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2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)
課時(shí)目標(biāo) 1.掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關(guān)系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡(jiǎn)單問(wèn)題．
1．若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (a>b>0)．
(1)方程中x、y的取值范圍分別為_(kāi)_____________．
(2)橢圓關(guān)于________、________和________都是對(duì)稱的，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做________________．
(3)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______________________________________．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______，短軸長(zhǎng)為_(kāi)_______．
2．橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e＝________，叫做橢圓的離心率，離心率e的范圍
________．當(dāng)e越接近1，橢圓________，當(dāng)e越接近于______，橢圓就越接近于圓．
一、填空題
1．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為_(kāi)_______．
2．P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓＋＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為c，則PF1PF2的最大值與最小值之差一定是________．
3.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).滿足＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_______．
4．設(shè)0
b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC＝90，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．
6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的方程為_(kāi)_____________．
7．直線x＋2y－2＝0經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1 (a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_____．
8．橢圓上＋＝1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
二、解答題
9.
如圖，已知P是橢圓＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，O 是橢圓中心，B是橢圓的上頂點(diǎn)，H是直線x＝－ (c是橢圓的半焦距)與x軸的交點(diǎn)，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e.
10.已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.
(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程．
能力提升
11．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．
12．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1(－，0)，且右頂點(diǎn)為D(2,0)．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．
1．橢圓的范圍實(shí)質(zhì)就是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用．
2．橢圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．橢圓的對(duì)稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用．
3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個(gè)量，通過(guò)解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍．
4．在與橢圓有關(guān)的求軌跡方程的問(wèn)題中要注意挖掘幾何中的等量關(guān)系．
2．2.2 橢圓的幾何性質(zhì)
知識(shí)梳理
1．(1)[－a，a]、[－b，b] (2)x軸 y軸 原點(diǎn) 橢圓的中心 (3)A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0，－b)、B2(0，b) 2a 2b
2. 0c恒成立，
由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.
又∵0b>0)，將點(diǎn)(－5,4)代入得＋＝1，
又離心率e＝＝，即e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，
故橢圓的方程為＋＝1.
7.
解析 由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，所以b＝1，c＝2，從而a＝，e＝＝.
8．(3,0)
解析 設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P，由橢圓定義可知
PF1＋PF2＝2a＝10，
所以PF1PF2≤2
＝2＝25，
當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2時(shí)取等號(hào)；
由
解得PF1＝PF2＝5＝a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，即P(3,0)．
9．解 依題意知H，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)．
設(shè)P(xP，yP)，且xP＝c，代入到橢圓的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.
∵0
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