2021版高考數學一輪復習 第三章 導數及其應用 3.2 利用導數研究函數的單調性練習 理 北師大版

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1、 3.2 利用導數研究函數的單調性 核心考點·精準研析 考點一　不含參數的函數的單調性? 1.函數y=xln x的單調遞減區(qū)間是 (　　) A.(-∞,e-1) B.(e-1,+∞) C.(e,+∞) D.(0,e-1) 2.函數f(x)=的單調遞增區(qū)間為　　　　.? 3.(2021·浙江高考改編)函數f(x)=-ln x+的單調遞減區(qū)間為________________.? 4.(2021·天津高考改編)函數f(x)=excos x的單調遞增區(qū)間為___________.? 【解析】1.選D.函數y=xln x的定義域為(0,+∞), 因為y=xln x,

2、所以y′=ln x+1, 令y′<0得00, 解得x<-1-或x>-1+. 所以f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-1-)和(-1+,+∞). 答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞) 3.f(x)=-ln x+的定義域為(0,+∞). f′(x)=-+=, 由x>0知>0,2+1>0, 所以由f′(x)<0得-2<0,解得0

3、Z)時, 有sin x0,那么f(x)單調遞增. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z). 答案:(k∈Z) 題2中,假設將“f(x)=〞改為“f(x)=x2ex〞,那么函數f(x)的單調遞減區(qū)間是________________.? 【解析】因為f(x)=x2ex, 所以f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex. 由f′(x)<0,解得-2

4、解不等式f ′(x)>0,解集在定義域內的局部為單調遞增區(qū)間. (4)解不等式f ′(x)<0,解集在定義域內的局部為單調遞減區(qū)間. 【秒殺絕招】 　排除法解T1,根據函數的定義域排除A,當x∈(1,+∞)時,y=x和y=ln x都是增函數且為正數,所以y=xln x也是增函數,從而排除B,C. 考點二　含參數的函數的單調性? 【典例】函數f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.假設a>0,試討論函數f(x)的單調性. 【解題導思】 序號 題目拆解 (1)求f′(x),解方程f′(x)=0 求f(x)的定義域,求f′(x)并進行恰當的因式分解,求出方程f′(x)=0

5、的根 (2)由f′(x)的符號確定f(x)的單調性 用導數為零的實數分割定義域,逐個區(qū)間分析導數的符號,確定單調性 【解析】因為f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x, 所以f′(x)==, 由題意知函數f(x)的定義域為(0,+∞), 令f′(x)=0得x=1或x=, (1)假設<1,即a>,由f′(x)>0得x>1或01,即00得x>或0

6、單調遞減; (3)假設=1,即a=,那么在(0,+∞)上恒有f′(x)≥0, 即函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增. 綜上可得:當0時,函數f(x)在上單調遞增, 在上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增. 　解決含參數的函數的單調性問題應注意兩點 　(1)研究含參數的函數的單調性問題,要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論. (2)劃分函數的單調區(qū)間時,要在函數定義域內討論,還要確定導數為0的點和函數的間斷點. 　(2021·

7、全國卷I改編)函數f=-x+aln x,討論f的單調性. 【解析】f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=--1+=-. (1)假設a≤2,那么f′(x)≤0,當且僅當a=2,x=1時f′(x)=0, 所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減. (2)假設a>2,令f′(x)=0得,x=或x=. 當x∈∪時,f′(x)<0; 當x∈時,f′(x)>0. 所以f(x)在,上單調遞減,在上單調遞增. 考點三　利用導數解決函數單調性的應用問題? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查函數圖像的識別、比擬大小或解不等式、根據函數的單調性求參數等問題. (2)考查直

8、觀想象、數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及數形結合、轉化與化歸的思想方法. 2.怎么考:與根本初等函數、不等式等綜合考查函數的圖像及函數的單調性的應用等問題. 3.新趨勢:以導數法研究函數單調性為根底,綜合考查利用單調性比擬大小、解不等式及知單調性求參數的范圍. 學 霸 好 方 法 由函數的單調性求參數的取值范圍的方法 (1)可導函數在區(qū)間D上單調,實際上就是在該區(qū)間上f ′ (x)≥0(或f ′ (x)≤0)恒成立,從而構建不等式, 求出參數的取值范圍,要注意“=〞是否可以取到. (2)可導函數在區(qū)間D 上存在單調區(qū)間,實際上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在該區(qū)

9、間上存在解集,即f ′(x)max>0(或f ′(x)min<0)在該區(qū)間上有解,從而轉化為不等式問題,求出參數的取值范圍. (3)假設f (x)在區(qū)間D 上的單調性,區(qū)間D上含有參數時,可先求出f(x)的單調區(qū)間,令D 是其單調區(qū)間的子集,從而求出參數的取值范圍. 函數圖像的識別 【典例】函數f(x)=x2+xsin x的圖像大致為 (　　) 【解析】選A.因為f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)為偶函數,B不符合題意,f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,那么g′(x)=1+cos x≥0恒成立

10、,所以g(x)是單調遞增函數,那么當x>0時,g(x)>g(0)=0,故x>0時,f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調遞增,故只有A符合題意. 區(qū)分函數的圖像主要從哪幾個角度分析? 提示:從函數奇偶性、單調性、最值及函數圖像所過的特殊點等角度分析. 比擬大小或解不等式 【典例】(2021·蘭州模擬)函數f(x)在定義域R內可導,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.假設a=f(0),b=f,c=f(3),那么a,b,c的大小關系是 (　　) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>

11、a>c 【解析】選C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的圖像關于直線x=2對稱,根據題意知,當x∈(-∞,2)時,f′(x)<0,f(x)為減函數;當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數.所以f(3)=f(1)

12、)是R上的增函數,那么a的取值范圍是__________. 【解析】①顯然f(0)有意義,又f(x)為奇函數,所以f(0)=0,得a=-1. ②因為f(x)是R上的增函數,所以f′(x)=ex-ae-x=≥0恒成立,即g(x) =(ex)2≥a恒成立,又因為g(x)>0,且當x趨向于-∞時,g(x)趨向于0,所以0≥a,即a的取值范圍是(-∞,0]. 答案:-1　(-∞,0] 函數f(x)在某區(qū)間上是增函數,推出f′(x)>0還是f′(x)≥0? 提示:推出f′(x)≥0. 1.設函數y=f(x)在定義域內可導,y=f(x)的圖像如下圖,那么導函數y=f′(x)可能

13、為 (　　) 【解析】選D.由題意得,當x<0時,函數y=f(x)單調遞增,故f′(x)>0;當x>0時,函數y=f(x)先增再減然后再增,故導函數的符號為先正再負然后再正.結合所給選項可得D符合題意. 2.函數f′(x)是函數f(x)的導函數,f(1)=,對任意實數都有f(x)-f′(x)>0,設F(x)=,那么不等式F(x)<的解集為 (　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(1,e) D.(e,+∞) 【解析】選B.根據題意,F(x)=, 其導數F′(x)= =, 又由f(x)-f′(x)>0,那么有F′(x) <0, 即函數F(x)在R

14、上為減函數, 又由f(1)=,那么F(1)==, 不等式F(x)<等價于F(x)1,那么不等式的解集為(1,+∞). 3.假設f(x)=2x3-3x2-12x+3在區(qū)間[m,m+4]上是單調函數,那么實數m的取值范圍是________________.? 【解析】因為f(x)=2x3-3x2-12x+3, 所以f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2), 令f′(x)>0,得x<-1或x>2;令f′(x)<0,得-1

15、是單調函數,那么 m+4≤-1或或m≥2.所以m≤-5或m≥2, 那么m的取值范圍是(-∞,-5]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-5]∪[2,+∞) 　(2021·內江模擬)假設函數f(x)=ax2+xln x-x存在單調遞增區(qū)間,那么a的取值范圍是 (　　) A. B. C.(-1,+∞) D. 【解析】選B.因為f(x)=ax2+xln x-x存在單調遞增區(qū)間,那么f′(x)=ax+ln x≥0在(0,+∞)上有解, 即a≥-在(0,+∞)上有解, 令g(x)=-,x>0,那么g′(x)=, 當x>e時,g′(x)>0,g(x)單調遞增, 當0e時,h′(x)<0,函數單調遞減, 當00,函數單調遞增, h(x)≤h(e)=0,即f′(x)≤0恒成立, 此時不滿足題意,所以a的取值范圍是. - 10 -