備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專(zhuān)練卷 題型07 動(dòng)態(tài)問(wèn)題試題（含解析）

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1、題型07 動(dòng)態(tài)問(wèn)題試題 一、單選題 1．如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值;由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長(zhǎng)，由勾股定理求解即可. 【詳解】解：點(diǎn)P為DF的中點(diǎn)， 當(dāng)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2 因此可得當(dāng)C點(diǎn)和F點(diǎn)重合時(shí)，BP1⊥P1P2時(shí)使PB最小為BP1. 當(dāng)C和F重合時(shí)，P1點(diǎn)是CD的中點(diǎn) 故選D

2、. 【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，要使PB最小，就必須使得DF最長(zhǎng). 2．如圖，在中，，，．點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)Q，D為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分時(shí)，AP的長(zhǎng)度為（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可． 【詳解】解：，，， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

3、 3．如圖是函數(shù)的圖象，直線軸且過(guò)點(diǎn)，將該函數(shù)在直線l上方的圖象沿直線l向下翻折，在直線1下方的圖象保持不變，得到一個(gè)新圖象．若新圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值之差不大于5，則m的取值范圍是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】找到最大值和最小值差剛好等于5的時(shí)刻，則M的范圍可知. 【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)t等于0時(shí)， ∵， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為， 當(dāng)時(shí)，， ∴， 當(dāng)時(shí)，， ∴， ∴當(dāng)時(shí)， ， ∴此時(shí)最大值為0，最小值為； 如圖2所示，當(dāng)時(shí)， 此時(shí)最小值為，最大值為1． 綜上所述：， 故選：C． 【點(diǎn)睛】此題考查了二次函

4、數(shù)與幾何圖形結(jié)合的問(wèn)題，找到最大值和最小值的差剛好為5的m的值為解題關(guān)鍵． 4．矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，P是對(duì)角線OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連接PC，過(guò)點(diǎn)P作，交x軸于點(diǎn)D．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)處時(shí)，；③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是一個(gè)定值；④當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】D 【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到；故①正確； ②由點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，得到，根據(jù)勾股定理即可得到，故②正確； ③如圖，過(guò)點(diǎn)P作于F，F(xiàn)P的延長(zhǎng)線交BC

5、于E，，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，故③正確； ④當(dāng)為等腰三角形時(shí)，Ⅰ、，解直角三角形得到， Ⅱ、OP＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到，故不合題意舍去； Ⅲ、，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到，故不合題意舍去；于是得到當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故④正確． 【詳解】解：①∵四邊形OABC是矩形，， ；故①正確； ②∵點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)， ， ，故②正確； ③如圖，過(guò)點(diǎn)P作 A于F，F(xiàn)P的延長(zhǎng)線交BC于E， ，四邊形OFEC是矩形， ， 設(shè)，則， 在中，， ， ， ， ， ，

6、， ， ， ， ， ， ， ，故③正確； ④，四邊形OABC是矩形， ， ， ， 當(dāng)為等腰三角形時(shí)， Ⅰ、 Ⅱ、 ， ，故不合題意舍去； Ⅲ、， ， 故不合題意舍去， ∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故④正確， 故選：D． 【點(diǎn)睛】考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出相似三角形表示出CP和PD是解本題的關(guān)鍵． 5．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，使四邊形周長(zhǎng)最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D． 【答

7、案】C 【分析】根據(jù)已知條件得到AB=OB=4，∠AOB=45°，求得BC=3，OD=BD=2，得到D（0，2），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EC交OA于P，則此時(shí)，四邊形PDBC周長(zhǎng)最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y=x+2，解方程組即可得到結(jié)論． 【詳解】∵在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4）， ∴AB=OB=4，∠AOB=45°， ∵，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)， ∴BC=3，OD=BD=2， ∴D（0，2），C（4，3）， 作D關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EC交OA于P， 則此時(shí)，四邊形PDBC周長(zhǎng)最小，E（0，2）， ∵直線OA 的解析

8、式為y=x， 設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直線EC的解析式為y=x+2， 解得，， ∴P（，）， 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵． 6．如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），頂點(diǎn)A、D在x軸上方，對(duì)角線BD的長(zhǎng)是2310，點(diǎn)E-2,0為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在菱形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F0,6到EP所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在AB的中點(diǎn)處，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)等于（ ） A．103 B．10 C．163 D．3 【答案】A 【分析】如圖

9、1中，當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，作FG⊥PE于G，連接EF．首先說(shuō)明點(diǎn)G與點(diǎn)F重合時(shí)，F(xiàn)G的值最大，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接AC交BD于H，PE交BD于J．設(shè)BC=2a．利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可． 【詳解】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，作FG⊥PE于G，連接EF． ∵E（-2，0），F(xiàn)（0，6）， ∴OE=2，OF=6， ∴EF=22+42=210， ∵∠FGE=90°， ∴FG≤EF， ∴當(dāng)點(diǎn)G與E重合時(shí)，F(xiàn)G的值最大． 如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接AC交BD于H，PE交BD于J．設(shè)BC=2a． ∵PA=PB，BE=EC=a， ∴PE∥A

10、C，BJ=JH， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BH=DH=103，BJ=106， ∴PE⊥BD， ∵∠BJE=∠EOF=∠PEF=90°， ∴∠EBJ=∠FEO， ∴△BJE∽△EOF， ∴BEEF=BJEO， ∴a210=1062， ∴a=53， ∴BC=2a=103， 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 7．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，是以點(diǎn)（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)

11、.則線段的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)拋物線解析式可求得點(diǎn)A（-4,0），B（4,0），故O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，又Q是AP上的中點(diǎn)可知OQ=BP，故OQ最大即為BP最大，即連接BC并延長(zhǎng)BC交圓于點(diǎn)P時(shí)BP最大，進(jìn)而即可求得OQ的最大值. 【詳解】∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn) ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 在直角三角形COB中 BC= ∵Q是AP上的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn) ∴OQ為△ABP中位線，即OQ=BP 又∵P在圓C上，且半徑為2， ∴當(dāng)B、C、P共線時(shí)BP最大，即OQ最大 此時(shí)BP=BC+CP=7 OQ=BP=.

12、【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求長(zhǎng)度，二次函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)及線段長(zhǎng)度，中位線，與圓相離的點(diǎn)到圓上最長(zhǎng)的距離，解本題的關(guān)鍵是將求OQ最大轉(zhuǎn)化為求BP最長(zhǎng)時(shí)的情況. 8．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是( ) A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH=BD，推出CD+BD=CD+DH，由垂線段最短即可解決問(wèn)題． 【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥A

13、C， ∴∠AEB=90°， ∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a， 則有：100=a2+4a2， ∴a2=20， ∴a=2或-2（舍棄）， ∴BE=2a=4， ∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等）） ∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA， ∴， ∴DH=BD， ∴CD+BD=CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+BD≥4， ∴CD+BD的最小值為4． 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

14、 9．如圖，已知 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)分別是直線和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，,點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)；當(dāng)⊿面積取得最小值時(shí)，的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K．由題意KD=CF=5，推出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線AD與⊙K相切時(shí)，△ABE的面積最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解決問(wèn)題． 【詳解】如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K．由題意KD=CF=5， ∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓， ∴當(dāng)直線AD與⊙K相切時(shí)，△ABE的面積最小， ∵AD是切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)， ∴AD⊥KD，

15、 ∵AK=13，DK=5， ∴AD=12， ∵tan∠EAO=， ∴， ∴OE=， ∴AE=， 作EH⊥AB于H． ∵S△ABE=?AB?EH=S△AOB-S△AOE， ∴EH=， ∴， ∴， 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 10．如圖，是的直徑，、是弧（異于、）上兩點(diǎn)，是弧上一動(dòng)點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則、兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】連接BE，由題意可得點(diǎn)E是△ABC

16、的內(nèi)心，由此可得∠AEB＝135°，為定值，確定出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是是弓形AB上的圓弧，此圓弧所在圓的圓心在AB的中垂線上，根據(jù)題意過(guò)圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，在CD的延長(zhǎng)線上，作DF＝DA，則可判定A、E、B、F四點(diǎn)共圓，繼而得出DE＝DA＝DF，點(diǎn)D為弓形AB所在圓的圓心，設(shè)⊙O的半徑為R，求出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，DA＝R，進(jìn)而求出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為弧AEB，弧長(zhǎng)為，即可求得答案. 【詳解】連結(jié)BE， ∵點(diǎn)E是∠ACB與∠CAB的交點(diǎn)， ∴點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心， ∴BE平分∠ABC， ∵AB為直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135

17、°，為定值，， ∴點(diǎn)E的軌跡是弓形AB上的圓弧， ∴此圓弧的圓心一定在弦AB的中垂線上， ∵， ∴AD=BD， 如下圖，過(guò)圓心O作直徑CD，則CD⊥AB， ∠BDO＝∠ADO＝45°， 在CD的延長(zhǎng)線上，作DF＝DA， 則∠AFB＝45°， 即∠AFB+∠AEB＝180°， ∴A、E、B、F四點(diǎn)共圓， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴DE＝DA＝DF， ∴點(diǎn)D為弓形AB所在圓的圓心， 設(shè)⊙O的半徑為R， 則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：， DA＝R， 點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為弧AEB，弧長(zhǎng)為：， C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)比為：， 故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)

18、的運(yùn)動(dòng)路徑，涉及了三角形的內(nèi)心，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，弧長(zhǎng)公式等，綜合性較強(qiáng)，正確分析出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵. 二、填空題 11．如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點(diǎn)A在軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，頂點(diǎn)B在軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24,BC=5,給出下列結(jié)論：①點(diǎn)A從點(diǎn)O出發(fā)，到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O為止，點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為12π；②△OAB的面積的最大值為144；③當(dāng)OD最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，其中正確的結(jié)論是_________（填寫(xiě)序號(hào)）. 【答案】②③ 【分析】①由條件可知AB=24，則AB的中點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算出點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；②當(dāng)

19、△OAB的面積最大時(shí)，因?yàn)锳B=24，所以△OAB為等腰直角三角形，即OA=OB，可求出最大面積為144；③當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，OD最大，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，可求出OD=25，證明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA，可求出DF長(zhǎng)，則D點(diǎn)坐標(biāo)可求出． 【詳解】解：∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24， ∴AB的中點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)O為圓心，12為半徑的一段圓弧， ∵∠AOB=90°， ∴點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，故①錯(cuò)誤； 當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，因?yàn)锳B=24，所以△OAB為等腰直角三角形，即OA=OB， ∵E為AB的中點(diǎn)， ，故②正確； 如圖，當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線

20、時(shí)，OD最大，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F， ∴OD=DE+OE=13+12=25， 設(shè)DF=x， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DFA=∠AOB， ∴∠DAF=∠ABO， ∴△DFA∽△AOB ∵E為AB的中點(diǎn)，∠AOB=90°， ∴AE=OE， ∴∠AOE=∠OAE， ∴△DFO∽△BOA， 解得舍去， ，故③正確． 故答案為②③． 【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、直角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 12．如圖

21、，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為_(kāi)___. 【答案】 【分析】過(guò)C點(diǎn)作BD的平行線，以為對(duì)稱(chēng)軸作B點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，再根據(jù)勾股定理即可求解. 【詳解】如圖，過(guò)C點(diǎn)作BD的平行線，以為對(duì)稱(chēng)軸作B點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn) 根據(jù)平移和對(duì)稱(chēng)可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即，又， 根據(jù)勾股定理得，，故答案為 【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平移的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用. 13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE＝30°的

22、直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是________． 【答案】． 【分析】當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí)和F與C重合時(shí)，根據(jù)E的位置，可知E的運(yùn)動(dòng)路徑是EE'的長(zhǎng)；由已知條件可以推導(dǎo)出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'=30°，在Rt△ADE'中，求出DE'＝即可求解． 【詳解】解：如圖 E的運(yùn)動(dòng)路徑是EE'的長(zhǎng)； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC＝， 當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí)， 在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， ∴DE'＝，∠CDE'＝30°， 當(dāng)F與C重合時(shí)，∠EDC＝60°， ∴

23、∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在Rt△DEE'中，EE'＝； 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡；能夠根據(jù)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，分析出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，在30度角的直角三角形中求解是關(guān)鍵． 14．如圖，點(diǎn)是雙曲線：（）上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線：于點(diǎn)，連結(jié)，.當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)在的上方時(shí)，△面積的最大值是______. 【答案】3 【分析】令PQ與x軸的交點(diǎn)為E，根據(jù)雙曲線的解析式可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由于點(diǎn)P在雙曲線上，由雙曲線解析式中k的幾何意義可知△OPE的面積恒為2，故當(dāng)△OEQ面積最大時(shí)△的面積最大.設(shè)Q（a，）則S△OEQ= ×a×（）==，可知

24、當(dāng)a=2時(shí)S△OEQ最大為1，即當(dāng)Q為AB中點(diǎn)時(shí)△OEQ為1，則求得△面積的最大值是是3. 【詳解】 ∵交x軸為B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)A, ∴A（0，-2），B（4，0） 即OB=4，OA=2 令PQ與x軸的交點(diǎn)為E ∵P在曲線C上 ∴△OPE的面積恒為2 ∴當(dāng)△OEQ面積最大時(shí)△的面積最大 設(shè)Q（a, ） 則S△OEQ= ×a×（）== 當(dāng)a=2時(shí)S△OEQ最大為1 即當(dāng)Q為AB中點(diǎn)時(shí)△OEQ為1 故△面積的最大值是是3. 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)幾何圖形面積問(wèn)題，二次函數(shù)求最大值，解本題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，并且建立二次函數(shù)模型求最大值.

25、 15．如圖，正方形ABCD中，，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為_(kāi)______． 【答案】4 【分析】先證明，得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)，則，代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值． 【詳解】解： 又 設(shè)，則． ，化簡(jiǎn)得， 整理得， 所以當(dāng)時(shí)，y有最大值為4． 故答案為4． 【點(diǎn)睛】考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值問(wèn)題，幾何最值用二次函數(shù)最值求解考查了樹(shù)形結(jié)合思想． 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn).正

26、方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在第一象限，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上.若正方形ABCD向左平移n個(gè)單位后，頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是_____. 【答案】3. 【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，可證△ABO≌△DAE(AAS)，△CBF≌△BAO(AAS)，則可求D(5，1)，C(4，5)，確定函數(shù)解析式，C向左移動(dòng)n個(gè)單位后為(4﹣n，5)，進(jìn)而求n的值. 【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸， ∵AB⊥AD， ∴∠BAO＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA， ∴△ABO≌△DAE(AAS)， ∴AE＝BO，DE＝

27、OA， y＝﹣4x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4， 當(dāng)y=0時(shí)，0=-4x+4，x=1， ∴A(1，0)，B(0，4)， ∴OA=1，OB=4， ∴OE=OA+AE=5， ∴D(5，1)， ∵頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)上， ∴k＝5， ∴， 易證△CBF≌△BAO(AAS)， ∴CF＝4，BF＝1， ∴C(4，5)， ∵C向左移動(dòng)n個(gè)單位后為(4﹣n，5)， ∴5(4﹣n)＝5， ∴n＝3， 故答案為：3. 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移等，綜合性較強(qiáng)，正確添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵. 17．如圖1，在四邊

28、形中，∥，,直線.當(dāng)直線沿射線方向，從點(diǎn)開(kāi)始向右平移時(shí)，直線與四邊形的邊分別相交于點(diǎn)、.設(shè)直線向右平移的距離為，線段的長(zhǎng)為，且與的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則四邊形的周長(zhǎng)是_____. 【答案】 【分析】根據(jù)圖1直線l的平移過(guò)程分為三段，當(dāng)F與A重合之前，x與y都不斷增大，當(dāng)當(dāng)F與A重合之后到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合之前，x增加y不變，E與點(diǎn)C重合后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)至F與D重合x(chóng)增加y減小.結(jié)合圖2可知BC=5，AD=7-4=3，由且∠B=30°可知AB=，當(dāng)F與A重合時(shí)，把CD平移到E點(diǎn)位置可得三角形AED′為正三角形，可得CD=2，進(jìn)而可求得周長(zhǎng). 【詳解】由題意和圖像易知BC=5，AD=7-4=

29、3 當(dāng)BE=4時(shí)（即F與A重合），EF=2 又∵且∠B=30° ∴AB=， ∵當(dāng)F與A重合時(shí)，把CD平移到E點(diǎn)位置可得三角形AED′為正三角形 ∴CD=2 ∴AB+BC+CD+AD=+5+2+3=10+ 故答案時(shí). 【點(diǎn)睛】本題考查了30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，對(duì)四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題幾何圖像的理解，解本題的關(guān)鍵是清楚掌握直線l平移的距離為，線段的長(zhǎng)為的圖像和直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程的聯(lián)系，找到對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度. 18．如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)____． 【答案】 【分

30、析】如圖，連接BA1，取BC使得中點(diǎn)O，連接OQ，BD．利用三角形的中位線定理證明=定值，推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓弧，圓心角為120°，已解決可解決問(wèn)題． 【詳解】解：如圖，連接，取使得中點(diǎn)，連接． ∵四邊形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角為， ∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)． 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型． 19．如圖，是⊙O的內(nèi)接三角形，且AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，且，⊙O的半徑為6，則點(diǎn)P到AC距

31、離的最大值是___． 【答案】． 【分析】過(guò)O作OM⊥AC于M，延長(zhǎng)MO交⊙O于P，則此時(shí)，點(diǎn)P到AC距離的最大，且點(diǎn)P到AC距離的最大值=PM，解直角三角形即可得到結(jié)論． 【詳解】過(guò)O作于M，延長(zhǎng)MO交⊙O于P，則此時(shí)，點(diǎn)P到AC距離的最大，且點(diǎn)P到AC距離的最大值， ∵，，⊙O的半徑為6， ∴， ∴， ∴， ∴則點(diǎn)P到AC距離的最大值是， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 20．如圖，在正方形ABCD中，AB=8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=6. P為

32、對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM—PN的最大值為_(kāi)__. 【答案】2. 【分析】如圖所示，以BD為對(duì)稱(chēng)軸作N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，，由此可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，此時(shí)即PM—PN的值最大，由正方形的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)，繼而可得，，再證明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判斷出△為等腰直角三角形，求得長(zhǎng)即可得答案. 【詳解】如圖所示，以BD為對(duì)稱(chēng)軸作N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”， ∵正方形邊長(zhǎng)為8， ∴AC=AB=， ∵O為AC中點(diǎn)， ∴AO=OC=， ∵N為OA中點(diǎn)， ∴ON=， ∴， ∴， ∵BM=6， ∴CM=

33、AB-BM=8-6=2， ∴， ∴PM∥AB∥CD，∠90°， ∵∠=45°， ∴△為等腰直角三角形， ∴CM==2， 故答案為：2. 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問(wèn)題等，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 三、解答題 21．如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB． （1）求拋物線C2的解析式； （2）在拋物線C2的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不

34、存在，說(shuō)明理由； （3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MO，MC，M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MOC面積最大？并求出最大面積． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段AC′的長(zhǎng)度；（3）S△MOC最大值為． 【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，則a=-1，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式，即可求解； （2）作點(diǎn)C關(guān)于C1對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′（-1，3），連接AC′交函數(shù)C2的對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，即可求解； （3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+，即可求解． 【詳解】（1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝

35、0或2，即點(diǎn)B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，則a＝﹣1， 則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4， 故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x； （2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x＝0或3， 故點(diǎn)C（3，3）， 作點(diǎn)C關(guān)于C1對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′（﹣1，3）， 連接AC′交函數(shù)C2的對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)P， 此時(shí)PA+PC的值最小為：線段AC′的長(zhǎng)度； （3）直線OC的表達(dá)式為：y＝x， 過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H， 設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+4x），則點(diǎn)H（x，x）， 則S△MOCMH×x

36、C（﹣x2+4x﹣x）x2， ∵0，故x， S△MOC最大值為． 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)． 22．如圖一，在射線的一側(cè)以為一條邊作矩形，，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，連接． （1）求的大小； （2）問(wèn)題探究：動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， ①是否能使為等腰三角形，如果能，求出線段的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． ②的大小是否改變？若不改變，請(qǐng)求出的大?。蝗舾淖?，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）問(wèn)題解決： 如圖二，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，與的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)

37、為，求線段的長(zhǎng)度． 【答案】（1）；（2）①能，的值為5或；②大小不變，；（3）. 【分析】（1）在中，求出的正切值即可解決問(wèn)題． （2）①分兩種情形：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可． ②．利用四點(diǎn)共圓解決問(wèn)題即可． （3）首先證明是等邊三角形，再證明垂直平分線段，解直角三角形即可解決問(wèn)題． 【詳解】解：（1）如圖一（1）中， ∵四邊形是矩形， ∴， ∵， ∴． （2）①如圖一（1）中，當(dāng)時(shí)， ∵，，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴是等邊三角形， ∴， ∴． 如圖一（2）中，當(dāng)時(shí)，易證， ∵， ∴，∵， ∴， ∴， ∴， 綜

38、上所述，滿足條件的的值為5或． ②結(jié)論：大小不變． 理由：如圖一（1）中，∵， ∴四點(diǎn)共圓， ∴． 如圖一（2）中，∵， ∴四點(diǎn)共圓， ∴， ∵， ∴， 綜上所述，． （3）如圖二中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等邊三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分線段， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

39、 23．如圖，在中，，，，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），且，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接，設(shè)為． （1）試說(shuō)明不論為何值時(shí)，總有∽； （2）是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，試說(shuō)明理由； （3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大，并求出最大值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形；（3）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為． 【分析】（1）根據(jù)題意得到∠MQB=∠CAB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明； （2）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答； （3）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM，根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根

40、據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可． 【詳解】解：（1）∵， ∴， ∴，又， ∴∽； （2）當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形， ∵，， ∴四邊形為平行四邊形； （3）∵， ∴， ∵∽， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， 則四邊形的面積， ∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為． 【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 24．如圖，在菱形ABCD中，連結(jié)BD、AC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，以點(diǎn)O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M． ①求證：DC是⊙O的切線． ②若且，求圖

41、中陰影部分的面積． ③在②的條件下，P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD為何值時(shí)，的值最小，并求出最小值． 【答案】①證明見(jiàn)解析；②③ 【分析】①作，證明OH為圓的半徑，即可求解； ②利用，即可求解； ③作M關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接HN交BD于點(diǎn)P，，此時(shí)最小，即可求解． 【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)O作，垂足為G， 在菱形ABCD中，AC是對(duì)角線，則AC平分∠BCD， ∵，， ∴， ∴OH、OG都為圓的半徑，即DC是⊙O的切線； ②∵且， ∴， ， ∴， 在直角三角形OHC中，， ∴，， ∴， ； ③作M關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接HN交BD于點(diǎn)P， ∵， ∴，

42、此時(shí)最小， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 即：PH+PM的最小值為， 在Rt△NPO中， ， 在Rt△COD中， ， 則． 【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合運(yùn)用題，涉及到圓切線的性質(zhì)及應(yīng)用、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性、解直角三角形等知識(shí)，其中③，通過(guò)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性確定PH+PM最小，是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵． 25．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，DF與BC交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EM交GF于點(diǎn)H，EF與GB交于點(diǎn)N，連接CG. （1）求證：CD⊥CG； （2）若tan∠MEN=，求的值； （3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EM的長(zhǎng)能否為？請(qǐng)說(shuō)明

43、理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）EM長(zhǎng)不可能為.理由見(jiàn)解析. 【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，即∠ADE=∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG得出∠A=∠DCG=90°，即可得出結(jié)論； （2）先證明△EDM≌△GDM，得出∠DME=∠NMF，，再證明△DME∽△FMN，得出，，在Rt△EFH中，tan∠HEF=，所以； （3）假設(shè)EM= ，先判斷出點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，同（2）的方法得，EM=GM=，得出GM=,再判斷出BM＜，得出CM＞，進(jìn)而得出CM＞GM，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）證明：∵四邊形AB

44、CD和四邊形DEFG是正方形， ∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG， ∴∠ADE=∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠A=∠DCG=90°， ∴CD⊥CG； （2）解： ∵CD⊥CG，DC⊥BC， ∴G、C、M三點(diǎn)共線 ∵四邊形DEFG是正方形， ∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°， 又∵DM=DM ∴△EDM≌△GDM， ∴∠DME=∠DMG 又∠DMG=∠NMF， ∴∠DME=∠NMF， 又∵∠EDM=∠NFM=45° ∴△DME∽△FMN， ∴ 又∵DE∥HF， ∴，

45、 又∵ED=EF， ∴ 在Rt△EFH中，tan∠HEF=， ∴ （3）EM的長(zhǎng)不可能為。 理由：假設(shè)EM的長(zhǎng)為， ∵點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且∠EDG=∠ADC=90°， ∴點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上， 同（2）的方法得，EM=GM=， ∴GM=， 在Rt△BEM中，EM是斜邊， ∴BM＜ ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1， ∴BC=1， ∴CM＞ ∴CM＞GM， ∴點(diǎn)G在正方形ABCD的邊BC上，與“點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上”相矛盾， ∴假設(shè)錯(cuò)誤， 即：EM的長(zhǎng)不可能為 【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出相似三角形

46、是解本題的關(guān)鍵，用反證法說(shuō)明EM不可能為是解本題的難度． 26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)（不與重合），連接，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，連接． （1）求線段長(zhǎng)度的取值范圍； （2）試問(wèn)：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否問(wèn)定值？如果是，求出該值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）為定值，=30°；（3）， ，， 【分析】（1）作，由點(diǎn)在的圖像上知：，求出AH，即可得解； （2）①當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在第一象的線段上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)在第一象限的線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別證明、、、四點(diǎn)共圓，即可求得=30°； （3）分，，三種情況，分別求解

47、即可． 【詳解】解：（1）作，則 ∵點(diǎn)在的圖像上 ∴， ∵， ∴ ∴ （2）①當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)， 由，可得、、、四點(diǎn)共圓， ∴ ②當(dāng)點(diǎn)在第一象的線段上時(shí)， 由，可得、、、四點(diǎn)共圓， ∴，又此時(shí) ∴ ③當(dāng)點(diǎn)在第一象限的線段的延長(zhǎng)線上時(shí)， 由，可得， ∴、、、四點(diǎn)共圓， ∴ （3）設(shè)，則： ∵，∴ ∴： ∴ ∴， ①當(dāng)時(shí)，則 整理得： 解得： ∴， ②當(dāng)時(shí)，則 整理得： 解得：或 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，舍去， ∴，∴ ③當(dāng)時(shí)， 則 整理得： 解得： ∴ 【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析

48、式、三角函數(shù)、等腰三角形判定和性質(zhì)以及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其中（2）（3），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏． 27．如圖1，在正方形中，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：； （3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，求的值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）. 【分析】（1）先判斷出，再由四邊形是正方形，得出，，即可得出結(jié)論； （2）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，先求出，進(jìn)而得出，再求出，，再判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論； （3）先求出，再求出，再判斷出，求出，再用勾股定理求出

49、，最后判斷出，得出，即可得出結(jié)論. 【詳解】（1）證明：∵， ∴， ∴， ∵四邊形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于， 設(shè)， ∵點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴， ∴， 在中，根據(jù)面積相等，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

50、質(zhì)，勾股定理，判斷出是解本題的關(guān)鍵. 28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)． (1)當(dāng)∠OAD＝30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長(zhǎng)； (3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫(xiě)出最大值，并求此時(shí)cos∠OAD的值． 【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值為8，cos∠OAD＝． 【分析】(1

51、)作CE⊥y軸，先證∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，從而得出點(diǎn)C坐標(biāo)； (2)先求出S△DCM＝6，結(jié)合S四邊形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，設(shè)OA＝x、OD＝y(tǒng)，據(jù)此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)，代入x2+y2＝36求得x的值，從而得出答案； (3)由M為AD的中點(diǎn)，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8，連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，ON⊥AD，證△CMD∽△OMN得，據(jù)此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及

52、cos∠OAD＝可得答案． 【詳解】(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E， ∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2， 在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝AD＝3， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3+2)； (2)∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四邊形OMCD＝， ∴S△ODM＝， ∴S△OAD＝9， 設(shè)OA＝x、OD＝y(tǒng)，則x2+y2＝36，xy＝9， ∴x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)， 將x＝y(tǒng)

53、代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝3(負(fù)值舍去)， ∴OA＝3； (3)OC的最大值為8， 如圖2，M為AD的中點(diǎn)， ∴OM＝3，CM＝＝5， ∴OC≤OM+CM＝8， 當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8， 連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD，垂足為N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴，即， 解得MN＝，ON＝， ∴AN＝AM﹣MN＝， 在Rt△OAN中，OA＝， ∴cos∠OAD＝． 【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判

54、定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)． 29．在等腰三角形中，，作交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N． （1）在圖1中，求證：； （2）在圖2中的線段CB上取一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作交CM于點(diǎn)E，作交BN于點(diǎn)F，求證：； （3）在圖3中動(dòng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，類(lèi)似（2）過(guò)P作交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用AAS定理證明； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，證明結(jié)論； （3）根據(jù)，得到，證明，得到，根據(jù)比例的性質(zhì)證明即可． 【詳解】證明

55、：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）同（2）的方法得到，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 30．已知：是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時(shí)，作，垂足為，與交于點(diǎn) （1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的平分線交于點(diǎn). ①寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)

56、角的度數(shù)；②求證：； （2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，若，求線段的最小值.（結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】（1）①旋轉(zhuǎn)角為；②見(jiàn)解析；（2）的最小值為. 【分析】（1）①解直角三角形求出即可解決問(wèn)題. ②連接，設(shè)交于點(diǎn).在時(shí)截取，連接.首先證明是等邊三角形，再證明，即可解決問(wèn)題. （2）如圖2中，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于.證明，推出，推出，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，推出，推出，求出即可解決問(wèn)題. 【詳解】解：（1）①旋轉(zhuǎn)角為． 理由：如圖1中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋轉(zhuǎn)角為. ②證明：連接，設(shè)交于點(diǎn).在時(shí)截取，連接. ∵， ∴， ∵平

57、分， ∴， ∵， ∴，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等邊三角形， ∴， ∵，， ∴是等邊三角形， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）解：如圖2中，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于. 由②可知，，，， ∴， ∴， ∴，關(guān)于對(duì)稱(chēng)， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴. ∴的最小值為. 【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題. 49