高等數(shù)學(xué)方明亮 一階線性微分方程

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1、高等數(shù)學(xué)方明亮高等數(shù)學(xué)方明亮 一階線性微分方程一階線性微分方程(Linear differential equation)第1頁/共22頁第2頁/共22頁第3頁/共22頁( )d( )d( )e( ) ( )ep xxp xxyu xu x p x( )d( )e( )p xxu xp x y( )d( )e( )6p xxu xq x，）（( )d( )( )edp xxu xq xxC( )d( )de( )ed7p xxp xxyq xxC）（第4頁/共22頁第5頁/共22頁1dexxy1dindsexxxCxx( )d( )de( )edp xxp xxyq xxClnlnsineed

2、xxxxCx1( cos)xCx第6頁/共22頁第7頁/共22頁12( )(1)u xx32( )2(1)3xu xC2322(1)1)3xyxC第8頁/共22頁( 1)( 1dd)eedyyyCyxeedyyyyCe1yCy第9頁/共22頁ddvmmgkvtddvkvgtm第10頁/共22頁ddeedkkttmmvCgtektmmgCk第11頁/共22頁 0( )(0)1edkttmmgx txtk1ektmmgmtkk第12頁/共22頁(Bernoulli differential equation)下面討論伯努利方程的解法下面討論伯努利方程的解法 1( )( )yyp x yq x第13

3、頁/共22頁1( )( )yyp x yq x1( )( )1zp x zq x第14頁/共22頁21d1lndyyyaxxxd1lndzzaxxx 2(ln )2azx Cx2(ln )12ayx Cx第15頁/共22頁1. 一階線性方程d( )( )dyp x yq xx方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式 ( )d( )de( )edp xxp xxyq xxC 1,zy 令令化為線性方程求解.2. 伯努利方程d( )( )dyp x yq x yx (0,1) 第16頁/共22頁習(xí)題113 1（奇數(shù)題） ；24 ；5思考練習(xí)1. 判別下列方程類型:xyyxyxy

4、xdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程yxxyxydd)2ln()5(22lndyxyydxxx伯努利方程第17頁/共22頁2. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf第18頁/共22頁, )(xfyy其中)(xf10,2 x

5、1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解: 1) 先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx3. 設(shè)有微分方程第19頁/共22頁1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齊次線性方程的通解為) 1(2xeCyx利用銜接條件得) 1(22eC因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原問題的解為y10),1 (2xex1,) 1(2xeex2) 再解定解問題第20頁/共22頁( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出 這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外, 他對雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究 .第21頁/共22頁感謝您的觀看。第22頁/共22頁