2021版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.2 排列、組合與二項式定理練習 理 北師大版

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1、 12.2 排列、組合與二項式定理 核心考點·精準研析 考點一　排列、組合的根本問題? 1.某校根據(jù)2021版新課程標準開設A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學從中共選3門.假設要求兩類課程中各至少選一門,那么不同的選法共有 (　　) A.30種 B.35種 C.42種 D.48種 2.在由數(shù)字1、2、3、4、5組成的所有沒有重復數(shù)字的5位數(shù)中,大于23 145且小于43 521的數(shù)共有 (　　) A.56個 B.57個 C.58個 D.60個 3.八個人分兩排坐,每排四人,限定甲必須坐在前排,乙、丙必須坐在同一排,共有________________種安排方法.?

2、4.(2021·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成________________個沒有重復數(shù)字的四位 【解析】1.選A.按照所選的3門課程中A類的情形分兩類:第一類,2門A類選修課,1門B類選修課,有種方法;第二類,1門A類選修課,2門B類選修課,有種方法,所以由分類加法計數(shù)原理得不同的選法共有+=12+18=30(種). 2.選C.按照首位的大小分類: (1)開頭為231的,有一個. (2)開頭為23的,第三位從4,5中選一個,有種,余下的后兩位,有種,共有=4個. (3)開頭為2,第2位從4,5中選一個,有種,余下的后3位

3、,有種,共有=12個. (4)開頭為3,后四位由1,2,4,5全排列,有4!=24個. (5)開頭為4,第二位為1,2中的一個,有2種方法,后三位有3!=6種方法,共有2×6=12個. (6)開頭為43,第三位從1,2中選一個,有2種方法,后兩位有2!種方法,共有2×2=4個. (7)開頭為435的,只有1個, 所以由分類加法計數(shù)原理得所求的數(shù)共有1+4+12+24+12+4+1=58(個). 3.方法一:可分為“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法〞和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法〞兩類情況.應當使用分類加法計數(shù)原理,在每類情況下,劃分“乙、丙坐下〞“甲坐下〞“其他五人坐下

4、〞三個步驟,又要用到分步乘法計數(shù)原理,這樣可有如下算法: ··+··=8 640(種). 方法二:采取“總方法數(shù)減去不符合題意的所有方法數(shù)〞的算法.把“甲坐在前排的八人坐法數(shù)〞看成“總方法數(shù)〞,這個數(shù)目是·.在這種前提下,不合題意的方法是“甲坐在前排,且乙、丙坐兩排的八人坐法,〞這個數(shù)目是····.其中第一個因數(shù)表示甲坐在前排的方法數(shù),表示從乙、丙中任選出一人的方法數(shù),表示把選出的這個人安排在前排的方法數(shù),下一個那么表示乙、丙中未安排的那個人坐在后排的方法數(shù),就是其他五人的坐法數(shù),于是總的方法數(shù)為·-····=8 640(種). 答案:8 640 4.分類討論:第一類:不含0的,按照分

5、步乘法計數(shù)原理:=10×3×24=720;第二類:包含0的,按照分步乘法計數(shù)原理:=10×3×3×6=540,所以一共有1 260個沒有重復數(shù)字的四位數(shù). 答案:1 260 1.求解有限制條件的排列問題的主要方法 直接 法 分類 法 選定一個適當?shù)姆诸悩藴?將要完成的事件分成幾個類型,分別計算每個類型中的排列數(shù),再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù) 分步 法 選定一個適當?shù)臉藴?將事件分成幾個步驟來完成,分別計算出各步驟的排列數(shù),再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù) 捆綁法 相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰幾個元素看作一個整體與其他元素進行排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法

6、 不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中 除法 對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以已定元素的全排列 間接法 對于分類過多的問題,按正難那么反,等價轉化的方法 2.兩類含有附加條件的組合問題的方法 (1)“含有〞或“不含有〞某些元素的組合題型:假設“含〞,那么先將這些元素取出,再由另外元素補足;假設“不含〞,那么先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取. (2)“至少〞或“最多〞含有幾個元素的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少〞與“最多〞這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法或間接法都可以求解,用直接法分類復雜

7、時,可用間接法求解. 考點二　排列、組合的綜合問題? 【典例】1.從A,B,C,D,E 5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、外語競賽,其中A不參加物理、化學競賽,那么不同的參賽方案種數(shù)為 (　　) A.24 B.48 C.72 D.120 2.把20個不加區(qū)別的小球放入1號,2號,3號的三個盒子中,要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù),那么不同的方法種數(shù)為________________. 3.對于任意正整數(shù)n,定義“n的雙階乘n!!〞如下: 當n為偶數(shù)時,n!!=n··……6·4·2, 當n為奇數(shù)時,n!!=n··……5·3·1, 現(xiàn)有四個結論:①(2021!!)·(

8、2021!!)=2021!, ②(2n)!!=2n,③2021!!的個位數(shù)字是8, ④<, 那么四個結論中正確的選項是________________. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 1 由“A不參加物理、化學競賽〞聯(lián)想到分類:A參加,A不參加. 2 由題意知小球沒有區(qū)別,及盒子內(nèi)球數(shù)不小于編號數(shù),聯(lián)想到先在2,3號盒子里分別放上1,2個球,變成了擋板問題. 3 看到雙階乘,聯(lián)想到階乘. 【解析】1.選C.因為A參加時參賽方案有=48(種);A不參加時參賽方案有=24(種),所以不同的參賽方案共72種. 2.先在編號為2,3的盒內(nèi)分別放入1個,2個球,還剩17個小

9、球,三個盒內(nèi)每個至少再放入1個,將17個球排成一排,有16個空隙,插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中,即可共有C=120種方法. 答案:120 3.因為(2021!!)·(2021!!) =(2021×2021×…×6×4×2) ×(2021×2021×…×5×3×1) =2021×2021×2021×…×5×4×3×2×1=2021!所以①是正確的. 因為(2n)!! =··……6·4·2=2n··……3·2·1=2n, 所以②是正確的. 因為由②知道2021!!中有因數(shù)5,也有因數(shù)2,所以個位數(shù)字是0,所以③是錯誤的. 因為對任意正整數(shù)n,都有<,所以 =,<,=,<

10、,…, =,<, 把上面的2n個式子作乘法,得<, 所以兩邊開方得<, 所以④是正確的. 答案:①②④ 　解決排列、組合的綜合問題的關鍵點 (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排,或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步,再利用兩個原理作最后處理. (2)解受條件限制的組合題,通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決.分類標準應統(tǒng)一,防止出現(xiàn)重復或遺漏. (3)對于選擇題要謹慎處理,注意答案的不同形式,處理這類選擇題可采用排除法分析選項,錯誤的答案都有重復或遺漏的問題. (4)熟記排列數(shù)、組合數(shù)公式及其變形,準確計算. 1.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的

11、五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為 (　　) A.24 B.48 C.60 D.72 【解析】選D.分兩步:第一步,先排個位,有種選擇;第二步,排前4位,有種選擇.由分步乘法計數(shù)原理,知有·=72個. 2.某班組織文藝晚會,準備從A,B等8個節(jié)目中選出4個節(jié)目演出,要求A,B兩個節(jié)目至少有一個選中,且A,B同時選中時,它們的演出順序不能相鄰,那么不同演出順序的種數(shù)為 (　　) A.1 860 B.1 320 C.1 140 D.1 020 【解析】選C.當A,B節(jié)目中只選一個時,共有=960種演出順序;當A,B節(jié)目都被選中時,由插空法得共有=180種演出順序.所以一共有960+180=1140

12、種演出順序. 3.i,m,n是正整數(shù),且10,那么0<<<1〞及不等式的可乘性, 所以···…·<··…=, 所以原不等式成立. 考點三　二項式定理? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查二項展開式的通項及由通項求某一項的系數(shù)或常數(shù)項. (2)考查應用賦值法求某些數(shù)列的和. 2.怎么考:求二項展開式的通項或某指定項的系數(shù)或常數(shù)項,或知道某項系數(shù)或二項式系數(shù),反求參數(shù)的值,考查二項展開式中組合思想的應用.

13、 3.新趨勢:結合二項展開式的特征,與數(shù)列求和或不等式等知識交匯考查二項式定理. 學 霸 好 方 法 1.求解二項式定理問題的關鍵: (1)熟記二項式定理,會用組合思想解決展開式的通項,或某些指定項. (2)熟悉二項展開式的特征,掌握賦值法解某項數(shù)列求和問題. 2.交匯問題: 解決與數(shù)列、不等式等知識交匯問題時,先用賦值法構造求和模型,再轉化為熟悉的問題. 二項展開式的通項及其應用 【典例】1.(2021·全國卷Ⅲ)的展開式中x4的系數(shù)為 (　　) A.10 B.20 C.40 D.80 2.的展開式中常數(shù)項為 (　　) A. B.160 C.- D.-160

14、 【解析】1.選C.展開式的通項公式為Tr+1= (x2)5-r=2rx10-3r,令10-3r=4可得r=2,那么x4的系數(shù)為22=40. 2.選A.的展開式的通項為 Tr+1=x6-r=x6-2r, 令6-2r=0,得r=3, 所以展開式中的常數(shù)項是T4==. 如何解決與二項展開式的通項有關的問題? 提示:(1)求展開式中的特定項或其系數(shù).可依據(jù)條件寫出第k+1項,再由特定項的特點求出k值即可. (2)展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項公式寫出第k+1項,由特定項得出k值,最后求出其參數(shù). 二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項的和 【典例】1.(2021

15、·鄭州模擬)假設二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為8,那么該展開式所有項的系數(shù)之和為 (　　) A.-1 B.1 C.27 D.-27 2.(2021·鄂爾多斯模擬)在的展開式中,x3的系數(shù)等于-5,那么該展開式的各項的系數(shù)中最大值為 (　　) A.5 B.10 C.15 D.20 3.(2021·襄陽模擬)設(x2+1)(2x+1)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,那么a0+a1+a2+…+a10的值為________________. 【解析】1.選A.依題意得2n=8,解得n=3,取x=1,得該二項展開式每一項的系數(shù)之和為(1-2)3=-1.

16、 2.選B.的展開式的通項為Tr+1=x5-r·=(-a)rx5-2r, 令5-2r=3,那么r=1,所以-a×5=-5,即a=1,展開式中第2,4,6項的系數(shù)為負數(shù),第1,3,5項的系數(shù)為正數(shù),故各項的系數(shù)中最大值為=10. 3.在所給的多項式中,令x=-1可得(1+1)×(-2+1)8=a0+a1+a2+…+a10,即a0+a1+a2+…+a10=2. 答案:2 如何求解二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題? 提示:求解二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題一般分兩步: 第一步,要弄清所求問題是“展開式系數(shù)最大〞、“二項式系數(shù)最大〞兩者中的哪一個. 第二步,假設是求二項式系數(shù)的最

17、大值,那么依據(jù)(a+b)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解. 假設是求展開式系數(shù)的最大值那么在系數(shù)均為正值的前提下,求最大值只需解不等式組即可求得答案. 二項式定理的綜合應用 【典例】1.(x+y)(2x-y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為 (　　) A.-80 B.-40 C.40 D.80 2.(2021·棗陽模擬)(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為 (　　) A.10 B.20 C.30 D.60 【解析】1.選D.(2x-y)6的展開式的通項公式為Tr+1=(2x)6-r(-y)r,當r=2時,T3=240x4y2,當r=3時,T4=-160x3y3,故x4y

18、3的系數(shù)為240-160=80. 2.選C.(x2+x+y)5的展開式的通項為=(x2+x·yr,令r=2,那么T3=(x2+x)3y2, 又(x2+x)3的展開式的通項為(x2·xk=, 令6-k=5,那么k=1, 所以(x2+x+y)5的展開式中, x5y2的系數(shù)為=30. 如何求解(a+b)m(c+d)n 或(a+b+c)n 展開式的某一項的系數(shù)? 提示:(1)假設n,m中一個比擬小,可考慮把它展開得到多個,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展開分別求解. (2)假設三項能用完全平方公式,那當然比擬簡單;假設三項不能用完全平方公式,

19、只需根據(jù)題目特點,把“三項〞當成“兩項〞看,再利用二項展開式的通項公式去求特定項的系數(shù). (3)觀察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2. (4)分別得到(a+b)n,(c+d)m的通項公式,綜合考慮. 1.將多項式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得,m為常數(shù),假設a5=-7,那么a0= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】選D.因為(x+m)5的通項公式為Tr+1= x5-rmr,a5x5=x·x5-1m1+(-2)x5=(5m-2)x5, 所以a5

20、=5m-2,又因為a5=-7,所以5m-2=-7, 所以m=-1,所以常數(shù)項a0=(-2)×(-1)5=2. 2.在的展開式中,含x5項的系數(shù)為 (　　) A.6 B.-6 C.24 D.-24 【解析】選B.由=- +-…-+,可知只有-的展開式中含有x5,所以的展開式中含x5項的系數(shù)為-=-6. 3.(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,那么a=________________.? 【解析】設(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=

21、-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32, 所以a=3. 答案:3 1.(2021·湘潭模擬)假設(1-3x)2 020=a0+a1x+…+a2 020x2 020,x∈R,那么a1·3+a2·32+…+ a2 020·32 020的值為 (　　) A.22 020-1 B.82 020-1 C.22 020 D.82 020 【解析】選B.由,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=(1- 9)2 020=82 020,所以a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=82 020-a0=82 020-1. 2.的展開式中常數(shù)項為 (　　) A.-30 B.30 C.-25 D.25 【解析】選C. =x2-3x+, 的展開式的通項為Tr+1=(-1)r, 易知當r=4或r=2時原式有常數(shù)項,令r=4, T5=(-1)4,令r=2,T3=(-1)2·,故所求常數(shù)項為-3×=5-30=-25. - 11 -