弦AB,
∴MN⊥AB.
∵AB∥CD,
∴MN⊥CD.
∴CF=FD.
∴點F是CD的中點.
7、
知識點3 垂徑定理的實際應用
8.(教材P16例3變式)(2017·安徽模擬)被譽為“中國畫里鄉(xiāng)村”的黃山宏村,村頭有一座美麗的圓弧形石拱橋(如圖),已知橋拱的頂部C距水面的距離CD為2.7 m,橋弧所在的圓的半徑OC為1.5 m,則水面AB的寬度是(A)
A.1.8 m B.1.6 m
C.1.2 m D.0.9 m
9.如圖所示,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧,即圖中,點O是的圓心,CD=600 m,E為上一點,且OE⊥CD于點F,EF=90 m,則這段彎路的半徑是多少?
解:連接OD.
設(shè)這段彎路的半徑為R m.
∵OE⊥CD,CD=600 m,
8、
∴DF=CD=300 m.
在Rt△DOF中,OD2=OF2+DF2,
即R2=(R-90)2+3002.
解得R=545.
答:這段彎路的半徑是545 m.
易錯點 忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”
10.下列說法正確的是(D)
A.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧
B.弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧,但不一定過圓心
C.過弦的中點的直徑垂直于弦
D.平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦
02 中檔題
11.(2017·合肥期末)如圖,已知⊙O的半徑為5,點O到弦AB的距離為3,則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有(C)
A.1個
9、B.2個
C.3個 D.4個
第11題圖 第12題圖
12.(2018·淮北相山區(qū)四模)如圖,⊙O過點B,C,圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部,∠BAC=90°,OA=2,BC=8,則⊙O的半徑為(C)
A. B.5
C.2 D.6
13.(2018·嘉興)如圖,量角器的0度刻度線為AB,將一矩形直尺與量角器部分重疊,使直尺一邊與量角器相切于點C,直尺另一邊交量角器于點A,D,量得AD=10 cm,點D在量角器上的讀數(shù)為60°,則該直尺的寬度為cm.
14.已知⊙O的半徑為5,弦AB=6,P是AB上任意一點,點C是劣弧的
10、中點.若△POC為直角三角形,則PB的長度為1或5.
15.如圖,直線AC與⊙O交于點B,C,直線AD過圓心O.若⊙O的半徑是5,且∠DAC=30°,AD=13,求弦BC的長.
解:過點O作OM⊥BC于點M,則BC=2MC.
∵AD=13,OD=5,
∴AO=8.
∵∠DAC=30°,
∴OM=AO=4.
在Rt△OCM中,
MC===3.
∴BC=2MC=6.
16.(2018·淮北模擬)一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OA=1 m,水面寬AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,求此時排水管水面的寬CD.
解:過點O作OE⊥
11、AB于點E,交CD于點F,連接OA,OC,
∵AB=1.2 m,OE⊥AB,
OA=1 m,
∴OE=0.8 m.
∵水管水面上升了0.2 m,
∴OF=0.8-0.2=0.6(m).
∴CF==0.8 m.
∴CD=1.6 m.
03 鏈接中考
17.(2017·合肥包河區(qū)二模)如圖,⊙O的半徑為5,弦BC=8,點A在⊙O上,AO⊥BC,垂足為D,E為BC延長線上一點,AE=10,則CE的長為2.
第3課時 圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系
01 基礎(chǔ)題
知識點1 圓心角
1.下面四個圖中的角,是圓心
12、角的是(D)
2.如圖,⊙O的半徑是1,B,C是圓周上的兩點,∠BOC=36°,則劣弧的度數(shù)是(B)
A.18°
B.36°
C.72°
D.條件不足,無法求出
3.已知⊙O的半徑為1,弦AB的長為1,則弦AB所對的圓心角為60度.
知識點2 圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系
4.(2018·淮北模擬)如果兩個圓心角相等,那么(D)
A.這兩個圓心角所對的弦相等
B.這兩個圓心角所對的弧相等
C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等
D.以上說法都不對
5.如圖,在⊙O中,若點C是的中點,∠A=50°,則∠BOC=(A)
A.40° B.45°
13、
C.50° D.60°
第5題圖 第6題圖
6.如圖,AB是⊙O的直徑,==,∠COD=35°,則∠AOE=75°.
7.如圖,D,E分別是⊙O的半徑OA,OB上的點,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,則與的長度的大小關(guān)系是相等.
8.如圖,AB,DE是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點,且=.BE與CE的大小有什么關(guān)系?為什么?
解:BE=CE.理由如下:
∵AB,DE是⊙O的直徑,
∴∠AOD=∠BOE.
∴=.
∵=,
∴=.
∴BE=CE.
9.(2018·安慶期末)如圖,M,N分別為⊙O中兩條不平行弦AB和CD的中點,
14、且AB=CD.求證:∠AMN=∠CNM.
證明:連接OM,ON.
∵O為圓心,M,N分別為弦AB,CD的中點,
∴OM⊥AB,ON⊥CD.
∵AB=CD,
∴OM=ON.
∴∠OMN=∠ONM.
∵∠AMN=90°-∠OMN,
∠CNM=90°-∠ONM,
∴∠AMN=∠CNM.
易錯點 對圓中的有關(guān)線段的關(guān)系運用不當而致錯
10.如圖,A,B,C,D是⊙O上的四點,且AD=BC,則AB與CD的大小關(guān)系為(B)
A.AB>CD
B.AB=CD
C.AB
15、6°,以點C為圓心,BC為半徑的圓分別交AB,AC于點D,E,則的度數(shù)為(C)
A.26° B.64°
C.52° D.128°
第11題圖 第13題圖
12.已知⊙O中,=2,則弦AB和2CD的大小關(guān)系是(C)
A.AB>2CD B.AB=2CD
C.AB<2CD D.不能確定
13.如圖所示,點A是半圓上一個三等分點,點B是的中點,點P是直徑MN上一動點.若⊙O的直徑為2,則AP+BP的最小值是.
14.如圖,∠AOB=90°,C,D是的三等分點,AB分別交OC,OD于點E,F(xiàn),求證:AE=CD.
證
16、明:連接AC.
∵∠AOB=90°,C,D是的三等分點,
∴∠AOC=∠COD=30°.
∴AC=CD.
又∵OA=OC,∴∠ACE=75°.
∵∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠OAB=45°.
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°.
∴∠ACE=∠AEC.
∴AE=AC.
∴AE=CD.
15.(教材P19例4變式)如圖,A,B,C為⊙O上的三等分點.
(1)求∠BOC的度數(shù);
(2)若AB=3,求⊙O的半徑長及S△ABC.
解:(1)∵A,B,C為⊙O上的三等分點,
∴==.
∴∠BOC=×360°=120°.
(2)過點O作OD⊥A
17、B于點D,
∵A,B,C為⊙O上的三等分點,
∴AB=AC=BC=3,
即△ABC是等邊三角形.
∴∠BAO=∠OBA=30°,AD=AB=.
∴DO=,OA=,即⊙O的半徑長為.
∴S△ABC=3×DO·AB=.
03 鏈接中考
16.(教材P19例5變式)如圖1,PC是⊙O的直徑,PA與PB是弦,且∠APC=∠BPC.
(1)求證:PA=PB;
(2)如果點P由圓上運動到圓外,PC過圓心,如圖2,是否仍有PA=PB?為什么?
(3)如圖3,如果點P由圓上運動到圓內(nèi),那么PA=PB是否仍然成立?
解:(1)證明:過點O作OE⊥PA,OF⊥PB,垂足分別為
18、E,F(xiàn),
∵∠APC=∠BPC,∴OE=OF.
∴PA=PB.
(2)仍有PA=PB.理由如下:
過點O作OG⊥PA,OH⊥PB,垂足分別為G,H,
∵∠APC=∠BPC,∴OG=OH.
又∵OP=OP,∴Rt△OPG≌Rt△OPH(HL).
∴PG=PH.
∵OG⊥AM,OH⊥BN,OG=OH,
∴AM=BN.∴AG=BH.
∴PG+AG=PH+BH,即PA=PB.
(3)PA=PB仍然成立.
第4課時 圓的確定
01 基礎(chǔ)題
知識點1 確定圓的條件
1.下列命題不正確的是(C)
A.過一點有無數(shù)個圓
B.過兩點有無
19、數(shù)個圓
C.弦是圓的一部分
D.過同一直線上三點不能畫圓
2.若A,B,C是平面內(nèi)的三點,且AB=3,BC=6,AC=5,則下列說法正確的是(A)
A.可以畫一個圓,使A,B,C都在圓上
B.可以畫一個圓,使A,B在圓上,C一定在圓外
C.可以畫一個圓,使A,C在圓上,B一定在圓外
D.可以畫一個圓,使B,C在圓上,A一定在圓內(nèi)
3.平面直角坐標系內(nèi)的三個點A(1,0),B(0,-3),C(2,-3)能確定一個圓.(填“能”或“不能”)
4.如圖所示,點A,B,C在同一直線上,點M在AC外,經(jīng)過圖中的三個點作圓,可以作3個.
知識點2 三角形的外接圓
5.三角形的外心
20、是三角形(B)
A.三個內(nèi)角平分線的交點
B.三邊垂直平分線的交點
C.三條高線的交點
D.三條中線的交點
6.三角形的外心具有的性質(zhì)是(B)
A.到三邊的距離相等
B.到三個頂點的距離相等
C.外心在三角形外
D.外心在三角形內(nèi)
7.小穎同學在手工制作中,把一個邊長為12 cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上.若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上,則圓的半徑為(B)
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
8.已知直角三角形的兩條直角邊分別為5 cm,12 cm,則該三角形的外接圓半徑為6.5__cm.
9.如圖,一只貓觀察到一
21、個老鼠洞的三個洞口A,B,C,這三個洞口不在同一條直線上,請問這只貓應該在什么地方才能最省力地同時顧及三個洞口?作出這個位置.
解:在△ABC的外心處能最省力地同時顧及三個洞口.作法如下:
連接AB,BC,分別作線段AB,BC的垂直平分線,相交于點O,點O即為所求.
知識點3 反證法
10.如圖,直線AB,CD相交,求證:AB,CD只有一個交點.
證明:假設(shè)AB,CD相交于兩個交點O與O′,那么過O,O′兩點就有兩條直線,這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”矛盾,所以假設(shè)不成立,則AB,CD只有一個交點.
11.用反證法證明:若∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角,
22、則其中至少有一個角不大于60°.
證明:假設(shè)∠A,∠B,∠C都大于60°.
則有∠A+∠B+∠C>180°,
這與三角形的內(nèi)角和等于180°相矛盾.
因此假設(shè)不成立,即∠A,∠B,∠C中至少有一個角不大于60°.
02 中檔題
12.(教材P26習題T15變式)小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了,其中四塊碎片如圖所示,為配到與原來大小一樣的圓形玻璃,小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是(B)
A.第①塊 B.第②塊
C.第③塊 D.第④塊
第12題圖 第14題圖
13.在用反證法證明“三角形中不能有兩個角都是鈍角”這一
23、命題時,得出的結(jié)果與下列哪個結(jié)論互相矛盾(A)
A.三角形的內(nèi)角和定理
B.三角形的外角和定理
C.三角形內(nèi)角的定義
D.三角形外角的定義
14.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠AOB=60°,AB=AC=2,則弦BC的長為(C)
A. B.3
C.2 D.4
15.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠C=90°,sinA=,BC=2,則⊙O的半徑為3.
第15題圖 第16題圖
16.(2017·泰州)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A,B,P的坐標分別為(1,0),(2,5),(4,2).若點C在第一象限,且橫坐標、縱坐標均為整數(shù)
24、,P是△ABC的外心,則點C的坐標為(7,4)或(6,5)或(1,4).
17.閱讀下列文字,回答問題.
題目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,則AC≠BC.
證明:假設(shè)AC=BC,因為∠A≠45°,∠C=90°,
所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC.這與假設(shè)矛盾,所以AC≠BC.
上面的證明有沒有錯誤?若沒有錯誤,指出其證明的方法;若有錯誤,請予以糾正.
解:有錯誤.
改正:假設(shè)AC=BC,則∠A=∠B.
又因為∠C=90°,
所以∠B=∠A=45°.這與∠A≠45°矛盾,
所以AC=BC不成立.所以AC≠BC.
18.小明家的房前有一塊矩形的空地,空地上有三棵樹A,B,C(如圖),小明想建一個圓形花壇,使三棵樹都在花壇的邊上.
(1)請你幫小明把花壇的位置畫出來(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)若△ABC中,AB=8 m,AC=6 m,∠BAC=90°,試求小明家圓形花壇的面積.
解:(1)分別作出兩邊BC,AC的垂直平分線,交點為O.以O(shè)為圓心,OA為半徑作出⊙O,即為所求作的花壇的位置.
(2)∵∠BAC=90°,AB=8 m,AC=6 m,
∴BC=10 m.
∴△ABC外接圓的半徑為5 m.
∴小明家圓形花壇的面積為25π m2.
17