2022版新教材高中數(shù)學 課時素養(yǎng)評價十七 均值不等式的應用 新人教B版必修1

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1、 課時素養(yǎng)評價 十七　均值不等式的應用 　　　　　(25分鐘·50分) 一、選擇題(每題4分，共16分，多項選擇題全部選對得4分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分) 1.(多項選擇題)a>0，b>0，a+b=2，那么對于+ (　　) A.取得最值時a= B.最大值是5 C. 取得最值時b= D.最小值是 【解析】選AD.因為a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，當且僅當=且a+b=2，即a=，b=時，等號成立. 2.某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，那么 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x

2、= B.x≤ C.x> D.x≥ 【解析】選B.由條件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2， 所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤， 所以1+x≤1+，故x≤. 3.正數(shù)x，y滿足x+2y-xy=0，那么x+2y的最小值為 (　　) A.8 B.4 C.2 D.0 【解析】選A.由x+2y-xy=0，得+=1， 且x>0，y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8，當且僅當x=2y時等號成立. 4.假設對任意x>0，≤a恒成立，那么a的取值范圍是 (　　) A. B.　 C. D. 【解析】選A.因為對任意x>0

3、，≤a恒成立，所以對x∈(0，+∞)， a≥， 又因為x∈(0，+∞)，所以=≤=，當且僅當x=1時等號成立，所以a≥. 二、填空題(每題4分，共8分) 5.一次函數(shù)y=-x+1的圖象分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，假設動點P(a，b)在線段AB上，那么ab的最大值是________，取得最值時a的值為________.? 【解析】因為A(2，0)，B(0，1)，所以0≤b≤1，由題意得a=2-2b， ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·=. 當且僅當1-b=b，即b=時等號成立，此時a=1， 因此當b=，a=1時，ab的最大值為. 答案：　1 6.某公司一年需

4、購置某種貨物200噸，平均分成假設干次進行購置，每次購置的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購置噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，那么每次購置該種貨物的噸數(shù)是________.? 【解析】設每次購置該種貨物x噸，那么需要購置次，那么一年的總運費為×2=，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為+x≥2=40，當且僅當=x，即x=20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應購置該種貨物20噸. 答案：20 三、解答題(共26分) 7.(12分) a>0，b>0，a+b=1，求證： (1)++≥8. (2)≥9.

5、【證明】(1)因為a+b=1，a>0，b>0， 所以++=2. 所以+=+=2++≥2+2=4， 所以++≥8(當且僅當a=b=時等號成立). (2)方法一：因為a>0，b>0，a+b=1， 所以1+=1+=2+， 同理1+=2+， 所以= =5+2≥5+4=9. 所以≥9(當且僅當a=b=時等號成立). 方法二：=1+++， 由(1)知，++≥8， 故=1+++≥9. 當且僅當a=b=時取等號 . 8.(14分)如圖某村方案建造一個室內(nèi)面積為 800 平方米的矩形蔬菜溫室，溫室內(nèi)沿左右兩側與后墻內(nèi)側各保存 1 米寬的通道，沿前側內(nèi)墻保存 3 米寬的空地，當矩形溫室

6、的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？ 【解析】設矩形的一邊長為 x米， 那么另一邊長為米， 因此種植蔬菜的區(qū)域寬為(x-4)米， 長為米. 由得4

7、砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客，然后又將5 g的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，那么顧客實際所得黃金 世紀金榜導學號(　　) A.大于10 g B.小于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g 【解析】選A.設兩臂長分別為a，b， 兩次放入的黃金數(shù)是x，y， 依題意有ax=5b，by=5a， 所以xy=25. 因為≥， 所以x+y≥10， 又a≠b，所以x≠y.所以x+y>10.即兩次所得黃金數(shù)大于10 g. 2.(4分)正實數(shù)m，n滿足m+n=1，且使+取得最小值.假設y=，x=是方程y=xα的解，那么α = 世

8、紀金榜導學號(　　) A.-1 B. C.2 D.3 【解析】選C.+=(m+n) =1+++16 =17++≥17+2=25. 當且僅當=又m+n=1，即m=，n=時，上式取等號， 即+取得最小值時， m=，n=， 所以y=25，x=5， 25=5α. 得α=2. 3.(4分)如圖有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72 dm2(圖中陰影局部)，上下空白各寬2 dm，左右空白各寬1 dm，那么四周空白局部面積的最小值是________dm2. 世紀金榜導學號? 【解析】設陰影局部的高為x dm，那么寬為 dm，四周空白局部的面積是y dm2. 由

9、題意，得y=(x+4)-72 =8+2 ≥8+2×2=56(dm2). 當且僅當x=，即x=12 dm時等號成立. 答案：56 4.(4分)設a+b=2，b>0，那么+取最小值時a的值為________. 世紀金榜導學號? 【解析】因為a+b=2， 所以+=+=+=++≥+2=+1， 當且僅當=時等號成立. 又a+b=2，b>0， 所以當b=-2a，a=-2時， +取得最小值. 答案：-2 5.(14分)正數(shù)a，b，x，y滿足a+b=10，+=1，x+y的最小值為18，求a，b的值. 世紀金榜導學號 【解析】x+y=(x+y) =a+++b=10++. 因為x，

10、y>0，a，b>0， 所以x+y≥10+2=18， 即=4. 又a+b=10，所以或 1.假設a>0，b>0，且a+b=1，那么的最小值是 世紀金榜導學號(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】選A. =+1 =+1 =+1≥+1 =9. 所以當a=b=時，原式取最小值9. 2.某種商品原來每件售價為25元，年銷售量為8萬件. 世紀金榜導學號 (1)據(jù)市場調(diào)查，假設價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？ (2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面

11、技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入(x2-600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品明年的銷售量a至少應到達多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價. 【解析】(1)設每件定價為x元，依題意得 x≥25×8， 整理得x2-65x+1 000≤0， 解得25≤x≤40. 所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元. (2)依題意不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解， 等價于x>25時a≥+x+有解， 因為+x≥2=10(當且僅當x=30時，等號成立)， 所以a≥10.2. 所以當該商品明年的銷售量a至少應到達10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元. - 9 -