概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章課后題答案.doc

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章課后題答案第三章 連續(xù)型隨機變量 3.1 設隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為F(x)，試以F(x)表示下列概率：（1）P(x=a)；（2）P(xa)；（3）P(xa)；（4）P(xa) 解：（1）P(x=a)=F(a+0)-F(a)；（2）P(xa)=F(a+0)；（3）P(xa)=1-F(a)；（4）P(xa)=1-F(a+0)。3.2 函數(shù)F(x)=11+x2是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù)，如果（1）-xp（2）0x，在其它場合適當定義；（3）-x0,有（1）F(-a)=1-F(a)=12-a p(x)dx；（2）P（xa)=21-F(a)。 證：（1）F(-a)=-a-p(x)dx=1-ap(x)dx=1+-ap(-x)dx=1-a-p(x)dx=1-F(a)=1- - （2）P(a)=1-P(x0,b0是兩個常數(shù)，且a+b=1。證明F(x)=aF1(x)+bF2(x)也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因為F1(x)與F2(x1)F2(x2)，于是F(x1)=aF1(x1)+bF2(x1)aF1(x2)+bF2(x2)=F(x2)F2(x都是分布函數(shù)，當x10x00F2(x)=x01x001這時01+xF(x)=21顯然，與F(x)對應的隨機變量不是取有限個或可列個值，故F(x)不是離散型的，而F(x)不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.6 設隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為1-(1+x)e-xF(x)=0x0x0 求相應的密度函數(shù)，并求P(x1)。 解：ddx1-(1+x)e-x=xe-x，所以相應的密度函數(shù)為 xe-xp(x)=0x0x02e P(x1)=F(1)=1-。3.7 設隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為02F(x)=Ax1x00x1 x1求常數(shù)A及密度函數(shù)。解：因為F(1-0)=F(1)，所以A=1，密度函數(shù)為2xp(x)=00x1其它 3.8 隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctgx，求常數(shù)A與B及相應的密度函數(shù)。解：因為limF(x)=A+B(-x-p2)=0limF(x)=A+Bx+p2=1所以A=12,B=1p因而F(x)=12+1arctgx,p(x)=F(x)=1pp(1+x)2。3.9 已知隨機變數(shù)x的分布函數(shù)為xp(x)=2-x00x11x2 其它（1） 求相應的分布函數(shù)F(x)；（2） 求P(x1.3),P(0.2x1.2)。 x00x12ydy=x0x102解：F(x)= 1x12ydy+(2-y)dy=2x-x-1121P(x1.3)=1-P(x1.3)=1-F(1.3)=0.245 P(0.2x1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.663.10確定下列函數(shù)中的常數(shù)A，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。（1）p(x)=Ae-x；p2Acosx（2）p(x)=0-xp2 其它（3）Ax2p(x)=Ax01x22x0.8)=P(x0.9)=10.8112x(1-x)dx=0.0272 12x(1-x)dx=0.0037220.9因此，若該城市每天的供電量為80萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。 3.14設隨機變數(shù)x服從（0，5）上的均勻分布，求方程4x+4xx+x+2=02有實根的概率。 解：當且僅當(4x)-16(x+2)0 （1） 成立時，方程4x+4xx+x+2=0有實根。不等式（1）的解為：x2或x-1。 因此，該方程有實根的概率22p=P(x2)+P(x-1)=P(x2)=5152=35。3.17 某種電池的壽命x服從正態(tài)N(a,s2)分布，其中a=300（小時），s=35（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率；（2）求x，使壽命在a-x與a+x之間的概率不小于0.9。x-300解：（1）P(x250)=P(-1.43)35=P(x-300351.43)=F(1.43)0.9236；x35（2）P(a-xxa+x)=P(- =F(即x35)-F(-x35)=2F(xx-300350時，有12p-x2e2.1x1-F(x)212p12pe-x22(21x-1x3)證： 1-F(x)=1-x212pxe-y2-dy=y2e-y2dyx=12p12pe-2.1x-12p1x31y2-2dy2xx2=所以 e2(1x-)+12p3y4-y2xdy12pe-x22.1x1-F(x)12pe-x22(1x-1x3)。3.21 證明：二元函數(shù)1F(x,y)=0x+y0x+y0 對每個變元單調非降，左連續(xù)，且F(-,y)=F(x,-)=0，F(xiàn)(-,+)=0，但是 F(x,y)并不是一個分布函數(shù)。證：（1）設Dx0，若x+y0，由于x+Dx+y0，所以F(x,y)=F(x+Dx,y)=1， 若x+y0，則F(x,y)=0。當x+Dx+y0時，F(xiàn)(x+Dx,y)=0； 當x+Dx+y0時，F(xiàn)(x+Dx,y)=1。所以 F(x,y)F(x+Dx,y)。 可見，F(xiàn)(x,y)對x非降。同理，F(xiàn)(x,y)對y非降。（2）x+y0時limF(x-Dx,y)=limF(x,y-Dy)=0=F(x,y)，Dx0Dy0x+y0時，limF(x-Dx,y)=limF(x,y-Dy)=1=F(x,y)，Dx0Dy0所以F(x,y)對x、y左連續(xù)。（3）F(-,y)=F(x,-)=0，F(xiàn)(+,+)=0。（4）P(0x2,0h2)=F(2,2)-F(2,0)-F(0,2)+F(0,0)=-1， 所以F(x,y)不是一個分布函數(shù)。3.23 設二維隨機變數(shù)(x,h)的密度1sin(x+y)p(x,y)=200x其它p2,0yp2求的分布函數(shù)。 （x,h）解：當0xp2，0yp2時，F(xiàn)(x,y)=P(xx,hy) =x0y120sin(t+s)dsdt=1212x cot-cos(t+y)dtsinx+siny-sin(x+y),所以01sinx+siny-sin(x+y)21(sinx+1-cosx)F(x,y)=21(1+siny-cosy)21(x0)(yp2,yp2x,0ypp2 2p2,y23.24 設二維隨機變數(shù)(x,h)的聯(lián)合密度為ke-3x-4yp(x,y)=0x0,y0其它 （1） 求常數(shù)k；（2） 求相應的分布函數(shù)； （3） 求P(0x1,0h0,y0時， F(x,y)= xyy12e-3x-3t-48dtds=12(e -4yx-3tdt)(e y-48ds)=(1-e)(1-e)，所以(1-e-3x)(1-e-4y) F(x,y)=0x0,y0其它 （3）P(0x1,0h2)=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0) =1-e-3-e-8+e-11。325 設二維隨機變數(shù)(x,h)有密度函數(shù)Ap(x,y)=p(16+x)(25+y)222 求常數(shù)A及(x,h)的密度函數(shù)。-p(x,y)dxdy2解： =-A-p(16+x)(25+y)dx16+x222A20=1 4Ap2 dy25+y2 =所以，A=20；F(x,y)=20-y-xy-p(t,s)dtdsdtdsppp2-x(16+t)(25+s)dt222202(x-16+tx4)(yds25+sy52 -)12(arctg+p2)(arctg+p2)3.26 設二維隨機變數(shù)(x,h)的密度函數(shù)為4xyp(x,y)=00x1,0y1其它 求（1）P(0x解：(1)(2)11,h1);(2)P(x=h);(3)P(xh);(4)P(xh)。 2411011P(0x,h1)=24P(x=h)=2 214xydxdy=4xdx41114ydy=1564;4xydxdyx=y=0;1112(3)P(xh)=xy4xydxdy= x4xydydx= 2(x-x)dx=12 ;(4)P(xh)=123.28 設(x,h)的密度函數(shù)為1p(x,y)=200x1,0y2其它 求x與h中至少有一個小于12的概率。解：P(x=1-1212)(h120,h120)=1-P(x120)(h120)=1-P(x120)-P(h120)+P(x120,h120)=1-F(120+0,)-F(,120+0)+F(120+0,120+0) =1-(1-e=e-2.4-1.2-1.2-1.2-2.4)-(1-e)+(1-2e+e)0.093.31 設p1(x),p2(x)都是一維分布的密度函數(shù)，為使p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y)成為一個二維分布的密度函數(shù)，問其中的h(x,y)必需且只需滿足什么條件？ 解：若p(x,y)為二維分布的密度函數(shù)，則p(x,y)0,-p(x,y)dxdy=1所以條件(1)h(x,y)p1(x)p2(y);(2)-h(x,y)dxdy=0得到滿足。反之，若條件（1），（2）滿足，則p(x,y)0,p(x,y)為二維分布的密度函數(shù)。-p(x,y)dxdy=1因此，為使p(x,y)成為二維分布的密度函數(shù)，h(x,y)必需且只需滿足條件（1）和（2）。 3.32 設二維隨機變數(shù)(x,h)具有下列密度函數(shù)，求邊際分布。2e-y+1（1）p(x,y)=x30x1,y1其它 1-1(x2+y2)e2（2）p(x,y)=p0x0,y0或x0,y0其它 1k-1k-1-yx1(y-x)2e（3）p(x,y)=G(k1)G(k2)00x1)px(x)=0,(x1)px(x)=（2）x0時， px(x)=-y+131x=e-y+1,(y1)px(x)=0,(y1) 1-p122-(x+y)2dy=12pe-x22 x0時，px(x)=1 p1122-(x+y)2dy=12pe-x22 2所以，px(x)=2pxe-x22。同理，px(y)=12pe-y2。k1-1（3）px(x)=G(k1)G(k2)x(y-x)k2-1e-ydy=1G(k1)xk2-1e-x,(x0)px(x)=0,(x0)ph(y)=e-y G(k1)G(k2)y xk1-1(y-x)k2-1dx=1G(k1+k2)yk1+k2-1,(y0) ph(y)=0,(y0)3.34 證明：若隨機變數(shù)x只取一個值a，則x與任意的隨機變數(shù)h獨立。 證：x的分布函數(shù)為0Fx(x)=1xaxa 設h的分布函數(shù)、(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)分別為Fh(y),F(x,y)。當xa時，F(xiàn)(x,y)=P(xx,ha時，F(xiàn)(x,y)=P(xx,hy)=P(hy)=Fx(x)Fh(y)。所以，對任意實數(shù)x,y，都有F(x,y)=Fx(x)Fh(y)，故x與h相互獨立。3.35 證明：若隨機變數(shù)x與自己獨立，則必有常數(shù)c，使P(x=c)=1。 證：由于P(xx)=P(xx,xx)=P(xx)P(xc故P(x=c)=1。3.36設二維隨機變量(x,h)的密度函數(shù)為1p(x,y)=p0x+y221 其它問x與h是否獨立？是否不相關？ 2解：px(x)=1-xdy2-1-xp=2-x2p,(|x|1);px(x)=0,(|x|1)。 同理，ph(y)=2-y2p,(|y|1);ph(y)=0,(|y|1)。由于p(x,y)px(x)ph(y)，所以x與h不相互獨立。又因p(x,y),px(x),ph(y)關于x或關于y都是偶函數(shù)，因而Ex=Eh=E(xh)=0，故cov(x,h)=0， x與h不相關。3.41 設某類電子管的壽命（以小時計）具有如下分布密度：100p(x)=x20x100x100一臺電子管收音機在開初使用的150小時中，三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少？三個這類管子全部要替換的概率又是多少？（假設這三個管子的壽命分布是相互獨立的） 解：設這類電子管的壽命為x，則P(x150)=100x2150=23 所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為(2)3=83率是(1-2)=27；三個這類管子全部要替換的概327。3.44 對球的直徑作近似測量，設其值均勻分布在區(qū)間a,b內，求球體積的密度函數(shù)。 解：設球的直徑為x，則其體積為h=x=316px3。y=16px3的反函數(shù)6y,dx=23236pydy。由x的密度函數(shù)px(x)=(b-a)，axb，得h的密度函數(shù)為2ph(y)=(b-a)336py20p6ay3p6b,3 其它。3.45 設隨機變數(shù)x服從N(0,1)分布，求的分布密度。 解：在x0時，P(xx)=P(-xxx)=x12p-xe-t22dt。所以x的分布密度px(x)=2/pe2-x2/2,(x0);px(x)=0,(x0,y0. 3.47 隨機變數(shù)x在任一有限區(qū)間a,b上的概率均大于0（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為Fx(x)，又h服從0,1上的均勻分布。證明z=Fx-1(h)的分布函數(shù)與x的分布函數(shù)相同。解：因為x在任一有限區(qū)間a,b上的概率均大于0，所以Fx(x)是嚴格上升函數(shù)。由于0,1上的均勻分-1布，所以z的分布函數(shù)Fx(x)=P(xx)=P(Fx對任意的x都成立。所以z(h)x)=P(hFx(x)=Fx(x)，與x的分布函數(shù)相同。3.48 設隨機變量x與h獨立，求x+h的分布密度。若（1）x與h分布服從(a,b)及(a,b)上的均勻分布，且aab0。解（1）px(x)=1/(b-a),axb;px(x)=0,其它。ph(x)=1/(b-a),axb;ph(y)=0，其它。 px+h(x)=-px(x-y)ph(y)dy 1(b-a)(b-a) =min(x-a,b)man(x-b,a)=min(x-a,b)-max(x-b,a)/(b-a)(b-a),a+axb+b;px+h(x)=0，其它。（2）px(x)=1/a,-ax0;px(x)=0，其它，ph(x)=1/a,0xa;ph(x)=0，其它。px+h(x)=-px(x-y)ph(y)dy=min(x+a,a)max(x,0)1/ady 2=min(x+a,a)-max(x,0)/a 2=a-xa2,-ax0)求x+h的密度函數(shù)。解： px(x)=ph(x)=px+h(x)=12ae-x/a，-px(x-y)ph(y)dy，當x0時，px+h(x)=14a14a2 -|x-y|+|y|exp-dy2a4aa1e-x-y-ydy+ax e-x-y+yady+xe-y-x+yady(1+xa)e-x當x0x0x0x0 （其中l(wèi)0,m0），求x+h的分布密度。 解：x0時，px+h(x)=mle-mxx0x me-m(x-y)le-lydye-(l-m)ydy -mx-lxmlee,lm(l-m)=2-lx,l=mlxex0時，px+h(x)=03.53 設隨機變量x與h獨立，都服從(0,1)上的均勻分布，求|x-h|的分布。 解：-h服從(-1,0)上的均勻分布，據(jù)3.48(2)知，x+1px-h(x)=min(x+1,1)-max(x,0)=1-x-1x00x1 在0x1時，|x-h|的分布函數(shù)F(x)=P(|x-h|x)=P(-xx-hx)= -x(t+1)dt+x (1-t)dt=2x-x2 所以|x-h|的分布密度為2(1-x)p|x-h|(x)=00x0得p-h(x)=mepx-h(x)=mx,x0時，px-h(x)=xle-lmmem(x-y)dy=lme-lx(l+m) 所以lmemx(l+m)(x)=-lxlme(l+m)x0px-h x03.56 設隨機變量x與h獨立，且分別具有密度函數(shù)為1px(x)=p-x20-xxeph(y)=02|x|0x0 證明xh服從N(0,1)分布。 證：由ph(x)=xe-x2,x0得ppxh(y)=p1(x)=x-3e-2x2,x0。故x1(y)=-|x|px(yx)ph(x)dxh令2x2=u+y22，則12p-y2pxh(y)=e u-12e-udu=12pe-y22 所以xh服從N(0,1)分布。3.58 設隨機變量x與h獨立，都服從(0,a)上的均勻分布，求x的密度函數(shù)。解：px(x)=-px(xz)ph(z)|z|dz=1a zpx(xz)dz當01時px(x)=1a2a