福建師范大學(xué)21秋《近世代數(shù)》平時作業(yè)一參考答案37

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1、福建師范大學(xué)21秋《近世代數(shù)》平時作業(yè)一參考答案 1. 曲線y=x2與x=y2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為______。 曲線y=x2與x=y2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為______。 2. 設(shè)汞的密度ρ與溫度￡的關(guān)系為ρ=a0+a1t+a2t2+a3t3，經(jīng)實(shí)驗(yàn)收集了四組數(shù)據(jù)：當(dāng)溫度為0、10、20、30(單位：℃)時，汞的 設(shè)汞的密度ρ與溫度￡的關(guān)系為ρ=a0+a1t+a2t2+a3t3，經(jīng)實(shí)驗(yàn)收集了四組數(shù)據(jù)：當(dāng)溫度為0、10、20、30(單位：℃)時，汞的密度分別為13. 60、13. 57、13.55、13.52(單位：t/m3)． ??

2、請估計當(dāng)溫度為15℃時，汞的密度為多少． 13.56t/m3． 3. 因?yàn)橐辉瘮?shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的可微性與可導(dǎo)性是等價的，所以有人說“微分就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是微分”，這種說法對 因?yàn)橐辉瘮?shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的可微性與可導(dǎo)性是等價的，所以有人說“微分就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是微分”，這種說法對嗎？ 該說法不對． ? ?從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念． ? ?從幾何意義上講，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)表示的曲線方程在該點(diǎn)的切線的斜率；函數(shù)在某點(diǎn)的微分的幾何

3、意義是該函數(shù)表示的曲線方程在該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量． 4. 求出等于下列表達(dá)式的一個二項(xiàng)式系數(shù) 求出等于下列表達(dá)式的一個二項(xiàng)式系數(shù) ?? 運(yùn)用Pascal公式，可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?還可運(yùn)用組合學(xué)方法證明。這只要考慮對集合{a1，a2，…，an，b1，b2，b3}的k-組合以如下方式形成：從n個a中取k個a，再從3個b中取0個b；或者從n個a中取k-1個a，再從3個b中取1個b；或者從n個a中取k-2個a，再從3個b中取2個b；或者從n個a中取k-3個a，再從3個b中取3個b。因此 ? ? 5. 若

4、n階方陣A，B滿足AB=A+B，則(A-E)-1=______. 若n階方陣A，B滿足AB=A+B，則(A-E)-1=______. B-E. 6. 一個m×n的棋盤只有白色與黑色兩種方格，其中m和n都是奇數(shù)。如果黑色方格比白色方格多一個方格，試證明：當(dāng)棋盤 一個m×n的棋盤只有白色與黑色兩種方格，其中m和n都是奇數(shù)。如果黑色方格比白色方格多一個方格，試證明：當(dāng)棋盤上恰有一個黑方格禁止放子，那么該棋盤有一個用多米諾牌的完美覆蓋。 設(shè)禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分別就i與j的不同奇偶性情況進(jìn)行討論。 ? ?(1)i與j同為偶數(shù)或同為奇數(shù)。此時，將棋盤劃分為如

5、圖7.14所示的區(qū)域A1(為i×(j-1)的區(qū)域)、區(qū)域A2(為(m-i)×j的區(qū)域)、區(qū)域A3(為(i-1)×(n-j+1)的區(qū)域)、區(qū)域A4(為(m-i+1)×(n-j)的區(qū)域)以及禁止放子的黑方格(圖中陰影部分)。由于A1，A2，A3與A4無論i與j同為偶數(shù)還是同為奇數(shù)，總有偶數(shù)邊長，故可知，它們都有完美覆蓋。 ? ? ? ?(2)i與j為一奇一偶。此時，如果不要求白格與黑格的位置，則不一定存在完美覆蓋，如在圖7.15中，第1行中第2格是禁止放子的黑格。如果要求棋盤行和列之間都是黑白格相間，則i與j的一奇一偶情況不會出現(xiàn)。事實(shí)上，不妨設(shè)i為奇，j為偶。由于黑格比白格多一個，故

6、第1行上第1個格是黑格。則第i行第1個格是黑格，從而第i行上只有偶數(shù)列上方格是白格。 ? ? 7. 求微分方程y"+2y&39;-3y=2ex-1的通解． 求微分方程y"+2y'-3y=2ex-1的通解． 8. f和g在點(diǎn)x0連續(xù)，若f(x0)>g(x0)，則存在U(x0,δ)，使在其內(nèi)有f(x)>g(x)。( ) f和g在點(diǎn)x0連續(xù)，若f(x0)>g(x0)，則存在U(x0,δ)，使在其內(nèi)有f(x)>g(x)。( ) 正確答案： √ 9. 已知某賬戶的當(dāng)前余額為1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入90000

7、0元．計算該項(xiàng)目中甲的收 已知某賬戶的當(dāng)前余額為1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元．計算該項(xiàng)目中甲的收益率． 對投資一方來說，有 ? ?B0=1000000元＞0元，B1=[1000000(1+i)-1500000]元， ? ?B2=[1000000(1+i)2-1500000(1+i)+900000]元 ? ?=10000[100i2+50i+40]元＞0元． ? ?也就是說，對于任何利率i，投資者甲的最終結(jié)果(在第2年底)都是虧損．例如：當(dāng)i=0.1時，甲在第1年底提出1500000元，提款之后的余額為[1000

8、000×(1+0.1)-1500000]元=-400000元，那么，在第2年底，以利率i=0.1計算得投資者最多可以借出400000×(1+0.1)元=440000元＜900000元．換個角度看，在這個項(xiàng)目中，無論考慮什么樣的年利率，都不能刻畫該項(xiàng)目的虧損情況． 10. 判別一個正項(xiàng)級數(shù)的收斂性，一般可以按怎樣的程序選擇審斂法？ 判別一個正項(xiàng)級數(shù)的收斂性，一般可以按怎樣的程序選擇審斂法？ 一般而言，經(jīng)過一定的訓(xùn)練以后，往往根據(jù)所給正項(xiàng)級數(shù)的特點(diǎn)，大致可以確定使用何種審斂法來判定級數(shù)的收斂性，但這對初學(xué)者來說，有時可能感到困難，這時可按下面的程序進(jìn)行考慮： ? ?(1)檢查

9、一般項(xiàng)，若，可判定級數(shù)發(fā)散．否則進(jìn)入(2). ? ?(2)用比值審斂法(或根值審斂法)判定．倘若或極限不存在，則進(jìn)入(3). ? ?(3)用比較審斂法或極限形式的比較審斂法．若無法找到適用的參照級數(shù)，則進(jìn)入(4). ? ?(4)檢查正項(xiàng)級數(shù)的部分Sn和是否有界或判別Sn是否有極限． 11. 求曲面M：z=axy(a>0)上兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0之間的夾角． 求曲面M：z=axy(a>0)上兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0之間的夾角． 正確答案：解設(shè)曲面M的參數(shù)表示為x(xy)=(xyaxy)則xx\"=(10ay) xy\"=(01ax)E=xx\"

10、.xx\"=1+a2y2 G=xy\".xy\"=1+a2x2F=xx\".xy\"=a2xy．第1基本形式為I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xy dxdy+(1+(a2x2)dy2．設(shè)坐標(biāo)曲線x=x0的方向?yàn)?01)y=y0的方向(10)則兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0的夾角θ的余弦為\r\n故\r\n 解設(shè)曲面M的參數(shù)表示為x(x,y)=(x,y,axy),則xx\"=(1,0,ay),xy\"=(0,1,ax),E=xx\".xx\"=1+a2y2,G=xy\".xy\"=1+a2x2,F=xx\".xy\"=a2xy．第1基本形式為I=Edx2+2

11、Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xydxdy+(1+(a2x2)dy2．設(shè)坐標(biāo)曲線x=x0的方向?yàn)?0,1),y=y0的方向(1,0),則兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0的夾角θ的余弦為故 12. 直接證明下列級數(shù)的斂散性．如果收斂，求其和． (1) (2) (3) (4),m＞1 (5)，a,b∈R+ 直接證明下列級數(shù)的斂散性．如果收斂，求其和． ??(1) ??(2) ??(3) ??(4),m＞1 ??(5)，a,b∈R+ (1)因?yàn)?，所? ? ? ? ? ? ? ? ?于是因此級數(shù)收斂，且其和為 ? ?(2)

12、因?yàn)? ? ?所以 ? ?于是 ? ? ? ? ?因此級數(shù)收斂，且其和為 ? ?(3)因?yàn)?，所以 ? ? ? ? ? ? ? ?因?yàn)椴淮嬖冢圆淮嬖?，故級?shù)發(fā)散． ? ?(4)因?yàn)? ? ? ? ? ? ?而m＞1，所以，于是因此級數(shù)收斂，且其和為m． ? ?(5)因?yàn)?，所以和均收斂，? ? ?， ? ?根據(jù)收斂級數(shù)的性質(zhì)得知收斂，且其和為 13. 對事件A，B，說明下列關(guān)系式相互等價： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5) 對事件A，B，說明下列關(guān)系

13、式相互等價： ??(1);??(2)??(3)A+B=B;??(4)AB=A;?(5) 用文氏圖表示事件A，B的關(guān)系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等價的，即 ? ? ? ?又有 ? ?于是可得(2)與(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等價的。 14. 比較組合邏輯電路和時序邏輯電路的測試方法。 比較組合邏輯電路和時序邏輯電路的測試方法。 組合邏輯電路測試方法有窮舉法、一維通路敏化法、布爾差分法和D算法等。時序邏輯電路測試的主要方法是把時序電路構(gòu)造成相應(yīng)的組合電路。 15. 若∫f(x)dx=F(x)+C，則∫xf(x2)dx=_

14、_____． 若∫f(x)dx=F(x)+C，則∫xf(x2)dx=______． 16. 設(shè)2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d． [提示：應(yīng)用綜合除法． ] 設(shè)2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d．? ??[提示：應(yīng)用綜合除法． ] 由 ? ? ? ? ? ?可知，以x-2除f(x)得余數(shù)d；再以x-2除商q1(x)得余數(shù)c；再以x-2除第二次商q2(x)得余數(shù)b，易知a=2，也是第三次除法所得之商． 算式如下： ? ?

15、? ?結(jié)果有 ?f(x)=2x3-x2-3x-5 ? ? ? ? ? ?=2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13． 17. 求曲線y=cosx在點(diǎn)的切線和法線方程． 求曲線y=cosx在點(diǎn)的切線和法線方程． 切線方程 ? ?法線方程 18. 對于下列修正的Newton公式 設(shè)f(x*)=0，f(x*)≠0 試證明：該方法至少是二階收斂的 對于下列修正的Newton公式 ?? ??設(shè)f(x*)=0，f(x*)≠0 ??試證明：該方法至少是二階收斂的 [證明] ?設(shè) ? ? ? ?因?yàn)閒(x*)=0 ?且f'(

16、x*)≠0 ? ?所以x*是f(x)=0的單根 ? ?所以在xk與xk+f(xk)之間 ? ?f(x+f(x))-f(x)=f'(ξ)f(ξ)f(x) ? ?因?yàn)? ? ?且 ? ?所以所以迭代法收斂于x*． ? ?因?yàn)? ? ?所以 ? ?所以修正的Newton法至少二階收斂． 19. 計算第一類曲線積分∫Lf(x，y)ds時，要注意哪些問題? 計算第一類曲線積分∫Lf(x，y)ds時，要注意哪些問題? (1)如果積分弧段L用顯式方程y=y(x)(a≤x≤b)給出，則可把它當(dāng)作特殊的參數(shù)方程x=t，y-y(t)(a≤t≤b)

17、的情形來處理．但此時有一點(diǎn)要注意：有些可用參數(shù)方程統(tǒng)一表示的曲線(特別如閉曲線)，若用顯式方程y=y(x)(或x=x(y))來表示，也許需要分弧段表示．比如圓L：x=cost，y=sint(0≤t≤2π)，若用顯式方程表示．則需分成上半圓L1：(-1≤x≤1)和下半圓L2：(-1≤x≤1)，這時計算在L上的第一類曲線積分就要分別計算在L1和L2上的第一類曲線積分，然后把結(jié)果相加． ? ?如果積分弧段L用極坐標(biāo)方程ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)表示，則可把它看作是特殊的參數(shù)方程 ? ?x=ρ(θ)cosθ， ?y=ρ(θ)sinθ(α≤θ≤β) ? ?的情形處理．容易算得，此時

18、 ? ?(2)如同重積分那樣，也可以利用對稱性來化簡第一類曲線積分的計算，有關(guān)結(jié)論與重積分的情況類似．比如，若積分弧段L關(guān)于x軸對稱，而被積函數(shù)f(x，y)關(guān)于y是奇函數(shù)，則∫Lf(x，y)ds=0；若f(x，y)關(guān)于y是偶函數(shù)，則∫Lf(x，y)ds=2∫L1f(x，y)ds，其中L1是L上的y≥0的那一部分弧段．又若L關(guān)于直線y=x對稱，則∫Lf(x，y)ds=∫Lf(y，x)ds，等等．讀者可類比得出其他情況下的結(jié)論． ? ?計算第一類曲線積分時，還可以利用積分弧段L的方程來化簡被積函數(shù)(計算第二類曲線積分時也可以這樣處理)．由于積分變量x，y取在L上，故x，y滿足L的方程，因此，

19、需要時可將L的方程代入被積函數(shù)，達(dá)到化簡的目的，這是計算曲線積分(以及以后的曲面積分)特有的方法． 20. 設(shè)3個向量a，b，c兩兩相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______。< 設(shè)3個向量a，b，c兩兩相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______。 ?? 7 21. 最大似然估計的統(tǒng)計思想是什么? 最大似然估計的統(tǒng)計思想是什么? 22. 證明：函數(shù)在原點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在，但函數(shù)在原點(diǎn)有

20、極大值 證明：函數(shù)在原點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在，但函數(shù)在原點(diǎn)有極大值 記z=f(x，y)，則 ? ?可知 ? ?因此不存在，即z關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(0，0)處不存在 ? ?相仿可證z關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0，0)處不存在 ? ?由于f(0，0)=1，當(dāng)x2+y2≠0時， ? ?可知在原點(diǎn)處取得極大值關(guān)于z在原點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)，直接由定義可驗(yàn)證不存在,z在原點(diǎn)處極值問題可以由極值的定義判定 23. 設(shè)y1(x)，y2(x)均為方程 yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．試寫出此方程的通解． 設(shè)y1(x)，y2(x)均為方程 y

21、ˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．試寫出此方程的通解． 正確答案：因?yàn)閥1(x)y2(x)均為方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解所以y1(x)－y2(x)為對應(yīng)齊次方程yˊ＋P(x)y＝0的解．從而 y＝c[y1(x)－y2(x)]為齊次方程的通解其中C為任意常數(shù)．\r\n 因此yˊ＋P(x)y＝Q(x)的通解為 y＝c[y1(x)一y2(x)]＋y1(x)． 因?yàn)閥1(x),y2(x)均為方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解,所以y1(x)－y2(x)為對應(yīng)齊次方程yˊ＋P(x)y＝0的解．從而y＝c[y1(x)－y2(x)]為齊次方程的通解,其中

22、C為任意常數(shù)．因此,yˊ＋P(x)y＝Q(x)的通解為y＝c[y1(x)一y2(x)]＋y1(x)． 24. 長為2l的桿，質(zhì)量均勻分布，其總質(zhì)量為M，在其中垂線上高為h和有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求它們之間引力的大?。? 長為2l的桿，質(zhì)量均勻分布，其總質(zhì)量為M，在其中垂線上高為h和有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求它們之間引力的大?。? 建立如下圖所示的坐標(biāo)系，取x為積分變量，x∈[-l，l]．任取一微元[x，x+dx]，小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為，質(zhì)點(diǎn)對小段的引力為 ? ? ? ? ?鉛垂方向的分力元素為 ? ?由對稱性在水平方向的分力為Fx=0． 25. 設(shè)f(x，y)

23、關(guān)于y在R上滿足Lipschitz條件：對任意的∈R，∈R，有 ， (7.14) 其中L稱為Lipschitz常數(shù)．對后退歐拉公 設(shè)f(x，y)關(guān)于y在R上滿足Lipschitz條件：對任意的∈R，∈R，有 ??，?(7.14) ??其中L稱為Lipschitz常數(shù)．對后退歐拉公式 ??yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1)?(7.15) ??進(jìn)行迭代求解 ???(7.16) ??證明當(dāng)h滿足hL＜1時，此迭代過程是收斂的． 首先證明是Cauchy序列．由 ? ? ? ? ? ?兩邊取絕對值并利用條件(7.14)得 ? ?，k=1，2，3，…

24、 ? ?遞推得 ? ?，k=1，2，3，… ? ?對任意的l，m(l＞m)，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因?yàn)閔L＜1，所以任給ε＞0，存在N，當(dāng)l＞m≥N時， ? ? ? ?因而是Cauchy序列，從而存在，設(shè)其值為y*． ? ?在(7.16)的兩邊令k→∞，則得y*=yi+hf(xi+1，y*)．因而 ? ? 26. 如果一個代數(shù)系統(tǒng)(A，*)，含有單位元素，那么什么條件下可以保證一個元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一個元 如果一個代數(shù)系統(tǒng)(A，*)，含有單位元素，那

25、么什么條件下可以保證一個元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一個元素的逆元素是唯一的，并給予證明． “*”運(yùn)算要是可結(jié)合的．設(shè)a∈A，有左逆元a-1和右逆元a-1，則 ? ?al-1=al-1*e=al-1*(a*(ar-1)=(al-1*a)*ar-1=e*ar-1=ar-1 ? ?即有左、右逆元相等：al-1=ar-1． ? ?假設(shè)a有兩個逆元al-1，ar-1，則： ? ?a1-1=a1-1*e=a1-1*(a*a2-1)=(a1-1*a)*2-1=e*a2-1=a2-1， ? ?即a的逆元唯一． 27. 驗(yàn)證極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出．

26、 驗(yàn)證極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出． 若用洛必達(dá)法則，則因 ? ?不存在故題設(shè)極限不能用洛必達(dá)法則求出． 28. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求常數(shù)A，以及滿足條件P{X＜c}=2P{X＞c}的常數(shù)c． 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求常數(shù)A，以及滿足條件P{X＜c}=2P{X＞c}的常數(shù)c． A=2/π，． 29. 設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x)＝f(x2－1)＋f(1－x2)，證明：Fˊ(1)＝Fˊ(－1)． 設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x)＝f(x2－1)＋f(1－x2)，證明：Fˊ(1)＝Fˊ(－1)． 正確答案：×

27、 證明：∵F(x)=f(x2－1)＋f(1－x2)∵f(x)在(－∞,＋∞)內(nèi)可導(dǎo)∴F(x)為可導(dǎo)函數(shù)∴Fˊ(x)＝fˊ(x2－1)×2x+fˊ(1－x2)(－2x)＝2x[fˊ(x2－1)－fˊ(1－x2)]∴Fˊ(1)＝2[fˊ(0)－fˊ(0)]＝0Fˊ(－1)＝(－2)[fˊ(0)－fˊ(0)]＝0∴Fˊ(1)＝Fˊ(－1) 30. 設(shè)P(A)＞0，P(B)＞0，則______正確． A．若A與B獨(dú)立，則A與B必相容 B．若A與B獨(dú)立，則A與B必互不相容 C．若A與B互 設(shè)P(A)＞0，P(B)＞0，則______正確． ??A．若A與B獨(dú)立，則A與B必相容??B．若

28、A與B獨(dú)立，則A與B必互不相容 ??C．若A與B互不相容，則A與B必獨(dú)立??D．若A與B相容，則A與B必獨(dú)立 A因?yàn)镻(A)＞0，P(B)＞0，所以，若A與B獨(dú)立，則 ? ?P(AB)=P(A)P(B)＞0． ? ?從而AB≠Φ，即A與B相容，所以選項(xiàng)A正確，而選項(xiàng)B不正確． ? ?A的等價命題也成立，即若A與B互不相容，則A與B必不獨(dú)立，所以C不正確，D顯然不正確． ? ?故應(yīng)選A． 31. 求直線l1：與直線l2：的公垂線方程． 求直線l1：與直線l2：的公垂線方程． 根據(jù)題意知公垂線的方向向量可取 ? ?， ? ?l1與公垂線所確

29、定平面Π1的法向量為 ? ?, ? ?點(diǎn)(9，-2，0)在平面Π1上，故Π1的方程為 ? ?-16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0, ? ?即 ? ?16x+27y+17z-90=0. ? ?同理，l2與公垂線所確定平面H2的法向量為 ? ?, ? ?點(diǎn)(0，-7，7)在平面Π2上，故Π2的方程為 ? ?58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0, ? ?即 ? ?58x+6y+31z-175=0. ? ?Π1與Π2的交線即為l1與l2的公垂線，故公垂線方程為 ? ? 32. 設(shè)A={a1，a2，a

30、3，a4，a5}，R是A上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣 試說明關(guān)系R不是傳遞關(guān)系。 設(shè)A={a1，a2，a3，a4，a5}，R是A上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣 ??試說明關(guān)系R不是傳遞關(guān)系。 由于a12=1，a24=1，所以有(a1，a2)∈R和(a2，a4)∈R，但a14=0，即(a1，a4)R，由此說明R不是傳遞關(guān)系。 33. 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 設(shè)直線的方向向量為n，則可取 ? ? ? ?再在直線上取一點(diǎn)，例如，可令z=0，得 ? ? ? ?于是，直線的對稱式方程 ? ? ? ?參數(shù)式方程為

31、 34. 設(shè)∑an,∑bn二收斂級數(shù)中至少有一個為絕對收斂，又設(shè)cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，則∑cn必收斂，且 [墨吞斯] 設(shè)∑an,∑bn二收斂級數(shù)中至少有一個為絕對收斂，又設(shè)cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，則∑cn必收斂，且 ??[墨吞斯] 可假定∑bn為絕對收斂．于是根據(jù)假設(shè)便有 ? ? ? ?置∑n=|b0|+|b1|+…+|bn|，σn=c0+c1+…+cn則 ? ?n=(a0+a1+a2+…+an)(b0+b1+b2+…+bn)-b1an- ? ?b2(an+an-1)-b3(an+an-1+an-2)-…-bn(

32、an+an-1+…+a1)=sns'n-b1(sn-sn1)-b2(sn-sn-2)-…-bn(sn-s0)． ? ?故 ? ? ? ?現(xiàn)在的情況很明白，由于 ? ?故對于任意給定的ε＞0，總可選取n，m以及n-m都充分地大，使得 ? ?|σn-ss'|＜|sns'n-ss'|+ε(∑m-∑0)-εA，此處A=max|sn-sn-j|(m+1≤j≤n)．又|snsn'-ss'|亦可使之小于所設(shè)ε．由于ε為任意而A及∑m均系有界，故得|σn-ss'|→0 35. 盒子中有10個球，其中8個白球和2個紅球，由10個人依次取球不放回，求第二人取出紅球的概率

33、盒子中有10個球，其中8個白球和2個紅球，由10個人依次取球不放回，求第二人取出紅球的概率 0.2 36. 9．某人忘記了一個電話號碼的最后一位數(shù)字，因此只能試著隨意地?fù)苓@位數(shù)，試求他撥號不超過三次就能接通電話的 9．某人忘記了一個電話號碼的最后一位數(shù)字，因此只能試著隨意地?fù)苓@位數(shù)，試求他撥號不超過三次就能接通電話的概率是多少?若記得最后一位是奇數(shù)，則此概率又是多少? 此人必定在十次之內(nèi)接通此號碼，將此十次看做是10個箱子，編號為1，2，…，10．把正確的號碼看做一個球，此球置于第n號箱子中，表示此人撥n次才能接通電話，球的放置方法共10種．以4表示“不超過三次就能接通電話

34、”這一事件，則A的有利場合就是將球置入前三個箱子中，共有三種，故P(A) =3/10=0.3． ? ?若記得最后一位是奇數(shù)，則多只需撥五次就能接通電話。故樣本點(diǎn)總數(shù)為5，P(A) =3/5=0.6． 37. 證明‖f-g‖≥‖f‖-‖g‖ 證明‖f-g‖≥‖f‖-‖g‖ [證明] ?‖f‖=‖(f-g)+g‖≤‖f-g‖+‖g‖ ? ?所以‖f-g‖≥‖f‖-‖g‖ 38. y=y&39;2ey'． y=y'2ey'． 已解出y；不顯含x．令y'=p，有y=p2ep及．解為y=p2ey，x=(p+1)ep+c．另外有解y=0． 39. 設(shè)f(x

35、)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[a，b]上一定( )． A．連續(xù) B．可導(dǎo) C．可積 D．有界 設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間[a，b]上一定(??)． ??A．連續(xù)??B．可導(dǎo)??C．可積??D．有界 ABCD[解] 全都成立．首先，由于f(x)在[a，b]連續(xù)，故在[a，b]上成立F'(x)=f(x)，這說明F(x)于[a，b]上可導(dǎo)，再從可導(dǎo)推出連續(xù)，而閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必定可積等一般結(jié)果知，其他選項(xiàng)正確． 40. 1．設(shè)F(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)，x1，x2為數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，且有x1＜x2，則( )不一

36、定成立． A．F(x1)1．設(shè)F(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)，x1，x2為數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，且有x1＜x2，則(??)不一定成立． ??A．F(x1)2)??B．F(x1)≤F(x2) ??C．F(x)在x1處連續(xù)??D．F(x2)-F(x1)=P(x1＜x≤x2) A 41. 函數(shù)2(e2x-e-2x)的原函數(shù)有( )． A．(ex+e-x)2 B．(ex-e-x)2 C．ex+e-x D．4(e2x+e-2x) 函數(shù)2(e2x-e-2x)的原函數(shù)有(??)． ??A．(ex+e-x)2??B．(ex-e-x)2 ??C．ex+e-x??D．4(e2x+

37、e-2x) AB用求導(dǎo)的方法，可以驗(yàn)證A，B正確． 42. 若∫f(x)dx=x+C，則∫f(1-x)dx=______。 若∫f(x)dx=x+C，則∫f(1-x)dx=______。 x+C 43. 求微分方程xy&39;-y=x3+3x2-2x的通解． 求微分方程xy'-y=x3+3x2-2x的通解． 44. 重積分的被積表達(dá)式f(x，y)dσ，f(x，y，z)dV的含義是什么? 重積分的被積表達(dá)式f(x，y)dσ，f(x，y，z)dV的含義是什么? 正確答案： 45. 用來表明同類現(xiàn)象在不同空間、不同時間、實(shí)際與計劃對比變

38、動情況的相對數(shù)稱______指數(shù)。 用來表明同類現(xiàn)象在不同空間、不同時間、實(shí)際與計劃對比變動情況的相對數(shù)稱______指數(shù)。 廣義 46. 設(shè)M={1，2，3)，σ與τ是M的置換：，，求σ-1，，，τ-1． 設(shè)M={1，2，3)，σ與τ是M的置換：，，求σ-1，，，τ-1． ? ? ? ? ? ? 47. 若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(a＜x1＜x2＜x3＜b)，證明：在(x1，x3)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使 若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且 ??f(x1)=f(x2)=f(x

39、3)(a＜x1＜x2＜x3＜b)，證明：在(x1，x3)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f"(ξ)=0． 顯然f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，故f(x)在[x1,x2]及[x2，x3]上連續(xù)，在(x1，x2)及(x2，x3)上可導(dǎo)，于是由羅爾定理知，ξ2∈(x2，x3)，使得 ? ?f'(ξ1)=f'(ξ2)=0 ?(ξ1＜ξ2)，又，故f(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)可導(dǎo)，再次應(yīng)用羅爾定理知， ? ? ? ?使得f"(ξ)=0， ξ∈(x1，x3)． 48. 求下列函數(shù)的微分： (1)y=acos3x(a＞0)； (2)y=(1+x2)xesx 求下列函數(shù)的微分：

40、??(1)y=acos3x(a＞0)；??(2)y=(1+x2)xesx (1)因?yàn)閥'=(acos23x)'=acos23x·2cos3x·(-3sin3x)lna， ? ?所以 ? dy=-6sin3xcos3x·Ina·acos23xdx ? ?=-3sin6xlnaacos23xdx． ? ?(2)y'=(1+x2)secx[secxln(1+x2)]' ? ?故有 ? 49. 設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，取正值且單調(diào)減少，證明 設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，取正值且單調(diào)減少，證明 作 ? ? ? ?(因f(x)單調(diào)減少，f(t

41、)-f(x)＞0，0＜t＜α≤x)要證，作輔助函數(shù)只要證F(β)＞0，證F(x)＞0即可，這種函數(shù)不等式的證明可用微分學(xué)方法 50. 設(shè)A，B，C為三相異共線點(diǎn)，求證：可適當(dāng)選擇A，B的齊次坐標(biāo)a，b，而使c＝a＋b，其中c是C點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，寫出 設(shè)A，B，C為三相異共線點(diǎn)，求證：可適當(dāng)選擇A，B的齊次坐標(biāo)a，b，而使c＝a＋b，其中c是C點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，寫出對偶情況． 正確答案：設(shè)ABC的齊次坐標(biāo)分別為a1、b1、c則根據(jù)定理3．4存在常數(shù)lm使c＝la1＋mb1\r\n 因?yàn)锳BC為不同的點(diǎn)所以l≠0m≠0取A點(diǎn)的坐標(biāo)為la1B點(diǎn)的坐標(biāo)為mb1則有c＝a＋b．

42、設(shè)A,B,C的齊次坐標(biāo)分別為a1、b1、c,則根據(jù)定理3．4,存在常數(shù)l,m,使c＝la1＋mb1,因?yàn)锳,B,C為不同的點(diǎn),所以l≠0,m≠0,取A點(diǎn)的坐標(biāo)為la1,B點(diǎn)的坐標(biāo)為mb1,則有c＝a＋b． 51. 給定微分方程組 ， 其中f(x，y)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)．試證明在原點(diǎn)鄰域內(nèi)如f＞0則零解為漸近穩(wěn)定的，而f＜0則零解 給定微分方程組 ??， ??其中f(x，y)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)．試證明在原點(diǎn)鄰域內(nèi)如f＞0則零解為漸近穩(wěn)定的，而f＜0則零解不穩(wěn)定． 取定正，有V'=-(x2+y2)f(x，y)．當(dāng)f＞0時V'定負(fù)，零解漸近穩(wěn)定，而f＜0時V'定正，零解不穩(wěn)定．

43、 52. 甲、乙、丙、丁四人爭奪乒乓球單打冠軍，已知情況如下： 前提：(a)若甲獲冠軍，則乙或丙獲亞軍； (b)若乙獲亞軍， 甲、乙、丙、丁四人爭奪乒乓球單打冠軍，已知情況如下： ??前提：(a)若甲獲冠軍，則乙或丙獲亞軍； ??(b)若乙獲亞軍，則甲不能獲冠軍； ??(c)若丁獲亞軍，則丙不能獲亞軍； ??事實(shí)是：(d)甲獲冠軍； ??結(jié)論是：(e)丁沒有獲亞軍。 ??請證明此結(jié)論是有效結(jié)論。 [證明]如果令 ? ?P：甲獲冠軍； ? ?Q：乙獲亞軍； ? ?R：丙獲亞軍； ? ?S：丁獲亞軍。 ? ?由題意可知，需證明 ? ?P→

44、(QR)，Q→￢P，S→￢R， ? ?用間接證明法： ? ?①S ? ?P(附加前提) ? ?②S→￢R ? ?P ? ?③￢R ? ?T①，② ? ?④P ? ?P ? ?⑤P→(QR) ? ?P ? ?⑥QR ? ?T④，⑤ ? ?⑦(￢Q→R)∧(R→￢Q) ? ?T⑥ ? ?⑧￢Q→R ? ?T⑦ ? ?⑨Q→￢P ? ?P ? ?⑩￢Q ? ?T④，⑨ ? ?(11)R ? ?T⑧，⑩ ? ?(12)R∧￢R(矛盾) ? ?T③，(11) 53. 已知一容器的外表面由y=x2(0≤y≤12m)繞y

45、軸旋轉(zhuǎn)而成，現(xiàn)在該容器盛滿了水，將容器內(nèi)的水全部抽出至少需作多少功 已知一容器的外表面由y=x2(0≤y≤12m)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，現(xiàn)在該容器盛滿了水，將容器內(nèi)的水全部抽出至少需作多少功？ 以y為積分變量，則y的變化范圍為[0，12]，相應(yīng)于[0，12]上的任一小區(qū)間[y，y+dy]的一薄層水近似看作高為dy、底面積為πx2=πy的一個圓柱體，得到該部分體積為πydy，水的密度P=1000kg/m3，該部分重力為1000gπydy，把該部分水抽出的移動距離為12-y，因此作功為 ? ?. 54. 設(shè)y1，y2是二階非齊次線性微分方程的兩個不同的特解，證明： (1)y1與y

46、2之比不可能是常數(shù)； (2)對任何一個常數(shù) 設(shè)y1，y2是二階非齊次線性微分方程的兩個不同的特解，證明： ??(1)y1與y2之比不可能是常數(shù)； ??(2)對任何一個常數(shù)λ，y=λy1+(1-λ)y2是方程的解． (1)如果y1=ky2，則由題意，常數(shù)k≠0，1．從而有 ? ?y"1+P(x)y'1+Q(x)y'1=f(x) ? ?以及 ?y"1+P(x)y'1+Q(x)y1=(ky2)"+P(x)(ky2)'+Q(x)(ky2)=kf(x)． ? ?于是就有kf(x)=f(x)，但f(x)≠0，此式不可能成立，所以y1與y2之比不可能是常數(shù)． ? ?(2)

47、將y=λy1+(1-λ)y2代入方程的左端，得到 ? ?[λy1+(1-λ)y2]"+P(x)[λy1+(1-λ)y2]'+Q(x)[λy1+(1-λ)y2] ? ?=λ[y"1+P(x)y'1+Q(x)y1]+(1-λ)[y"2+p(x)y'2+Q(x)y2] ? ?=λf(x)+(1-λ)f(x)=f(x)． ? ?因此，對一切常數(shù)λ，y=λy1+(1-λ)．y2也是線性微分方程的解． 55. (如圖所示)設(shè)A，B，C是不共線的3點(diǎn)，它們決定一平面Ⅱ，則點(diǎn)P在Ⅱ上的充要條件是存在唯一的數(shù)組(λ，μ，γ)，)使得 (如圖所示)設(shè)A，B，C是不共線的3點(diǎn)，它

48、們決定一平面Ⅱ，則點(diǎn)P在Ⅱ上的充要條件是存在唯一的數(shù)組(λ，μ，γ)，)使得 ?? ??其中O是任意的一點(diǎn)，P在△ABC內(nèi)的充要條件是*與λ≥0，μ≥0，γ≥0同時成立。 ? ?若點(diǎn)，則與，共面，，或 ? ?取1-l-k=λ，μ=k，則 ? ?，λ+μ+γ=1 ? ?*部分證明：在ΔABC內(nèi)成立．，且 ? ?，，0≤l≤1，且0≤k+l≤1即μ≥0，r≥0，，μ≥0，γ≥0，λ+μ+r=1，且在△ABC內(nèi)． 56. 甲、乙兩車床生產(chǎn)同一種零件．現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個和9個，測得其外徑(單位：mm)為： 甲：15.0，1 甲、乙

49、兩車床生產(chǎn)同一種零件．現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個和9個，測得其外徑(單位：mm)為： ??甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8 ??乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8 ??假定其外徑都服從正態(tài)分布，問乙車床的加工精度是否比甲車床的高(α=0.05)? 57. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)z＝20－x2＋10x－2y2＋5y，其中x和y為兩種投入量，z為產(chǎn)出量．若兩種投入量的 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)z＝20－x2＋10x－2y2＋5y，其中x和y為兩種投入量，

50、z為產(chǎn)出量．若兩種投入量的價格分別為2和1，產(chǎn)品的售價為5，試求最大利潤． 正確答案：× 收入函數(shù)R(x,y)＝5z＝100－5x2＋50x－10y2＋25y,總成本函數(shù)C(x,y)＝2x＋y,從而利潤函數(shù)為L(x,y)＝R(x,y)－C(x,y)＝100－5x2＋48x－10y2＋24y,L〞xx＝－10,L〞xy＝0,L〞yy＝－20所以A＝－10,B＝0,C＝－20,B2－AC＝－200＜0,有極值．而A＜0,故有極大值,而點(diǎn)(4．8,1．2)為唯一駐點(diǎn),從而點(diǎn)(4．8,1．2)為最大值點(diǎn)．所以Lmax(4．8,1．2)＝100－5×4．82＋48×4．8－10×1．22＋2

51、4×1．2＝100－115．2＋230．4－14．4＋28．8＝359．2－129．6＝229．6． 58. 計算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk． 計算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk． (1)div(ugradv)=▽·(u▽v)=▽u·▽v+u(▽·▽v)=gradu·gradv+u▽v． ? ?(2)r=(x,y,z),divr=▽·(x,y,z)=3 59. 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證η=1-e-2ξ在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布． 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為2的指

52、數(shù)分布，試證η=1-e-2ξ在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布． 因?yàn)棣畏膮?shù)為2的指數(shù)分布，則概率密度函數(shù)為 ? ? ? ?分布函數(shù) ? ?在x≥0時，y=1-e-2x的反函數(shù)是，有 ? ? ? ? ? ?故服從均勻分布． 60. 求矩陣A特征值的QR迭代時，具體收斂到哪種矩陣是由A的哪種性質(zhì)決定的? 求矩陣A特征值的QR迭代時，具體收斂到哪種矩陣是由A的哪種性質(zhì)決定的? 設(shè)A∈Rn×n，且A有完備的特征向量組．如果A的等模特征值中只有實(shí)重特征值或多重復(fù)的共軛特征值，則由QR算法產(chǎn)生的{Ak}本質(zhì)收斂于分塊上三角矩陣(對角塊為一階和二階子塊)且對角塊中每一個2×2子塊給出A的一對共軛復(fù)特征值，每一個一階對角子塊給出A的實(shí)特征值，即 ? ? ? ?其中m+2l=n，BI(i=1，2，…，l)為2×2子塊，它給出A的一對共軛特征值．