九年級數(shù)學(xué)下冊 期末高效復(fù)習(xí) 專題2 簡單事件的概率(含解析) 浙教版
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1、 專題2 簡單事件的概率 題型一 事件的分類 例 1 下列事件為必然事件的是( D ) A.打開電視機(jī),它正在播廣告 B.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會是1%,買1張一定不會中獎(jiǎng) C.拋擲一枚硬幣,一定正面朝上 D.投擲一枚普通的正方體骰子,擲得的點(diǎn)數(shù)小于7 【解析】 打開電視機(jī),它正在播廣告是隨機(jī)事件,A錯(cuò)誤;某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會是1%,買1張一定不會中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件,B錯(cuò)誤;拋擲一枚硬幣,一定正面朝上是隨機(jī)事件,C錯(cuò)誤;投擲一枚普通的正方體骰子,擲得的點(diǎn)數(shù)小于7是必然事件,D正確. 變式跟進(jìn) 1.下列說法不正確的是( C ) A.“某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次,正中靶心”屬于隨機(jī)事件 B.“1
2、3名同學(xué)至少有兩名同學(xué)的出生月份相同”屬于必然事件 C.“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,當(dāng)溫度降到-5 ℃時(shí),水結(jié)成冰”屬于隨機(jī)事件 D.“某袋中只有5個(gè)球,且都是黃球,任意摸出一球是白球”屬于不可能事件 題型二 概率的意義及計(jì)算 例 2 將一質(zhì)地均勻的正方體骰子擲一次,觀察向上一面的點(diǎn)數(shù),與點(diǎn)數(shù)3的差不大于2的概率是( D ) A. B. C. D. 【點(diǎn)悟】 利用P(A)=求事件A的概率時(shí),要注意正確計(jì)算所有可能的結(jié)果數(shù)n和事件A包含的可能的結(jié)果數(shù)m,對于幾何型的概率問題,要注意各部分面積的關(guān)系,抓住“概率等于相應(yīng)的面積與總面積比”,這是解決幾何類型概率問題的關(guān)鍵. 變式跟進(jìn) 2
3、.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次,下列說法正確的是( C ) A.每2次必有1次正面向上 B.必有5次正面向上 C.可能有7次正面向上 D.不可能有10次正面向上 3.[2017·高郵二模]平面直角坐標(biāo)系xOy中有四點(diǎn)A(-2,0),B(-1,0),C(0,1),D(0,2),在A,B,C,D中取兩點(diǎn)與點(diǎn)O為頂點(diǎn)作三角形,所作三角形是等腰直角三角形的概率是____. 第3題答圖 【解析】 如答圖,在A,B,C,D中取兩點(diǎn)與點(diǎn)O為頂點(diǎn)作三角形一共可作4個(gè)三角形,其中所作三角形是等腰直角三角形的有2個(gè),∴P(所作三角形是等腰直角三角形)==. 題型三 用畫樹狀圖或列表法求概率 例
4、 3 將如圖1所示的牌面數(shù)字1,2,3,4的四張撲克牌背面朝上,洗勻后放在桌面上. 圖1 (1)從中隨機(jī)抽出一張牌,牌面數(shù)字是奇數(shù)的概率是____; (2)從中隨機(jī)抽出兩張牌,兩張牌牌面數(shù)字的和是6的概率是____; (3)先從中隨機(jī)抽出一張牌,將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字,然后將該牌放回并重新洗勻,再隨機(jī)抽取一張,將牌面數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字,請用樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是3的倍數(shù)的概率. 解:(1)1,2,3,4共有4張牌,隨意抽取一張為奇數(shù)的概率為=; (2)只有2+4=6,一種可能但組合一共有3+2+1=6(種),故概率為; (3)列表如下: 第一次 第
5、二次 1 2 3 4 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44 其中恰好是3的倍數(shù)的有12,21,24,33,42五種結(jié)果.∴P(3的倍數(shù))=. 【點(diǎn)悟】 一般地,涉及兩步的隨機(jī)事件的概率,既可以用列表法也可以用畫樹形圖法,涉及三步以上的隨機(jī)事件的概率,通常用畫樹形圖法求.值得注意是,在利用列表法、畫樹形圖法求概率時(shí),各種情況出現(xiàn)的可能性必須相等,否則會產(chǎn)生錯(cuò)誤. 變式跟進(jìn) 4.[2017·墊江校級月考]已知四張卡片上分別寫有四個(gè)數(shù)-1,0,1,2,它們除數(shù)字不同外其余
6、全部相同,先從中隨機(jī)抽取一張,將抽到的卡片上的數(shù)字記為x,不放回再隨機(jī)抽取一張記為y,則點(diǎn)(x,y)落在y=x2-x+1的圖象上的概率為 ____. 【解析】 畫樹狀圖如答圖, 第4題答圖 共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中點(diǎn)(x,y)落在y=x2-x+1的圖象上的只有(0,1)一種,故概率為. 5.[2017·泰興校級二模]某校“文化氧吧”有A,B,C,D四本書是小明想讀的,但他現(xiàn)階段只打算選讀兩本. (1)若小明已選A書,再從其余三本書中隨機(jī)選一款,恰好選中C的概率是____; (2)小明隨機(jī)選取兩本書,請用樹狀圖或列表法求出他恰好選中A,C兩本的概率. 解:(1)∵小明已
7、選A書,再從其余三本書中隨機(jī)選一款, ∴恰好選中C的概率是; (2)畫樹狀圖如答圖, 第5題答圖 共12種可能出現(xiàn)的結(jié)果,它們都是等可能的,符合條件的有兩種, ∴P(選中A,C)==. 題型四 用頻率估計(jì)概率 例 4 小明和小亮兩位同學(xué)做投擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)實(shí)驗(yàn),他們共做了100次實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下: 朝上的點(diǎn)數(shù) 1 2 3 4 5 6 出現(xiàn)的次數(shù) 14 15 23 16 20 12 (1)計(jì)算“2點(diǎn)朝上”的頻率和“4點(diǎn)朝上”的頻率; (2)小明說:“根據(jù)實(shí)驗(yàn),一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)3點(diǎn)朝上的概率最大”.小亮說:“如果投擲1 000次,那么出
8、現(xiàn)5點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是200次.”小明和小亮的說法正確嗎?為什么? (3)小明投擲一枚骰子,計(jì)算小明投擲點(diǎn)數(shù)不小于3的概率. 解:(1)“2點(diǎn)朝上”的頻率為=0.15; “4點(diǎn)朝上”的頻率為=0.16; (2)小明的說法錯(cuò)誤,因?yàn)橹挥挟?dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí),該事件發(fā)生的頻率才會穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近; 小亮的說法是錯(cuò)誤的,因?yàn)槭录l(fā)生具有隨機(jī)性; (3)P(點(diǎn)數(shù)不小于3)==. 變式跟進(jìn) 6.一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)除顏色外其他完全相同的小球,其中有6個(gè)黃球. (1)若先從盒子里拿走m個(gè)黃球,這時(shí)從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球是黃球的事件為“隨機(jī)事件”,則m的最大值為__5__;
9、(2)若在盒子中再加入2個(gè)黃球,每次摸球前先將盒子里的球搖勻,任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子,通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到黃球的頻率穩(wěn)定在40%,問 n的值大約是多少? 解:(1)根據(jù)題意得,拿走m個(gè)黃球后,不透明的盒子中至少還有一個(gè)黃球, 則m的最大值為6-1=5; (2)根據(jù)題意,得=0.4,解得n=18. 題型五 判斷游戲公平性問題 例 5 小明和小剛用如圖2所示的兩個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤做配紫色游戲,游戲規(guī)則是:分別任意旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,若其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色,另一個(gè)轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,則可以配成紫色.若配成紫色則小剛獲勝,否則小明獲勝. (1)請用列表或樹狀圖法求出小明勝的概率;
10、(2)這個(gè)游戲公平嗎?請說明理由. 圖2 解:(1)畫樹狀圖如答圖, 例5答圖 共有9種等可能的結(jié)果數(shù),其中不能配成紫色的結(jié)果數(shù)為7,∴小明勝的概率=; (2)這個(gè)游戲不公平.理由如下: ∵能配成紫色的結(jié)果數(shù)為2, ∴小剛勝的概率=, 而小明勝的概率=,>, ∴這個(gè)游戲不公平. 變式跟進(jìn) 7.小王和小明玩一個(gè)游戲,規(guī)則如下:把分別寫有1,2,3,4的四張卡片全都放入一個(gè)暗盒中,每次搖勻后每人摸出一張,算出這兩張上的數(shù)字之“和”,當(dāng)“和”為奇數(shù)時(shí),小王勝,當(dāng)“和”為偶數(shù)時(shí),小明勝,玩了一會,小王對小明說:“好像這個(gè)游戲不公平,但我說不清道理.” (1)這個(gè)游戲真的
11、不公平嗎?對誰有利?請你說明道理; (2)若真的不公平,能否只改動(dòng)一張卡片上的數(shù)字,使該游戲公平?請把你的改動(dòng)方案表述在下面,供同學(xué)們分享. 解:(1)不公平. 理由:∵兩張卡片上的數(shù)字之和有以下幾種情況:2+1=3;3+1=4;3+2=5;2+4=6;1+4=5;3+4=7,共6種情況,其中2個(gè)偶數(shù),4個(gè)奇數(shù),即出現(xiàn)偶數(shù)的概率為,而出現(xiàn)奇數(shù)的概率為,>,小王劃算,此規(guī)則不公平; (2)把分別寫有1,2,3,4的四張卡片,換成分別寫有0,2,3,4的四張卡片即可. 過關(guān)訓(xùn)練 1.下列事件: ①在足球賽中,弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì); ②拋擲一枚硬幣,落地后正面朝上; ③任取兩個(gè)整數(shù),其
12、和大于1; ④長分別為2,4,8 cm的三條線段能圍成一個(gè)三角形. 其中不確定事件的個(gè)數(shù)是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.[2016·金華]小明和小華參加社會實(shí)踐活動(dòng),隨機(jī)選擇“打掃社區(qū)衛(wèi)生”和“參加社會調(diào)查”其中一項(xiàng),那么兩人同時(shí)選擇“參加社會調(diào)查”的概率為( A ) A. B. C. D. 【解析】 列表如下: 小明 打掃社區(qū)衛(wèi)生 打掃社區(qū)衛(wèi)生 參加社會調(diào)查 參加社會調(diào)查 小華 打掃社區(qū)衛(wèi)生 參加社會調(diào)查 參加社會調(diào)查 打掃社區(qū)衛(wèi)生 由表可知,可能的結(jié)果共有4種,且他們都是等可能的,其中兩人同時(shí)選擇“參加社會調(diào)查”的結(jié)果
13、有1種,則所求概率P=. 3.[2017·曹縣模擬]“服務(wù)他人,提升自我”,某學(xué)校積極開展志愿者服務(wù)活動(dòng),來自九年級的5名同學(xué)(3男2女)成立了“交通秩序維護(hù)”小分隊(duì),若從該小分隊(duì)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交通秩序維護(hù),則恰好是一男一女的概率是( D ) A. B. C. D. 【解析】 根據(jù)題意畫樹狀圖如答圖: 第3題答圖 一共有20種情況,恰好是一男一女的有12種情況,∴P(恰好是一男一女)==. 4.[2017·墊江校級月考]小杰和爸爸媽媽一起去奧體看球賽,他們買了3張連號的票,小杰挨著爸爸坐的概率是( C ) A. B. C. D. 【解析】 設(shè)小明為A,爸
14、爸為B,媽媽為C,則所有的可能性是(ABC),(ACB),(BAC),(BCA),(CAB),(CBA),∴小杰挨著爸爸坐的概率是=. 5.[2017·杭州模擬]2017年參加杭州市體育中考的學(xué)生需從耐力類(游泳和男生1 000 m或女生800 m)、力量類(實(shí)心球和男生引體向上或女生仰臥起坐)、跳躍類(立定跳遠(yuǎn)和一分鐘跳繩)三大類中各選一項(xiàng)作為考試項(xiàng)目,小明已經(jīng)選了耐力類游泳,則他在力量類和跳躍類中,選“實(shí)心球和立定跳遠(yuǎn)”這兩項(xiàng)的概率是____. 【解析】 畫樹狀圖如答圖: 第5題答圖 ∴選“實(shí)心球和立定跳遠(yuǎn)”這兩項(xiàng)的概率是. 6.一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍(lán)
15、、白的球各一個(gè),這些球除顏色外都相同.求下列事件的概率: (1)攪勻后從中任意摸出1個(gè)球,恰好是紅球; (2)攪勻后從中任意摸出1個(gè)球,記錄下顏色后放回袋子中并攪勻,再從中任意摸出1個(gè)球,兩次都是紅球. 解:(1)∵紅、黃、藍(lán)、白的球各一個(gè), ∴攪勻后從中任意摸出1個(gè)球,恰好是紅球的概率為; (2)列表: 紅 黃 藍(lán) 白 紅 (紅,紅) (黃,紅) (藍(lán),紅) (白,紅) 黃 (紅,黃) (黃,黃) (藍(lán),黃) (白,黃) 藍(lán) (紅,藍(lán)) (黃,藍(lán)) (藍(lán),藍(lán)) (白,藍(lán)) 白 (紅,白) (黃,白) (藍(lán),白) (白,白) 所有
16、等可能的情況數(shù)有16種,其中兩次都為紅球的情況數(shù)有1種, ∴兩次都是紅球的概率為. 7.在一個(gè)布袋中裝有只有顏色不同,其他都相同的白、紅、黑三種顏色的小球各1個(gè),甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲,甲先從袋中摸出一球看清顏色后放回,再由乙從袋中摸出一球. (1)試用樹狀圖(或列表)的方法表示摸球游戲所有可能的結(jié)果; (2)如果規(guī)定:乙摸到與甲顏色相同的球?yàn)橐覄?,否則甲勝,你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明理由. 解:(1)所有可能的結(jié)果如表所示; 乙 甲 白 紅 黑 白 (白,白) (白,紅) (白,黑) 紅 (紅,白) (紅,紅) (紅,黑) 黑 (黑,白)
17、 (黑,紅) (黑,黑) (2)不公平,理由如下: ∵摸球游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種情況,每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同, 乙摸到與甲顏色相同的球有3種情況,乙摸到與甲顏色不相同的球有6種情況, ∴乙在游戲中獲勝的概率是=, 甲在游戲中獲勝的概率是=, ∵≠,∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平. 8.《中國足球改革總體方案》提出足球要進(jìn)校園,為了解某校學(xué)生對校園足球喜愛的情況,隨機(jī)對該校部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果分為“很喜歡”、“較喜歡”、“一般”、“不喜歡”四個(gè)等級,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成了如圖1的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖; (1)一共調(diào)查了__30__名學(xué)生,請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖; (2)在
18、此次調(diào)查活動(dòng)中,選擇“一般”的學(xué)生中只有兩人來自九年級,現(xiàn)在要從選擇“一般”的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人來談?wù)劯髯詫π@足球的感想,請用畫樹狀圖或列表法求選中的兩人剛好都來自九年級的概率. 圖1 解:(1)根據(jù)題意得一共調(diào)查的學(xué)生有3÷10%=30(名); 調(diào)查結(jié)果為“一般”的人數(shù)為30-13-10-3=4(名). 補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如答圖①; 第8題答圖① (2)用A,B分別表示來自九年級的學(xué)生,C,D表示其他兩個(gè)學(xué)生,畫樹狀圖如如答圖②, 第8題答圖② ∵共有12種等可能的結(jié)果,選中的兩人剛好都來自九年級的有2種情況, ∴選中的兩人剛好都來自九年級的概率為=. 10
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