2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理練習(xí) 理 北師大版

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1、 4.6 正弦定理和余弦定理 核心考點·精準研析 考點一　正弦定理 1.(2021·銅川模擬)在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,那么AC=　　　　. 2.銳角△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設(shè)B=2A,那么的取值范圍是 (　　) A. 　B.　 C.　 D. 3.(2021·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.bsinA+acosB=0,那么B=　　　　. 【解析】1.C=180°-75°-45°=60°, 由正弦定理得=,即=, 解得AC=2. 答案:2 2.選D.因為B=2A, 所以sinB=sin2A

2、=2sinAcosA, 由正弦定理得b=2acosA, 所以=,所以==tanA. 因為△ABC是銳角三角形, 所以解得

3、)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=1,b=,A=30°,假設(shè)B為銳角,那么A∶B∶C= (　　) A.1∶1∶3 B.1∶2∶3 C.1∶3∶2　 D.1∶4∶1 【解析】選B.因為a=1,b=,A=30°,B為銳角,所以由正弦定理得sinB==,那么B=60°,所以C=90°,那么A∶B∶C=1∶2∶3. 2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設(shè)a=2ccosA,sinA=1,那么 sinC的值為 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】選B.因為sinA=1,即sinA=,又a=2ccosA,co

4、sA=>0,所以cosA=.由條件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即=2×sinC,所以sinC=. 考點二　余弦定理 【典例】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a-c=b,sinB=sinC. (1)求cosA的值. (2)求cos的值. 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)想解題 (1)看到“sinB=sinC〞,想到運用正弦定理,轉(zhuǎn)化為b=c,又由“a-c=b〞運用余弦定理求得cosA.(2)看到“cos〞想到公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.利用(1)得出的cosA的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出c

5、os的值 【解析】(1)在△ABC中,由=及sinB=sinC, 可得b=c,又由a-c=b,得a=2c, 所以cosA===. (2)在△ABC中,由cosA=,可得sinA=. 于是,cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinA·cosA=.所以cos =cos2Acos+sin2Asin=×+×=. 用正、余弦定理求解三角形根本量的方法 第一步:選定理.兩角兩邊用正弦定理,三邊一角用余弦定理. 第二步:求解.將代入定理求解. 1.(2021·長沙模擬)在△ABC中,D是AC邊上的點,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,那么sinC的值為 (　　

6、) A.　 B. C. D. 【解析】選A.設(shè)AB=AD=2a,那么BD=a,那么BC=4a,所以cos∠ADB===,所以cos∠BDC==-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cosC===,而C∈,所以sinC=. 2.(2021·晉城模擬)如圖,在銳角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=, BC=6,點D在邊BC上,且BD=2DC,點E在邊AC上,且BE⊥AC,BE交AD于點F. (1)求AC的長. (2)求cos∠DAC及AF的長. 【解析】(1)在銳角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠

7、ABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC===5. (2)由sin∠BAC=,sin∠ABC=,得 cos∠BAC=,cos∠ABC=, 所以cosC=-cos(∠BAC+∠ABC) =-cos∠BACcos∠ABC+sin∠BACsin∠ABC =-×+×=. 因為BE⊥AC, 所以CE=BCcosC=6×=,AE=AC-CE=. 在△ACD中,AC=5,CD=BC=2,cosC=, 由余弦定理得AD===, 所以cos∠DAC===. 由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE, 所以AF==. 考點三　正、余弦定理的綜合應(yīng)用 命 題 精 解 讀 1

8、.考什么:判斷三角形形狀、個數(shù)、面積問題,最值、范圍問題; 2.怎么考:考查解三角形問題常與平面幾何交匯,題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等;與平面向量交匯考查,解三角形還常與不等式,三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題. 學(xué) 霸 好 方 法 1.判斷三角形形狀的兩種思路 (1)化邊:通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀. (2)化角:通過三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A+B+C=π這個結(jié)論. 2.在三角形中求邊、角的方法 (1)假設(shè)求角,尋求得到這個角的一個函數(shù)的方程,結(jié)合角的范圍求解

9、. (2)假設(shè)求邊,尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角,利用三角形面積公式列方程求解. 判斷三角形個數(shù)、形狀 【典例】1.在△ABC中,a=2,b=,A=45°,那么滿足條件的三角形有(　　) A.1個　　 　 B.2個 C.0個 D.無法確定 2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設(shè)=,那么△ABC的形狀是 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】1.選B.因為bsinA=×=,所以bsinA

10、,C分別在∠A的兩條邊上.因為AC=b=,所以點C固定.過C作AB的垂線,垂足為D,易知CD=h=,又因為a=2,即

11、一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷. (2)三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理時,需判斷其解的個數(shù),用余弦定理時,可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù). (3)數(shù)形結(jié)合,作圖,與相應(yīng)的直角三角形比擬. 2.三角形形狀如何判定? 提示:(1)角化邊:利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷. (2)邊化角:通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷. 面積問題 【典例】1.(2021·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

12、假設(shè)b=6,a=2c,B=,那么△ABC的面積為　　　　. 【解析】因為cosB=, 又因為b=6,a=2c,B=,可得c2=12, 解得c=2,a=4, 那么△ABC的面積S=×4×2×=6. 答案:6 2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c且acosC=(2b-c)cosA. (1)求角A的大小. (2)假設(shè)a=2,求△ABC面積的最大值. 【解析】(1)由正弦定理可得:sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA, 從而可得:sin(A+C)=2sinBcosA, 即sinB=2sinBcosA, 又B為三角形的內(nèi)角,所以sinB≠0,

13、 于是cosA=, 又A為三角形的內(nèi)角,所以A=. (2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA得 4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號, 所以bc≤4(2+),所以S=bcsinA≤2+. 所以△ABC面積的最大值為2+. 解三角形與三角恒等變換交匯問題 【典例】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.sinB+sinA(sinC- cosC)=0,a=2,c=,那么C= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】選B.由題意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0, sinAcosC+cosAsi

14、nC+sinAsinC-sinAcosC=0, 即sinC(sinA+cosA)=sinCsin=0,所以A=. 由正弦定理=得=,即sinC=,得C=. 三角形與三角恒等變換交匯問題如何求解? 提示: 1.(2021·蕪湖模擬)在△ABC中,cosB=(a,b,c分別為角A,B,C的對邊),那么△ABC的形狀為 (　　) A.直角三角形　　 　 　B.等邊三角形 C.等腰三角形　 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】選A.因為cosB=,由余弦定理得=,整理得b2+a2=c2,即C為直角,那么△ABC為直角三角形. 2.在△ABC中,sin2A

15、≤sin2B+sin2C-sinBsinC,那么A的取值范圍是 (　　) A.　 B. C. D. 【解析】選C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得cosA=≥=,又0

16、=2,c=4,A=2B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 得16cos2B=4+16-16cos2B,所以cos2B=, 因為A+B=2B+B<π,所以B<, 所以cosB=,所以B=. 1.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sinC-cosC=1-cos, 假設(shè)△ABC的面積S=(a+b)sinC=,那么△ABC的周長為 (　　) A.2+5　 B.+5 C.2+3 D.+3 【解析】選D.由sinC-cosC=1-cos?2sincos-= 1-cos?cos2cos-2sin-1=0,因為cos≠0,所以sin-cos=-

17、,兩邊平方得sinC=,由sin-cos=-得sin