2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明 7.3 合情推理與演繹推理練習(xí) 理 北師大版

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1、 7.3 合情推理與演繹推理 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　類(lèi)比推理? 1.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí),構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,與半球(如圖一)放置在同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐(如圖二),用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí),可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等,由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓+=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體(如圖三),類(lèi)比上述方法,運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于 (　　) A.4π　B.8π　C.16π　D.32π 2.我們知道:在平面內(nèi),點(diǎn)(x0,y0)到直線Ax+By

2、+C=0的距離公式d=,通過(guò)類(lèi)比的方法,可求得:在空間中,點(diǎn)(2,4,1)到直線x+2y+2z+3=0的距離為 (　　) A.3　　 B.5 C. D.3 【解析】1.選C.構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱,在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐, 那么當(dāng)截面與底面距離為h(0≤h≤3)時(shí),小圓錐的底面半徑為r,那么=,所以r=h,故截面面積為4π-, 把y=h代入橢圓+=1可得x=±, 所以橄欖球形幾何體的截面面積為πx2=4π-, 由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積V=2(V圓柱-V圓錐)= 2=16π. 2.選B.類(lèi)比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式,可得空間中點(diǎn)(x0

3、,y0,z0)到直線Ax+By+Cz+D=0的距離公式為 d=,那么所求距離d==5. 　類(lèi)比推理的分類(lèi) 考點(diǎn)二　演繹推理? 【典例】數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+). (1)求a2,a3,a4的值,猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)運(yùn)用(1)中的猜想,證明數(shù)列是等差數(shù)列,并注明大前提、小前提和結(jié)論. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 題目拆解 (1) 猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式 根據(jù)a2,a3,a4的結(jié)構(gòu)特征歸納猜想 (2) 證明數(shù)列是等差數(shù)列 證明-=常數(shù) 【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列{an}中,a1=1,an+1=, a2=,a3=,a4=,猜想:an=.

4、 (2)因?yàn)橥?xiàng)公式為an的數(shù)列{an},假設(shè)an+1-an=d,d是常數(shù),那么{an}是等差數(shù)列,…大前提 又因?yàn)?=,為常數(shù);…小前提 所以數(shù)列是等差數(shù)列.…結(jié)論 　演繹推理的推證規(guī)那么 　(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,那么可以省略. (2)在推理論證過(guò)程中,一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成. 　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足an=2-Sn(n∈N*). (1)求a1,a2,a3,a4的值并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式. (2)用三段論證明數(shù)列{an}是等比數(shù)

5、列. 【解析】(1)由an=2-Sn, 當(dāng)n=1時(shí),a1=2-S1=2-a1,解得a1=1, 當(dāng)n=2時(shí),a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=, 當(dāng)n=3時(shí),a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=, 當(dāng)n=4時(shí),a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=, …由此歸納推理得an=(n∈N*). (2)因?yàn)橥?xiàng)公式為an的數(shù)列{an}, 假設(shè)=p,p是非零常數(shù),那么{an}是等比數(shù)列; 因?yàn)橥?xiàng)公式an=,又=; 所以通項(xiàng)公式an=的數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 考點(diǎn)三　歸納推理? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查數(shù)學(xué)定義、等式

6、、不等式的證明. (2)考查邏輯推理的核心素養(yǎng). 2.怎么考:與數(shù)列、根本初等函數(shù)結(jié)合考查數(shù)學(xué)概念、數(shù)列相關(guān)的等式、不等式的證明. 3.新趨勢(shì):與三角、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)點(diǎn)的交匯問(wèn)題. 學(xué) 霸 好 方 法 1.數(shù)字排列問(wèn)題的解題方法:先從行的規(guī)律歸納開(kāi)頭與末尾的數(shù)與所在行的關(guān)系式,再?gòu)牧械囊?guī)律歸納數(shù)與所在列的關(guān)系式,最后歸納表中各個(gè)數(shù)與行列的關(guān)系式 2.與式子有關(guān)的推理 (1)與不等式有關(guān)的歸納推理:觀察所給幾個(gè)不等式兩邊式子的特點(diǎn),注意縱向看、找出隱含規(guī)律. (2)與數(shù)列有關(guān)的歸納推理:通常是先求出幾個(gè)特殊項(xiàng),采用不完全歸納法,找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系,列出式子即可. 3.

7、圖形問(wèn)題的解法:與圖形變化有關(guān)的歸納推理,合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡? 與數(shù)字有關(guān)的歸納推理 【典例】(2021·宜昌模擬)大衍數(shù)列,源于?乾坤譜?中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十〞的推論,揭示了中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理(其衍生過(guò)程如下列圖).大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,那么此數(shù)列第25項(xiàng)與第26項(xiàng)之和為 (　　) A.600　　 B.650　　 C.700　　 D.750 【解析】選B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162, 180,

8、200,220,242,264,288,312,338,故此數(shù)列第25項(xiàng)與第26項(xiàng)之和為312+338=650. 與式子有關(guān)的歸納推理 【典例】(2021·武漢模擬)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,……,第n個(gè)三角形數(shù)為=n2+n,記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以以下出了局部k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式: 三角形數(shù)N(n,3)=n2+n 正方形數(shù)N(n,4)=n2 五邊形數(shù)N(n,5)=n2-n 六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n 可以推測(cè)N(n,k)=________________,由此計(jì)算N(5,12)=_________

9、_______. 【解析】原式子可化為: N(n,3)=n2+n=n2+n; N(n,4)=n2=n2+n; N(n,5)=n2-n=n2+n; N(n,6)=2n2-n=n2+n; 可推測(cè)N(n,k)=n2+n, 故N(5,12)=5×52-4×5=105. 答案:n2+n　105 與圖形有關(guān)的歸納推理 【典例】(2021·衡水模擬)如圖,第(1)個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來(lái),第(2)個(gè)多邊形是由正方形“擴(kuò)展〞而來(lái),……,如此類(lèi)推.設(shè)由正n邊形“擴(kuò)展〞而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為an,那么+++…+= (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.a3=12,a4

10、=20,a5=30,猜想an=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-, 所以+++…+=+++…+=-=. 1.(2021·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)觀察以下式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,……,根據(jù)上述規(guī)律,第n個(gè)不等式應(yīng)該為_(kāi)_______________.? 【解析】根據(jù)題意,對(duì)于第一個(gè)不等式,ln 2>,那么有l(wèi)n(1+1)>, 對(duì)于第二個(gè)不等式,ln 3>+,那么有l(wèi)n(2+1)>+, 對(duì)于第三個(gè)不等式,ln 4>++,那么有l(wèi)n(3+1)>++, 以此類(lèi)推: 第n個(gè)不等式為:ln(n+1)>++…+. 答案:ln(n+1)>++…+ 2.(

11、2021·西北工業(yè)大學(xué)附中模擬)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:按照以下排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______________.? 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 …… 【解析】第n-1行最后一個(gè)數(shù)是1+2+3+…+(n-1)=,第n(n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是 +3=. 答案: 如圖,將平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)那么標(biāo)上數(shù)字標(biāo)簽:原點(diǎn)處標(biāo)0,點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1,點(diǎn)(1,-1)處標(biāo)2,點(diǎn)(0,-1)處標(biāo)3,點(diǎn)(-1,-1)處標(biāo)4,點(diǎn)(-1,0)處標(biāo)5,點(diǎn)(-1,1)處標(biāo)6,點(diǎn)(0,1)處標(biāo)7,…,以此類(lèi)推,那么格點(diǎn)坐標(biāo)(22,23)的標(biāo)簽為 (　　) A.2 109 B.2 107 C.2 207 D.2 209 【解析】選C.觀察圖像得點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1,即12,點(diǎn)(2,1)處標(biāo)9,即32,點(diǎn)(3,2)處標(biāo)25,即52,歸納點(diǎn)(n+1,n)處標(biāo)(2n+1)2,那么格點(diǎn)坐標(biāo)(24,23)的標(biāo)簽為(2×23+1)2=2 209,又點(diǎn)(22,23)在點(diǎn)(24,23)左邊兩格,即格點(diǎn)坐標(biāo)(22,23)的標(biāo)簽為2 207. 可修改 歡迎下載 精品 Word