概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章課后題答案.doc
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概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章課后題答案第三章 連續(xù)型隨機變量 3.1 設(shè)隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為F(x),試以F(x)表示下列概率:(1)P(x=a);(2)P(xa);(3)P(xa);(4)P(x>a) 解:(1)P(x=a)=F(a+0)-F(a);(2)P(xa)=F(a+0);(3)P(xa)=1-F(a);(4)P(x>a)=1-F(a+0)。3.2 函數(shù)F(x)=11+x2是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù),如果(1)-<x<p(2)0<x<,在其它場合適當定義;(3)-<x<0,在其它場合適當定義。 解:(1)F(x)在(-,)設(shè)隨機變數(shù)x具有對稱的分布密度函數(shù)p(x),即p(x)=p(-x),證明:對任意的a>0,有(1)F(-a)=1-F(a)=12-a p(x)dx;(2)P(x<a)=2F(a)-1; (3)P(x>a)=21-F(a)。 證:(1)F(-a)=-a-p(x)dx=1-ap(x)dx=1+-ap(-x)dx=1-a-p(x)dx=1-F(a)=1- - (2)P(<a= -p(x)dxa p(x)dx=a12-a0a p(x)dx;-ap(x)dx=2p(x)dx,由(1)知1-F(a)=故上式右端=2F(a)-1;12-a p(x)dx(3)P(>a)=1-P(x<a)=1-2F(a)-1=21-F(a)。3.5 設(shè)F1(x)與F2(x)都是分布函數(shù),又a>0,b>0是兩個常數(shù),且a+b=1。證明F(x)=aF1(x)+bF2(x)也是一個分布函數(shù),并由此討論,分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型? 證:因為F1(x)與F2(x1)F2(x2),于是F(x1)=aF1(x1)+bF2(x1)aF1(x2)+bF2(x2)=F(x2)F2(x都是分布函數(shù),當x1<x2時,F(xiàn)1(x1)F1(x2),又x-limF(x)=limaF1(x)+bF2(x)=0x-limF(x)=limaF1(x)+bF2(x)=a+b=1xxF(x-0)=aF1(x-0)+bF2(x-0)=aF1(x)+bF2(x)=F(x)所以,F(xiàn)(x)也是分布函數(shù)。取a=b=12,又令0F1(x)=1x0x>0x00F2(x)=x0<x11x>1x00<x1 x>1這時01+xF(x)=21顯然,與F(x)對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列個值,故F(x)不是離散型的,而F(x)不是連續(xù)函數(shù),所以它也不是連續(xù)型的。3.6 設(shè)隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為1-(1+x)e-xF(x)=0x0x<0 求相應(yīng)的密度函數(shù),并求P(x1)。 解:ddx1-(1+x)e-x=xe-x,所以相應(yīng)的密度函數(shù)為 xe-xp(x)=0x0x<02e P(x1)=F(1)=1-。3.7 設(shè)隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為02F(x)=Ax1x<00x<1 x1求常數(shù)A及密度函數(shù)。解:因為F(1-0)=F(1),所以A=1,密度函數(shù)為2xp(x)=00x<1其它 3.8 隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctgx,求常數(shù)A與B及相應(yīng)的密度函數(shù)。解:因為limF(x)=A+B(-x-p2)=0limF(x)=A+Bx+p2=1所以A=12,B=1p因而F(x)=12+1arctgx,p(x)=F(x)=1pp(1+x)2。3.9 已知隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為xp(x)=2-x00<x11<x2 其它(1) 求相應(yīng)的分布函數(shù)F(x);(2) 求P(x<0.5),P(x>1.3),P(0.2<x<1.2)。 x00x12ydy=x0<x102解:F(x)= 1x12ydy+(2-y)dy=2x-x-11<x2120x>21P(x<0.5)=F(0.5)=18P(x>1.3)=1-P(x1.3)=1-F(1.3)=0.245 P(0.2<x<1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.663.10確定下列函數(shù)中的常數(shù)A,使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。(1)p(x)=Ae-x;p2Acosx(2)p(x)=0-xp2 其它(3)Ax2p(x)=Ax01x22<x<3 其它-x解:(1)-Ae-xdx=2Ae0dx=2A=1所以A=12;p-p (2)2pAcosxdx=2A2cosxdx=2A=1,所以A=2812;(3)Ax2dx+122Axdx=296A=1,所以A=629。3.12 在半徑為R,球心為O的球P(x>0.8)=P(x>0.9)=10.8112x(1-x)dx=0.0272 12x(1-x)dx=0.0037220.9因此,若該城市每天的供電量為80萬度,供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90萬度,則供電量不夠需要的概率為0.0037。 3.14設(shè)隨機變數(shù)x服從(0,5)上的均勻分布,求方程4x+4xx+x+2=02有實根的概率。 解:當且僅當(4x)-16(x+2)0 (1) 成立時,方程4x+4xx+x+2=0有實根。不等式(1)的解為:x2或x-1。 因此,該方程有實根的概率22p=P(x2)+P(x-1)=P(x2)=5152=35。3.17 某種電池的壽命x服從正態(tài)N(a,s2)分布,其中a=300(小時),s=35(小時)(1) 求電池壽命在250小時以上的概率;(2)求x,使壽命在a-x與a+x之間的概率不小于0.9。x-300解:(1)P(x>250)=P(>-1.43)35=P(x-30035<1.43)=F(1.43)0.9236;x35<(2)P(a-x<x<a+x)=P(- =F(即x35)-F(-x35)=2F(xx-30035<x35 35)-10.9F(x35x)0.95所以351.65即x57.753.18 設(shè)F(x)為N(0,1)分布的分布函數(shù),證明當x>0時,有12p-x2e2.1x>1-F(x)>212p12pe-x22(21x-1x3)證: 1-F(x)=1-x212pxe-y2-dy=y2e-y2dyx=12p12pe-2.1x-12p1x31y2-2dy2xx2=所以 e2(1x-)+12p3y4-y2xdy12pe-x22.1x>1-F(x)>12pe-x22(1x-1x3)。3.21 證明:二元函數(shù)1F(x,y)=0x+y>0x+y0 對每個變元單調(diào)非降,左連續(xù),且F(-,y)=F(x,-)=0,F(xiàn)(-,+)=0,但是 F(x,y)并不是一個分布函數(shù)。證:(1)設(shè)Dx>0,若x+y>0,由于x+Dx+y>0,所以F(x,y)=F(x+Dx,y)=1, 若x+y0,則F(x,y)=0。當x+Dx+y0時,F(xiàn)(x+Dx,y)=0; 當x+Dx+y>0時,F(xiàn)(x+Dx,y)=1。所以 F(x,y)F(x+Dx,y)。 可見,F(xiàn)(x,y)對x非降。同理,F(xiàn)(x,y)對y非降。(2)x+y0時limF(x-Dx,y)=limF(x,y-Dy)=0=F(x,y),Dx0Dy0x+y>0時,limF(x-Dx,y)=limF(x,y-Dy)=1=F(x,y),Dx0Dy0所以F(x,y)對x、y左連續(xù)。(3)F(-,y)=F(x,-)=0,F(xiàn)(+,+)=0。(4)P(0x<2,0h<2)=F(2,2)-F(2,0)-F(0,2)+F(0,0)=-1, 所以F(x,y)不是一個分布函數(shù)。3.23 設(shè)二維隨機變數(shù)(x,h)的密度1sin(x+y)p(x,y)=200x其它p2,0yp2求的分布函數(shù)。 (x,h)解:當0xp2,0yp2時,F(xiàn)(x,y)=P(x<x,h<y) =x0y120sin(t+s)dsdt=1212x cot-cos(t+y)dtsinx+siny-sin(x+y),所以01sinx+siny-sin(x+y)21(sinx+1-cosx)F(x,y)=21(1+siny-cosy)21(x<0)(y<0)0xp2,0ypp20xx>p2,y>p2x>,0ypp2 2p2,y>23.24 設(shè)二維隨機變數(shù)(x,h)的聯(lián)合密度為ke-3x-4yp(x,y)=0x>0,y>0其它 (1) 求常數(shù)k;(2) 求相應(yīng)的分布函數(shù); (3) 求P(0<x<1,0<h<2)。 解:(1) ke-3x-4ydxdy=k4 e-3xdx=k12,所以k=12;(2)x>0,y>0時, F(x,y)= xyy12e-3x-3t-48dtds=12(e -4yx-3tdt)(e y-48ds)=(1-e)(1-e),所以(1-e-3x)(1-e-4y) F(x,y)=0x>0,y>0其它 (3)P(0<x<1,0<h<2)=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0) =1-e-3-e-8+e-11。325 設(shè)二維隨機變數(shù)(x,h)有密度函數(shù)Ap(x,y)=p(16+x)(25+y)222 求常數(shù)A及(x,h)的密度函數(shù)。-p(x,y)dxdy2解: =-A-p(16+x)(25+y)dx16+x222A20=1 4Ap2 dy25+y2 =所以,A=20;F(x,y)=20-y-xy-p(t,s)dtdsdtdsppp2-x(16+t)(25+s)dt222202(x-16+tx4)(yds25+sy52 -)12(arctg+p2)(arctg+p2)3.26 設(shè)二維隨機變數(shù)(x,h)的密度函數(shù)為4xyp(x,y)=00<x<1,0<y<1其它 求(1)P(0<x<解:(1)(2)11,<h<1);(2)P(x=h);(3)P(x<h);(4)P(xh)。 2411011P(0<x<,<h<1)=24P(x=h)=2 214xydxdy=4xdx41114ydy=1564;4xydxdyx=y=0;1112(3)P(x<h)=x<y4xydxdy= x4xydydx= 2(x-x)dx=12 ;(4)P(xh)=123.28 設(shè)(x,h)的密度函數(shù)為1p(x,y)=200x1,0y2其它 求x與h中至少有一個小于12的概率。解:P(x<=1-1212)(h<12)=1-P(x12,h1258)12p(x,y)dxdy=1-121112 12dxdy=3.30 一個電子器件包含兩個主要組件,分別以x和h表示這兩個組件的壽命(以小時計),設(shè)(x,h)的分布函數(shù)為1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y)F(x,y)=0x0,y0其它 求兩個組件的壽命都超過120的概率。 解:P(x>120,h>120)=1-P(x120)(h120)=1-P(x120)-P(h120)+P(x120,h120)=1-F(120+0,)-F(,120+0)+F(120+0,120+0) =1-(1-e=e-2.4-1.2-1.2-1.2-2.4)-(1-e)+(1-2e+e)0.093.31 設(shè)p1(x),p2(x)都是一維分布的密度函數(shù),為使p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y)成為一個二維分布的密度函數(shù),問其中的h(x,y)必需且只需滿足什么條件? 解:若p(x,y)為二維分布的密度函數(shù),則p(x,y)0,-p(x,y)dxdy=1所以條件(1)h(x,y)p1(x)p2(y);(2)-h(x,y)dxdy=0得到滿足。反之,若條件(1),(2)滿足,則p(x,y)0,p(x,y)為二維分布的密度函數(shù)。-p(x,y)dxdy=1因此,為使p(x,y)成為二維分布的密度函數(shù),h(x,y)必需且只需滿足條件(1)和(2)。 3.32 設(shè)二維隨機變數(shù)(x,h)具有下列密度函數(shù),求邊際分布。2e-y+1(1)p(x,y)=x30x>1,y>1其它 1-1(x2+y2)e2(2)p(x,y)=p0x>0,y0或x0,y>0其它 1k-1k-1-yx1(y-x)2e(3)p(x,y)=G(k1)G(k2)00<x<y其它 解:(1)px(x)=2e-y+131x2edy=2x3,(x>1)px(x)=0,(x1)px(x)=(2)x>0時, px(x)=-y+131x=e-y+1,(y>1)px(x)=0,(y1) 1-p122-(x+y)2dy=12pe-x22 x0時,px(x)=1 p1122-(x+y)2dy=12pe-x22 2所以,px(x)=2pxe-x22。同理,px(y)=12pe-y2。k1-1(3)px(x)=G(k1)G(k2)x(y-x)k2-1e-ydy=1G(k1)xk2-1e-x,(x>0)px(x)=0,(x0)ph(y)=e-y G(k1)G(k2)y xk1-1(y-x)k2-1dx=1G(k1+k2)yk1+k2-1,(y>0) ph(y)=0,(y0)3.34 證明:若隨機變數(shù)x只取一個值a,則x與任意的隨機變數(shù)h獨立。 證:x的分布函數(shù)為0Fx(x)=1xax>a 設(shè)h的分布函數(shù)、(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)分別為Fh(y),F(x,y)。當xa時,F(xiàn)(x,y)=P(x<x,h<y)=0=Fx(x)Fh(y)。當x>a時,F(xiàn)(x,y)=P(x<x,h<y)=P(h<y)=Fx(x)Fh(y)。所以,對任意實數(shù)x,y,都有F(x,y)=Fx(x)Fh(y),故x與h相互獨立。3.35 證明:若隨機變數(shù)x與自己獨立,則必有常數(shù)c,使P(x=c)=1。 證:由于P(x<x)=P(x<x,x<x)=P(x<x)P(x<x),所以F(x)=F(x)2,F(xiàn)(x)=0或1。由于F(-)=0,F(+)=1,F(xiàn)(x)非降、左連續(xù),所以必有常數(shù)c,使得0F(x)=0xcx>c故P(x=c)=1。3.36設(shè)二維隨機變量(x,h)的密度函數(shù)為1p(x,y)=p0x+y221 其它問x與h是否獨立?是否不相關(guān)? 2解:px(x)=1-xdy2-1-xp=2-x2p,(|x|1);px(x)=0,(|x|>1)。 同理,ph(y)=2-y2p,(|y|1);ph(y)=0,(|y|>1)。由于p(x,y)px(x)ph(y),所以x與h不相互獨立。又因p(x,y),px(x),ph(y)關(guān)于x或關(guān)于y都是偶函數(shù),因而Ex=Eh=E(xh)=0,故cov(x,h)=0, x與h不相關(guān)。3.41 設(shè)某類電子管的壽命(以小時計)具有如下分布密度:100p(x)=x20x>100x100一臺電子管收音機在開初使用的150小時中,三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少?三個這類管子全部要替換的概率又是多少?(假設(shè)這三個管子的壽命分布是相互獨立的) 解:設(shè)這類電子管的壽命為x,則P(x>150)=100x2150=23 所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為(2)3=83率是(1-2)=27;三個這類管子全部要替換的概327。3.44 對球的直徑作近似測量,設(shè)其值均勻分布在區(qū)間a,b內(nèi),求球體積的密度函數(shù)。 解:設(shè)球的直徑為x,則其體積為h=x=316px3。y=16px3的反函數(shù)6y,dx=23236pydy。由x的密度函數(shù)px(x)=(b-a),axb,得h的密度函數(shù)為2ph(y)=(b-a)336py20p6ay3p6b,3 其它。3.45 設(shè)隨機變數(shù)x服從N(0,1)分布,求的分布密度。 解:在x0時,P(x<x)=P(-x<x<x)=x12p-xe-t22dt。所以x的分布密度px(x)=2/pe2-x2/2,(x0);px(x)=0,(x<0)。x3.46 設(shè)隨機變數(shù)x服從N(a,s)分布,求e的分布密度。 解:y=e的反函數(shù)x=lny,dx=1/ydy。由x服從N(a,s)分布,推得h=e的分2x布密度為1oxpph(y)=2psy01-2s2(lny-a)2y>0,y0. 3.47 隨機變數(shù)x在任一有限區(qū)間a,b上的概率均大于0(例如正態(tài)分布等),其分布函數(shù)為Fx(x),又h服從0,1上的均勻分布。證明z=Fx-1(h)的分布函數(shù)與x的分布函數(shù)相同。解:因為x在任一有限區(qū)間a,b上的概率均大于0,所以Fx(x)是嚴格上升函數(shù)。由于0,1上的均勻分-1布,所以z的分布函數(shù)Fx(x)=P(x<x)=P(Fx對任意的x都成立。所以z(h)<x)=P(h<Fx(x)=Fx(x),與x的分布函數(shù)相同。3.48 設(shè)隨機變量x與h獨立,求x+h的分布密度。若(1)x與h分布服從(a,b)及(a,b)上的均勻分布,且a<a<b<b;(2)x與h分別服從(-a,0)及(0,a)上的均勻分布,a>0。解(1)px(x)=1/(b-a),a<x<b;px(x)=0,其它。ph(x)=1/(b-a),a<x<b;ph(y)=0,其它。 px+h(x)=-px(x-y)ph(y)dy 1(b-a)(b-a) =min(x-a,b)man(x-b,a)=min(x-a,b)-max(x-b,a)/(b-a)(b-a),a+a<x<b+b;px+h(x)=0,其它。(2)px(x)=1/a,-a<x<0;px(x)=0,其它,ph(x)=1/a,0<x<a;ph(x)=0,其它。px+h(x)=-px(x-y)ph(y)dy=min(x+a,a)max(x,0)1/ady 2=min(x+a,a)-max(x,0)/a 2=a-xa2,-a<x<a;px+h(x)=0,其它3.49 設(shè)隨機變量x與h獨立,服從相同的拉普拉斯分布,其密度函數(shù)為p(x)=12ae-x/a,(a>0)求x+h的密度函數(shù)。解: px(x)=ph(x)=px+h(x)=12ae-x/a,-px(x-y)ph(y)dy,當x0時,px+h(x)=14a14a2 -|x-y|+|y|exp-dy2a4aa1e-x-y-ydy+ax e-x-y+yady+xe-y-x+yady(1+xa)e-x當x<0時,px+h(x)=14a2e-x-x-y-yady+ xe-y-x-yady+ e-y-x+yady=14a(1-xa)exa 所以px+h(x)=14a2(a+|x|)e-|x|3.50 設(shè)隨機變量x與h獨立,服從相同的柯西分布,其密度函數(shù)為1p(x)=12p(1+x)2 證明:V=證:(x+h)也服從同一分布。px+h(y)=111212-p21+x1+(y-x)2x+yx+122dxdxpy(y1222+4)-2(x-y)-y(x-y)+12 2py(y+4)22ln(x+1)+yarctgx-ln(x-y)+1)+yarctg(x-y)|-p(y+4)2所以p12(z)=(x+h)2p(2z)+422=1p(1+z)2 即V=12(x+h)也服從相同的柯西分布。3.51 設(shè)隨機變量x與h獨立,分別具有密度函數(shù)le-lxpx(x)=0me-mxph(x)=0x>0x0x>0x0 (其中l(wèi)>0,m>0),求x+h的分布密度。 解:x>0時,px+h(x)=mle-mxx0x me-m(x-y)le-lydye-(l-m)ydy -mx-lxmlee,lm(l-m)=2-lx,l=mlxex0時,px+h(x)=03.53 設(shè)隨機變量x與h獨立,都服從(0,1)上的均勻分布,求|x-h|的分布。 解:-h服從(-1,0)上的均勻分布,據(jù)3.48(2)知,x+1px-h(x)=min(x+1,1)-max(x,0)=1-x-1<x00<x<1 在0<x<1時,|x-h|的分布函數(shù)F(x)=P(|x-h|<x)=P(-x<x-h<x)= -x(t+1)dt+x (1-t)dt=2x-x2 所以|x-h|的分布密度為2(1-x)p|x-h|(x)=00x<1其它 3.54 設(shè)隨機變量x與h獨立,分別服從參數(shù)為l與m的指數(shù)分布,求x-h的分布密度。解:由ph(x)=me-mx,x>0得p-h(x)=mepx-h(x)=mx,x<0,所以-px(y)p-h(x-y)dy在x0時,px-h(x)= le-lymem(x-y)dy=lmemx(l+m) 在x>0時,px-h(x)=xle-lmmem(x-y)dy=lme-lx(l+m) 所以lmemx(l+m)(x)=-lxlme(l+m)x0px-h x>03.56 設(shè)隨機變量x與h獨立,且分別具有密度函數(shù)為1px(x)=p-x20-xxeph(y)=02|x|<1|x|1 x>0x0 證明xh服從N(0,1)分布。 證:由ph(x)=xe-x2,x>0得ppxh(y)=p1(x)=x-3e-2x2,x>0。故x1(y)=-|x|px(yx)ph(x)dxh令2x2=u+y22,則12p-y2pxh(y)=e u-12e-udu=12pe-y22 所以xh服從N(0,1)分布。3.58 設(shè)隨機變量x與h獨立,都服從(0,a)上的均勻分布,求x的密度函數(shù)。解:px(x)=-px(xz)ph(z)|z|dz=1a zpx(xz)dz當0<x1時,px(x)=1a2a zdz=12 當x>1時px(x)=1a2a