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1、二、圓錐曲線的參數(shù)方程二、圓錐曲線的參數(shù)方程MobaxyPABTQN已知雙曲線的普通方程：已知雙曲線的普通方程：22221(0,0)xyabab參考橢圓參數(shù)方程的建立方法，參考橢圓參數(shù)方程的建立方法，以原點(diǎn)為圓心，以原點(diǎn)為圓心，b為半徑作一圓為半徑作一圓與與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的切作圓的切線線AT，再以，再以 為半徑作一圓，為半徑作一圓，其半徑其半徑OB或其延長(zhǎng)線與或其延長(zhǎng)線與AT交于交于點(diǎn)點(diǎn)Q，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作圓的切線和作圓的切線和x軸交軸交于點(diǎn)于點(diǎn)M，再作，再作MN Ox，過點(diǎn)，過點(diǎn)Q作作x軸的平行線交軸的平行線交MN于點(diǎn)于點(diǎn)P.a求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OB繞原點(diǎn)繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，
2、點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程。的軌跡的參數(shù)方程。雙曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)雙曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)( ,),x yAOQ設(shè)P取為參數(shù).RtAQAQ=OA tanO在中 ， 有OBRt BMOM=cosO在中 ， 有obaxyPABTQNMOBMPAQOA tanOMcos所以：，seccos()tanaxayb即 ：為 參 數(shù)2a222xy此參數(shù)方程消去參數(shù)后，得-=1,b這是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。seccosP()tanaxayb所以：點(diǎn) 的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 seccos()tanaxayb為 參 數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b
3、3 ,2 )22o通常規(guī)定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1 tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OP的傾斜角不同的傾斜角不同.obaxyPABTQNM例例1. 見課本見課本P37 例例5.1.雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 中，中， 參數(shù)的幾何意義是什么？參數(shù)的幾何意義是什么？seccos()tanaxayb為參數(shù)2.試求雙曲線試求雙曲線 的參數(shù)方程。的參
4、數(shù)方程。2222yx1(0,0)ababyseccos()xtanaab為參數(shù)3.試求拋物線試求拋物線 的參數(shù)方程。的參數(shù)方程。（1）以拋物線上一點(diǎn)（）以拋物線上一點(diǎn)（x，y）與其頂點(diǎn)連線的斜率的）與其頂點(diǎn)連線的斜率的 倒數(shù)倒數(shù)t為參數(shù)；為參數(shù)；（2）以拋物線上任一點(diǎn)（）以拋物線上任一點(diǎn)（x，y）的縱坐標(biāo)）的縱坐標(biāo)y0為參數(shù)。為參數(shù)。22(0)ypx pt的幾何意義是：拋物線上的點(diǎn)與其的幾何意義是：拋物線上的點(diǎn)與其頂點(diǎn)的連線的斜率的倒數(shù)。即：頂點(diǎn)的連線的斜率的倒數(shù)。即：1kt222xp typ t（t為參數(shù)）（1）例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為
5、雙雙曲曲線線任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過過點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？OBMAxy.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為,則直線的方程為（asec ,btan ）： b將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，點(diǎn)B的橫坐cta2標(biāo)n為）.ba設(shè) AOx= ,則tan.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可見，平行四邊形的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無關(guān)。
24 雙曲線的參數(shù)方程
