數(shù)學(xué)第3章 函數(shù)及其圖象 第12講 二次函數(shù)

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1、第三章第三章 函數(shù)及其圖象函數(shù)及其圖象 第第 12 講講 二次函數(shù)二次函數(shù) 考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理二次函數(shù)解析式的三種形式二次函數(shù)解析式的三種形式 表達(dá)式說明一般式y(tǒng) yax2bxc(a0)當(dāng)bc0時(shí)，即可得到簡(jiǎn)單的二次函數(shù)yax2；當(dāng)b0時(shí)，二次函數(shù)為yax2c；當(dāng)c0時(shí)，二次函數(shù)為yax2bx頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k(a0)當(dāng)k0時(shí)，二次函數(shù)為ya(xh)2；當(dāng)h0時(shí)，二次函數(shù)為yax2k，即yax2c的形式交點(diǎn)式y(tǒng)a(xx1)(xx2)(a0)(x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo))交點(diǎn)式只限于二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)的情形，當(dāng)x1x20時(shí)，二次函數(shù)為yax2；當(dāng)x10時(shí)，二次函數(shù)為yax(x

2、x2)；當(dāng)x20時(shí)，二次函數(shù)為yax(xx1)1形如yax2(a0)的圖象和性質(zhì) yax2(a0)的圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)最值增減性a0 向上 y軸(x0)(0，0)當(dāng)x0時(shí)，y最小0(1)x0時(shí)，y隨x的增大而增大a0 向下 y軸(x0) (0，0)當(dāng)x0時(shí)，y最大0(1)x0時(shí)，y隨x的增大而減小2.2.形如形如y ya(xa(xh)h)2 2k(a0)k(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì) ya(xh)2k(a0)的圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)最值增減性a0 向上xh(h，k)當(dāng)xh時(shí)，y最小k(1)xh時(shí)，y隨x的增大而增大a0 向下xh (h，k)當(dāng)xh時(shí)，y最大k(1)xh時(shí)，y隨x的增大而

3、減小3.3.形如形如y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì) yax2bxc(a0)的圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)最值增減性a0 向上x (1)x 時(shí)，y隨x的增大而增大a0 向下 x (1)x 時(shí)，y隨x的增大而減小ab2ab2ab2ab2ab2ab2一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式把三個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式得出一個(gè)三元一次方程組，就能解出a，b，c的值頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k(a0)已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點(diǎn)式交點(diǎn)式y(tǒng)a(xx1)(xx2)已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用交點(diǎn)式此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線_

4、 221xxx拋物線yax2與ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中a相同，則圖象的形狀和大小都相同，只是位置不同它們之間的平移關(guān)系如下表：1yax2bxc(a0)與ax2bxc0(a0)的關(guān)系b24ac 一元二次方程根的情況 一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x1，0)(x2，0)0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)( ，0)0沒有實(shí)數(shù)根與x軸無交點(diǎn)ab22.二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型：增長(zhǎng)率問題；拋物線型問題(涉及橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等)；最大利潤問題等 典型例題運(yùn)用典型例題運(yùn)用 類型類型1 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系二次

5、函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系 【例1 1】 2016煙臺(tái)中考二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，下列結(jié)論：4acb；2ab0.其中正確的有(B) A B C DB B拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，0.b24ac0.4acb2，故正確，x1時(shí)，y0，abc0.acb，故錯(cuò)誤，對(duì)稱軸x1，a0，2a(b)1.b2a.2ab0，故正確 變式運(yùn)用 如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，其對(duì)稱軸為x1，且過點(diǎn)(3，0)下列說法：abc0；2ab0；4a2bcy2.其中說法正確的是25二次函數(shù)的圖象開口向上，a0.二次函數(shù)的圖象交y軸的負(fù)半軸于一點(diǎn)，c0.對(duì)稱軸是直線x1， 1，b2a0，abc0，故正確；b2

6、a，2ab0，故正確；拋物線的對(duì)稱軸為x1，且過點(diǎn)(3，0)，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為(1，0)當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x2時(shí)，y0，即4a2bc0，故錯(cuò)誤；(5，y1)關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，y1)，又當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，3 ，y1y2，故正確ab225【例2 2】 2017南雄模擬對(duì)于拋物線yx22x2下列結(jié)論：拋物線的開口向下；對(duì)稱軸為直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)；x1時(shí)，y隨x的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(C) A1 B2 C3 D4C Cyx22x2(x1)23，a10，拋物線的開口向下，正確；對(duì)稱軸為直線x1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，正

7、確；x1時(shí)，y隨x的增大而減小，x1時(shí)，y隨x的增大而減小一定正確；綜上所述，結(jié)論正確的是，共3個(gè)變式運(yùn)用 定義：給定關(guān)于x的函數(shù)y，對(duì)于該函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有y10)；y .x1當(dāng)x1x2時(shí)，y1y22x12x22(x1x2)x1x2，x1x20.y1y20，y1y2.y2x是增函數(shù)；當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2x11x21(x1x2)x10.y1y20，y1y2.yx1不是增函數(shù)；當(dāng)0 x1x2時(shí)，y1y2x12x22(x1x2)(x1x2)又0 x10，x1x20.y1y20，y10)是增函數(shù)；當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2 .x1x2，x1x20.但x

8、1x2的正負(fù)無法確定，故無法確定 是大于0還是小于0，即無法確定y1y2，無法確定y 是否為增函數(shù)x11x21xxxx2121xxxx2121x1類型類型2 2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合二次函數(shù)與幾何圖形綜合 【例3 3】 2017濱州模擬已知一次函數(shù)yx1與拋物線y x2bxc交于A(0，1)，B兩點(diǎn)，B點(diǎn)縱坐標(biāo)為10，拋物線的頂點(diǎn)為C.(1)求b，c的值；(2)判斷ABC的形狀并說明理由；(3)點(diǎn)D，E分別為線段AB，BC上任意一點(diǎn)，連接CD，取CD的中點(diǎn)F，連接AF，EF.當(dāng)四邊形ADEF為平行四邊形時(shí)，求平行四邊形ADEF的周長(zhǎng)31【自主解答】 (1)把A(0，1)，代入y x2bxc，

9、解得c1.將y10代入yx1，得x9.B點(diǎn)坐標(biāo)為(9，10)將B(9，10)代入y x2bxc，得b2.3131(2)ABC是直角三角形，理由如下：y x22x1 (x3)22， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，2)分別作BG垂直于y軸，CH垂直于y軸，垂足分別為G，H.BGAG9，BAG45.同理CAH45.CAB90.ABC是直角三角形3131(3)BGAG9，AB9 .CHAH3，AC3 .四邊形ADEF為平行四邊形，ADEF.又F為CD中點(diǎn)，CEBE.即EF為DBC的中位線，EFAD BD.AB9 ，EFAD3 .在RtACD中，AD3 ，AC3 ，CD6.AF3.平行四邊形ADEF周長(zhǎng)為66 .2

10、22122222變式運(yùn)用 2016安徽中考如圖，二次函數(shù)yax2bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，4)與B(6，0)(1)求a，b的值；(2)點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x(2x6)寫出四邊形OACB的面積S關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值解：(1)二次函數(shù)yax2bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，4)與B(6，0)(2)由(1)知，y x23x，如圖，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D(2，0)，連接CD，過點(diǎn)C作CEAD，CFx軸，垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F，C(x， x23x)，則SOAD ODAD 244，SACD ADCE 4(x2)2x4(2x6)，SBCD BDCF 4

11、( x23x)x26x(2x6)，212121212121212121則SSOADSACDSBCD4(2x4)(x26x)x28x(2x6)S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為Sx28x(2x6)將其用頂點(diǎn)式表示為S(x4)216，當(dāng)x4時(shí)，四邊形OACB的面積S取最大值，最大值為16.類型類型3 3 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例4 4】 2017濟(jì)寧中考某商店經(jīng)銷一種學(xué)生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價(jià)為每個(gè)30元市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)x(元)有如下關(guān)系：yx60(30 x60)設(shè)這種雙肩包每天的銷售利潤為w元(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)這種雙肩包銷售

12、單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價(jià)不高于42元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？解：(1)根據(jù)題意，得w(x30)y(x30)(x60)x290 x1800，w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為wx290 x1800(30 x60)(2)根據(jù)題意，得wx290 x1800(x45)2225.148，x250不符合題意，舍去答：該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為40元變式運(yùn)用 2018原創(chuàng)為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤為一邊，用總長(zhǎng)為a米(a為大于21的常數(shù))的圍網(wǎng)

13、在水庫中圍成了如圖所示的兩塊矩形區(qū)域已知岸堤的可用長(zhǎng)度不超過21米設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，矩形區(qū)域ABCD的面積為y平方米(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量x的取值范圍；(用含a的式子表示)(2)若a30，求y的最大值，并求出此時(shí)x的值；(3)若a48，請(qǐng)求出y的最大值解：(1)設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則BC的長(zhǎng)為(a3x)米，根據(jù)題意，得yx(a3x)3x2ax.由a3x21，得x .由a3x0，得x . x .(2)當(dāng)a30時(shí)，y3x230 x3(x5)275.3x0，y隨x的增大而增大，所以y3x1符合；函數(shù)y 在每一象限內(nèi)y隨x增大而減小，不符合題意；yx2是二次函數(shù)，在對(duì)稱軸的兩側(cè)增

14、減性不同，不符合題意x122015德州如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)P(m，n)在直線yx2上運(yùn)動(dòng)，設(shè)APO的面積為S，則下面能夠反映S與m的函數(shù)關(guān)系的圖象是(B)B BP(m，n)在直線yx2上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)時(shí)，點(diǎn)P在線段OA上，此時(shí)APO不存在，m1；直線yx2垂直平分OA，OA確定，當(dāng)m1時(shí)，等腰APO底邊上的高隨m的增大逐漸增大，S也是m的一次函數(shù)，S逐漸增大3 32013德州函數(shù)yx2bxc與yx的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：b24c0；bc10；3bc60；當(dāng)1x3時(shí)，x2(b1)xc0.其中正確的個(gè)數(shù)是(B) A1 B2 C3 D4B B函數(shù)yx2

15、bxc與x軸無交點(diǎn)，b24c0，故錯(cuò)誤；當(dāng)x1時(shí)，y1bc1，故錯(cuò)誤；當(dāng)x3時(shí)，y93bc3，3bc60，故正確；當(dāng)1x3時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，x2bxcx.x2(b1)xc0，故正確4 42014德州如圖，拋物線yx2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))依次為A1，A2，A3，An，.將拋物線yx2沿直線L：yx向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，Mn，都在直線L：yx上；拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1，A2，A3，An，.則頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)為(4027，4027)40274027M1(a1，a1)是拋物線y1(xa1)2a1的頂點(diǎn)，拋

16、物線yx2與拋物線y1(xa1)2a1相交于點(diǎn)A1，得x2(xa1)2a1，2a1xa1(2)a1，即x (a11)x為整數(shù)，a11，M1(1，1)；M2(a2，a2)是拋物線y2(xa2)2a2x22a2x a2的頂點(diǎn)，拋物線yx2與y2相交于點(diǎn)A2，x2x22a2x a2，2a2x a2，即x (a21)x為整數(shù)，a23，M2(3,3)M3(a3，a3)是拋物線y3(xa3)2a3x22a3x a3的頂點(diǎn)，拋物線yx2與y3相交于點(diǎn)A3，x2x22a3x a3，2a3x a3，即x (a31)x為整數(shù)，a35，M3(5，5)，由以上規(guī)律可推出M2014的橫坐標(biāo)為2014214027，M20

17、14的坐標(biāo)為(4027，4027)21a22a22a2221a23a23a2321猜押預(yù)測(cè) 拋物線yax2bxc的圖象如圖所示，則一次函數(shù)yaxb與反比例函數(shù)yx(c)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為(B)B B由拋物線可知，a0，b0，c0，一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y 的圖象在第二、四象限xc命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用5 52017德州隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場(chǎng)中央新修了個(gè)圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處達(dá)到最高，水柱落

18、地處離池中心3米(1)請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式；(2)求出水柱的最大高度的多少？解：(1)如圖所示，以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)2h(0 x3)，代入(0，2)和(3，0)，拋物線的解析式為y (x1)2 (0 x3)，即y x2 x2(0 x3)32383234(2)y x2 x2(0 x3)，當(dāng)x1時(shí)，y ，即水柱的最大高度為 米32343838命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用二次函數(shù)的綜合應(yīng)用6 62016德州已知m，n是一元二次方程x24x30的兩個(gè)

19、實(shí)數(shù)根，且|m|n|.拋物線yx2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m，0)，B(0，n)，如圖所示(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，并判斷BCD的形狀；(3)點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線BC上，距離點(diǎn)P為 個(gè)單位長(zhǎng)度設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式2解：(1)解方程x24x30，得x11，x23.m，n是一元二次方程x24x30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|n|，m1，n3.把點(diǎn)A(1，0)，B(0，3)代入yx2bxc中，這個(gè)

20、拋物線的解析式為yx22x3.(2)令y0，則x22x30，解得x11，x23.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)D(1，4)如圖1，過點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E.OBOC3，BEDE1，BOC和BED都是等腰直角三角形OBCDBE45.CBD90.BCD是直角三角形(3)由點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)C(3，0)，得直線BC的解析式為yx3.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PMx軸，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.又點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，P(t，t3)，M(t，t22t3)過點(diǎn)Q作QFPM于點(diǎn)F，則PQF為等腰直角三角形PQ ，QF1.如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，即0t3時(shí)，PMt3(t22t3)t23t

21、.2S PMQF (t23t)1 t2 t；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即t3時(shí)，PMt22t3(t3)t23t.S PMQF (t23t)1 t2 t.綜上， 21212123212121237 72015德州已知拋物線ymx24x2m與x軸交于點(diǎn)A(，0)，B(，0)，且 2.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)畫出圖形(保留作圖痕跡)，并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是

22、平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)11解：(1)由題意可得，是方程mx24x2m0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得， ，2.m4 2， ，即 ， 解得m1.112224m故拋物線的解析式為yx24x2.(2)存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使得四邊形DNME的周長(zhǎng)最小，yx24x2(x2)26，拋物線的對(duì)稱軸l為x2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，6)又拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，2)作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，則D的坐標(biāo)為(2，6)，E坐標(biāo)為(4，2)，連接DE，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，此時(shí)，四邊形DNME的周長(zhǎng)最小為DEDE，如圖1所示

23、延長(zhǎng)EE，DD交于一點(diǎn)F，在RtDEF中，DF6，EF8，則DE= .設(shè)對(duì)稱軸l與CE交于點(diǎn)G，在RtDGE中，DG4，EG2， .四邊形DNME的周長(zhǎng)最小值為102 .5(3)如圖2，P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHx軸，垂足為H.若以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則PHQDGE，PHDG4.|y|4.當(dāng)y4時(shí)，x24x24，解得x12 ，x22 ；當(dāng)y4時(shí)，x24x24，解得x32 ，x42 .無法得出以DE為對(duì)角線的平行四邊形，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 ，4)，(2 ，4)，(2 ，4)，(2 ,4)2210102210108 82014德州如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)

24、是(4，0)，并且OAOC4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P，使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：方法一：(1)由A(4，0)，可知OA4.OAOC4OB，OAOC4，OB1.C(0，4)，B(1，0)設(shè)拋物線的解析式是yax2bxc，則拋物線的解析式是yx23x4.(2)存在第一種情況，如圖1，當(dāng)以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1AC，交拋物線于點(diǎn)

25、P1.過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M.ACP190，MCP1ACO90.ACOOAC90，MCP1OAC.OAOC，MCP1OAC45.MCP1MP1C.MCMP1.設(shè)P(m，m23m4)，則mm23m44，解得m10(舍去)，m22.m23m46，即P(2，6)第二種情況，如圖1，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A作AP2，交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP2交y軸于點(diǎn)F.P2Nx軸由CAO45，OAP245.FP2N45，AOOF.P2NNF.設(shè)P2(n，n23n4)，則n(n23n4)4，解得n12，n24(舍去)，n23n46，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(2，6)綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，6)或(2，6)(3)如圖2，連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則ODEF.根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)ODAC時(shí)，OD最短，即EF最短由(1)可知，在RtAOC中，OCOA4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)又DFOC，DF OC2.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2.則x23x42，解得x .當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是( ，2)或( ，2)212173 2173 2173