備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷 題型02 規(guī)律探索類試題（含解析）

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1、題型02 規(guī)律探索類試題 一、單選題 1．如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點(diǎn)P從A(A為坐標(biāo)原點(diǎn))出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為( ) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】先計(jì)算點(diǎn)P走一個(gè)的時(shí)間，得到點(diǎn)P縱坐標(biāo)的規(guī)律：以1，0，-1，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為是-1． 【詳解】解：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)用時(shí)為秒． 如圖，作于D，與交于點(diǎn)E． 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴第1秒

2、時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，縱坐標(biāo)為1； 第2秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，縱坐標(biāo)為0； 第3秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，縱坐標(biāo)為﹣1； 第4秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G，縱坐標(biāo)為0； 第5秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，縱坐標(biāo)為1； …， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)以1，0，﹣1，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)， ∵， ∴第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為是﹣1． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的規(guī)律：以1，0，-1，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)．也考查了垂徑定理． 2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是：從原點(diǎn)出發(fā)，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位

3、長(zhǎng)度，其移動(dòng)路線如圖所示，第一次移動(dòng)到點(diǎn)，第二次移動(dòng)到點(diǎn)……第次移動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)圖象可得移動(dòng)4次圖象完成一個(gè)循環(huán)，從而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)． 【詳解】，，，，，，…， ， 所以的坐標(biāo)為， 則的坐標(biāo)是， 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點(diǎn)的變化規(guī)律，難度一般． 3．觀察等式：；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：、、、、、．若，用含的式子表示這組數(shù)的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)題意，一組數(shù)：、、、、、的和為250＋251＋252＋…＋

4、299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，進(jìn)而根據(jù)所給等式的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案. 【詳解】250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋2a＋22a＋…＋250a ＝a＋(2＋22＋…＋250)a， ∵， ， ， …， ∴2＋22＋…＋250＝251－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋(2＋22＋…＋250)a ＝a＋(251－2)a ＝a＋(2 a－2)a ＝2a2－a ， 故選C. 【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題——數(shù)字的變化類，仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)其中哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)

5、生變化，是按什么規(guī)律變化的是解題的關(guān)鍵. 4．計(jì)算的結(jié)果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把每個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差的一半，然后再進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算． 【詳解】解：原式＝ = = ． 故選B． 【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)規(guī)律計(jì)算題，主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是把分?jǐn)?shù)乘法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)減法來(lái)計(jì)算． 5．已知有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，-1的差倒數(shù)是．如果，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)……依此類推，那么的值是（　?。? A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5 【答案】A 【分析】求出數(shù)列的前4個(gè)數(shù)，

6、從而得出這個(gè)數(shù)列以，，依次循環(huán)，且，再求出這100個(gè)數(shù)中有多少個(gè)周期，從而得出答案． 【詳解】解：∵， ∴，，，…… ∴這個(gè)數(shù)列以-2，，依次循環(huán)，且， ∵， ∴， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過(guò)從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況． 6．如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作： ①將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，展開后沿折痕剪開，把四個(gè)等腰直角三角形扔掉； ②在余下紙片上依次重復(fù)以上操作，當(dāng)完成第2019次操作時(shí)，余下紙片的面積為（ ）． A． B． C． D． 【答案】

7、C 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，即可推出操作次數(shù)與余下面積的關(guān)系式. 【詳解】解：正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，展開后沿折痕剪開， 第一次：余下面積， 第二次：余下面積， 第三次：余下面積， 當(dāng)完成第2019次操作時(shí)，余下紙片的面積為， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字問題，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵. 7．如圖，在中，頂點(diǎn)，，，將與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　?。? A． B． C．） D． 【答案】D 【分析】先求出，再利用正方形的性質(zhì)確定，由于，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于與正方形ABC

8、D組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【詳解】解：，， ， 四邊形ABCD為正方形， ， ， ， 每4次一個(gè)循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 故選D． 【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：，，，，． 8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了(為非負(fù)整數(shù))展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人

9、也將右表稱為“楊輝三角”. 則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是( ) A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】本題通過(guò)閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1，中間各項(xiàng)系數(shù)等于（a+b）n-1相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和，各項(xiàng)系數(shù)和是2n; 【詳解】觀察可得（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：各項(xiàng)系數(shù)和是2n; 所以，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是29=512. 故選：C 【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵在于觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律

10、． 二、填空題 9．有2019個(gè)數(shù)排成一行，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和．如果第一個(gè)數(shù)是0，第二個(gè)數(shù)是1，那么前6個(gè)數(shù)的和是_____，這2019個(gè)數(shù)的和是_____． 【答案】0 2 【分析】根據(jù)題意可以寫出這組數(shù)據(jù)的前幾個(gè)數(shù)，從而可以數(shù)字的變化規(guī)律，本題得以解決 【詳解】． 解：由題意可得， 這列數(shù)為：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…， 前6個(gè)數(shù)的和是：， ， 這2019個(gè)數(shù)的和是：， 故答案為：0，2． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律，每六個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)． 10．觀察下

11、列一組數(shù)： ， 它們是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)利用其中規(guī)律，寫出第個(gè)數(shù)__________（用含的式子表示） 【答案】 【分析】首先觀察分母的變化規(guī)律，在觀察分子的規(guī)律，寫成比例式化簡(jiǎn)即可. 【詳解】解：觀察分母，3，5，9，17，33，…，可知規(guī)律為， 觀察分子的，1，3，6，10，15，…，可知規(guī)律為， ∴； 故答案為； 【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)的規(guī)律，這列題目是熱點(diǎn)考題，應(yīng)當(dāng)熟練掌握. 11．按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，，，，…(a≠0)，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第n個(gè)數(shù)是_______.(n為正整數(shù)) 【答案】. 【分析】根據(jù)題意寫出前四項(xiàng)的數(shù)據(jù)，第1個(gè)數(shù)為，

12、第2個(gè)數(shù)為，第3個(gè)數(shù)為，第4個(gè)數(shù)為，進(jìn)行觀察，據(jù)此規(guī)律判斷即可． 【詳解】第1個(gè)數(shù)為， 第2個(gè)數(shù)為， 第3個(gè)數(shù)為， 第4個(gè)數(shù)為， …， 所以這列數(shù)中的第n個(gè)數(shù)是. 故答案為. 【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列中的規(guī)律，解題關(guān)鍵在于觀察找出規(guī)律 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，過(guò)上的點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，…依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_____． 【答案】 【分析】根據(jù)題意得到的橫坐標(biāo)為，即可得到點(diǎn)的橫坐標(biāo). 【詳解】解：由題意可得， ，，，，，，…， 可得的橫坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：， 故答案為．

13、 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到的橫坐標(biāo)為. 13．如圖，在以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片中，將角折起，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）處，折痕是． 如圖，當(dāng)時(shí)，； 如圖，當(dāng)時(shí)，； 如圖，當(dāng)時(shí)，； …… 依此類推，當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，_____． 【答案】 【分析】根據(jù)題意得到正切值的分子的規(guī)律和勾股數(shù)的規(guī)律，再進(jìn)行計(jì)算即可得到答案. 【詳解】觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，， 分母與勾股數(shù)有關(guān)系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中間一個(gè)． ∴. 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)

14、律，解題的關(guān)鍵是由題意得到規(guī)律. 14．觀察下列各式： ， ， ， 請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算： ，其結(jié)果為____． 【答案】． 【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可． 【詳解】 ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)、數(shù)字的變化規(guī)律，掌握二次根式的性質(zhì)是解題 的關(guān)鍵． 15．有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列成其中某三個(gè)相鄰數(shù)的積是，則這三個(gè)數(shù)的和是_____． 【答案】-384 【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，再根據(jù)其中某三個(gè)相鄰數(shù)的積是，可以求得這三個(gè)數(shù)，從而可以求得這三個(gè)數(shù)的和． 【詳解】一列數(shù)為

15、 這列數(shù)的第個(gè)數(shù)可以表示為， 其中某三個(gè)相鄰數(shù)的積是， 設(shè)這三個(gè)相鄰的數(shù)為 則 即 解得，， 這三個(gè)數(shù)的和是： ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律． 16．如圖，直線分別交軸、軸于點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，依此規(guī)律…，若圖中陰影的面積為，陰影的面積為，陰影的面積為，則_______． 【答案】 【分析】由直線可求出與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，的長(zhǎng)，也可求出的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，是一個(gè)特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有角

16、的直角三角形，然后這個(gè)求出、、、、……根據(jù)規(guī)律得出． 【詳解】解：直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ， 又， ， 在中，， ； 同理可求出：，， ； 依次可求出：；；…… 因此： 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查同學(xué)們對(duì)規(guī)律的歸納總結(jié)，關(guān)鍵在于根據(jù)簡(jiǎn)單的圖形尋找規(guī)律. 17．如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形組成“7”字圖形. （1）將一個(gè)“7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7”字圖形，其中頂點(diǎn)位于軸上，頂點(diǎn)，位于軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為____. （2）在（1）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擺放第二個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)，擺放第三個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)，依此類推，

17、…，擺放第個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)，…，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_____. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根據(jù)題意可得，，由同角的余角相等得，根據(jù)相似三角形判定得，由相似三角形性質(zhì)即可求得答案.（2）根據(jù)題意標(biāo)好字母，根據(jù)題意可得，，，，，在Rt△DCB中，由勾股定理求得 ，由（1）知，從而可得，，，結(jié)合題意易得：，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得，，，，，從而可得，，觀察這兩點(diǎn)坐標(biāo)知由點(diǎn)到點(diǎn)橫坐標(biāo)增加了，縱坐標(biāo)增加了，依此可得出規(guī)律：的坐標(biāo)為：，將n=2019代入即可求得答案. 【詳解】（1）依題可得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）根據(jù)題意標(biāo)好字母，如圖

18、， 依題可得： ，，， ∴， 由（1）知， ∴，， 易得： ， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴由點(diǎn)到點(diǎn)橫坐標(biāo)增加了，縱坐標(biāo)增加了， …… ∴的坐標(biāo)為：， ∴的坐標(biāo)為：， 故答案為，. 【點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵． 18．在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形，按如圖中的規(guī)律擺放．點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊“…”的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)第秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為正整數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____． 【答案】 【分析】如圖，作A1H⊥x軸，

19、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識(shí)可求出，，同理可得，，，，，由此發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律即可求得結(jié)果. 【詳解】如圖，作A1H⊥x軸， ∵△OA1A2是等邊三角形， ∴∠A1OH=60°，OH=OA2=， ∴A1H=A1O?sin60°=1×=， ∴，， 同理可得， ， ， ， ， 由上可知，每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為序號(hào)的一半，縱坐標(biāo)每個(gè)點(diǎn)依次為：這樣循環(huán)， 2019÷6=336…3， 故答案為. 【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，涉及了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)推導(dǎo)得出點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵. 19．歸納“T”字形，用棋子擺成的“T”字形如

20、圖所示，按照?qǐng)D①，圖②，圖③的規(guī)律擺下去，擺成第n個(gè)“T”字形需要的棋子個(gè)數(shù)為_______． 【答案】3n+2. 【分析】根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)圖形中棋子的變化規(guī)律，從而可以求得第n個(gè)“T”字形需要的棋子個(gè)數(shù)． 【詳解】解：由圖可得， 圖①中棋子的個(gè)數(shù)為：3+2=5， 圖②中棋子的個(gè)數(shù)為：5+3=8， 圖③中棋子的個(gè)數(shù)為：7+4=11， …… 則第n個(gè)“T”字形需要的棋子個(gè)數(shù)為：（2n+1）+（n+1）=3n+2， 故答案為：3n+2． 【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中棋子的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 20．將被3整除余數(shù)

21、為1的正整數(shù)，按照下列規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)陣 則第20行第19個(gè)數(shù)是_____________________ 【答案】625 【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和各行的數(shù)字個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，可以求得第20行第19個(gè)數(shù)是多少，本題得以解決． 【詳解】由圖可得，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)，…，則前20行的數(shù)字有：1+2+3+…+19+20=210個(gè)數(shù)， ∴第20行第20個(gè)數(shù)是：1+3（210-1）=628， ∴第20行第19個(gè)數(shù)是：628-3=625， 故答案為：625． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)字的變化特點(diǎn)，知道第n個(gè)數(shù)可以表示為

22、1+3（n-1）． 21．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，以對(duì)角線為邊作第二個(gè)正方形，連接，得到；再以對(duì)角線為邊作第三個(gè)正方形，連接，得到；再以對(duì)角線為邊作第四個(gè)正方形，連接，得到……記、、的面積分別為、、，如此下去，則_____． 【答案】 【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜測(cè)命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題． 【詳解】四邊形是正方形， ， ， ， ∴， ， ， 同理可求：，…， ， ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，規(guī)律型：圖形變換，解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律 22．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的半徑分

23、別為1，2，3，…，按照“加1”依次遞增；一組平行線，，，，，…都與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為l，其中與軸重合若半徑為2的圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，半徑為3的圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，…，半徑為的圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．（為正整數(shù)） 【答案】 【分析】連，，，、、與軸分別交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，……，得出的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，……，得出規(guī)律，即可得出結(jié)果． 【詳解】連接，，，、、與軸分別交于、、，如圖所示： 在中，， ∴， 同理：，，……， ∴的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，……， …按照此規(guī)律可得點(diǎn)的坐標(biāo)是，即， 故答案

24、為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理；由題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 23．如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)作，交軸于點(diǎn)，以為邊，向右作正方形，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_____（結(jié)果用含正整數(shù)的代數(shù)式表示） 【答案】 【分析】過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸，軸， 軸，軸，……垂足分別為,根據(jù)題意求出，得到圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是可以求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，再依次求出……即可求解. 【詳解】解：過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸，軸， 軸，軸，……

25、垂足分別為 點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 即： 圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：， 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： 點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為： 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查的是規(guī)律，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 24．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為_______（，是整數(shù)）． 【答案】 【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OA的

26、中點(diǎn)A1處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為×4，第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）2×4，則跳動(dòng)n次后，即跳到了離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×4=，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得線段AnA的長(zhǎng)度． 【詳解】由于OA=4， 所有第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處時(shí)，OA1=OA=×4=2， 同理第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的（）2×4處， 同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×4=， 故線段AnA的長(zhǎng)度為4-（n≥3，n是整數(shù)）． 故答案為4-． 【點(diǎn)睛】考查了兩點(diǎn)間的距離，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．

27、本題注意根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律． 25．如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時(shí)針方向（圖中箭頭方向）標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8，將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來(lái)，這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系．在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過(guò)這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示（水平方向開始，按順時(shí)針方向），如點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為(1，2，5)，點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為(4，1，3)，按此方法，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為_______． 【答案】 【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，2，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（4，1，3）得

28、到經(jīng)過(guò)點(diǎn)的三條直線對(duì)應(yīng)著等邊三角形三邊上的三個(gè)數(shù)，依次為左、右，下，即為該點(diǎn)的坐標(biāo)，于是得到結(jié)論． 【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，2，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（4，1，3）得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)的三條直線對(duì)應(yīng)著等邊三角形三邊上的三個(gè)數(shù)，依次為左、右，下，即為該點(diǎn)的坐標(biāo)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為（2，4，2）， 故答案為：（2，4，2）． 【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 26．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，若進(jìn)行一下操作，在邊BC上從左到右一次取點(diǎn)D1、D2、D3、D4…；過(guò)點(diǎn)D1作AB、AC的平行線分別交于AC、AB與點(diǎn)E1、F

29、1；過(guò)點(diǎn)D2作AB、AC的平行線分別交于AC、AB于點(diǎn)E2、F2；過(guò)點(diǎn)D3作AB、AC的平行線分別交于AC、AB于點(diǎn)E3、F3…，則4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=______． 【答案】40380. 【分析】由D1E1∥AB ，D1F1∥AC，可得△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例結(jié)合AB=5，AC=4，可得，，再根據(jù)CD1+BD1=BC，可求得4D1E1+5D1F1=20，同理可得4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5

30、D2019F2019=20，繼而可求得答案. 【詳解】∵D1E1∥AB ，D1F1∥AC， ∴△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA， ∴， ， ∵AB=5，AC=4， ∴，， 又∵CD1+BD1=BC， ∴， ∴4D1E1+5D1F1=20， 同理：4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20， ∴4(D1E1+D2E2+…+D2019E2019)+5(D1F1+D2F2+…+D2019F2019)=2019×20=40380， 故答案為：40380. 【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——圖形的變

31、化類，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 27．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，點(diǎn)，，，，…在直線上，點(diǎn)，，，,…在軸正半軸上，則前個(gè)正方形對(duì)角線的和是_____. 【答案】 【分析】根據(jù)題意可得,,, ,進(jìn)而計(jì)算每個(gè)正方形的對(duì)角線,再求和即可. 【詳解】解：根據(jù)根據(jù)題意可得,,, 所以可得正方形的對(duì)角線為 正方形的對(duì)角線為 正方形的對(duì)角線為 正方形的對(duì)角線為 正方形的對(duì)角線為 所以前個(gè)正方形對(duì)角線的和為 = 故答案為. 【點(diǎn)睛】本題主要

32、考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)前面的簡(jiǎn)單的規(guī)律，總結(jié)出后面的規(guī)律. 28．如圖，點(diǎn)、、…在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、、……在反比例函數(shù)的圖象上，，且，則（為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】先證明是等邊三角形，求出的坐標(biāo)，作高線，再證明是等邊三角形，作高線，設(shè)，根據(jù)，解方程可得等邊三角形的邊長(zhǎng)和的縱坐標(biāo)，同理依次得出結(jié)論，并總結(jié)規(guī)律：發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、、…在軸的上方，縱坐標(biāo)為正數(shù)，點(diǎn)、、……在軸的下方，縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，可以利用來(lái)解決這個(gè)問題． 【詳解】過(guò)作軸于， ∵，， 是等邊三角形， ， ， 和， 過(guò)作軸于， ∵， 是等邊三角形，

33、 設(shè)，則， 中，， ， ∵， 解得：（舍），， ， ， 即的縱坐標(biāo)為； 過(guò)作軸于， 同理得：是等邊三角形， 設(shè)，則， 中，， ， ∵， 解得：（舍），； ， ， 即的縱坐標(biāo)為； … （為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為：； 故答案為：； 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形度角的性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，并與方程相結(jié)合解決問題． 29．如圖，有一條折線，它是由過(guò)，，組成的折線依次平移8，16，24，…個(gè)單位得到的，直線與此折線有（且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，則的值為_____． 【答案】 【分析】觀察

34、可得，由直線與此折線恰有（且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，得點(diǎn)在直線上，故. 【詳解】∵，，，，…， ∴． ∵直線與此折線恰有（且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)， ∴點(diǎn)在直線上， ∴， 解得：． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)圖象和點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律.數(shù)形結(jié)合分析問題，尋找規(guī)律是關(guān)鍵. 三、解答題 30．（閱讀）：數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想． （理解）：（1）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個(gè)梯形．用兩

35、種不同的方法計(jì)算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； （2）如圖2，行列的棋子排成一個(gè)正方形，用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，可得等式：________； （運(yùn)用）：（3）邊形有個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫個(gè)點(diǎn)，以（）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把邊形剪成若干個(gè)三角形，設(shè)最多可以剪得個(gè)這樣的三角形．當(dāng)，時(shí)，如圖，最多可以剪得個(gè)這樣的三角形，所以． ①當(dāng)，時(shí)，如圖，　 ??；當(dāng)，　 　時(shí)，； ②對(duì)于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個(gè)點(diǎn)，通過(guò)歸納猜想，可得　 　（用含、的代數(shù)式表示）．請(qǐng)對(duì)同一個(gè)量用算兩次的方法說(shuō)明你的猜想成立． 【答案】（1）見解析，故結(jié)論為：直角長(zhǎng)分別為、斜邊為的直角三角形中；

36、（2）；（3）①6，3；②，見解析. 【分析】（1）此等腰梯形的面積有三部分組成，利用等腰梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和列出方程并整理． （2）由圖可知行列的棋子排成一個(gè)正方形棋子個(gè)數(shù)為，每層棋子分別為，，，，…，．故可得用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，即可解答． （3）根據(jù)探畫出圖形究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個(gè)點(diǎn)，分割部分增加部分，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）有三個(gè)其面積分別為，和． 直角梯形的面積為． 由圖形可知： 整理得，， ． 故結(jié)論為：直角長(zhǎng)分別為、斜邊為的直角三角形中． （2）行列的棋子排成一個(gè)正方形棋子個(gè)數(shù)為，每層棋子分別為，，，，…，． 由圖

37、形可知：． 故答案為：． （3）①如圖，當(dāng)，時(shí)，， 如圖，當(dāng)，時(shí)，． ②方法1．對(duì)于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)點(diǎn)將多邊形分成了個(gè)三角形，以后三角形 內(nèi)部每增加一個(gè)點(diǎn)，分割部分增加部分，故可得． 方法2．以的二個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個(gè)點(diǎn)，共（）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把分割成個(gè)互不重疊的小三角形．以四邊形的個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個(gè)點(diǎn)，共（）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把四邊形分割成個(gè)互不重疊的小三角形．故以邊形的個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個(gè)點(diǎn)，共（）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成個(gè)互不重疊的小三角形．故可得． 故答案為：①，；②． 【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 29