高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)【知識梳理】研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題【例1】(2014課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k1，函數(shù)f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)； (3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))， 3(2015課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a0時(shí)，f(x)2aaln.4已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a0，x01，設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線，求證：f(x)g(x)2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（學(xué)生版，后附教師版）【知識梳理】研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題【例1】(2014課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k0.當(dāng)x0時(shí)，g(x)3x26x1k0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)k10時(shí)，令h(x)x33x24，則g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)沒有實(shí)根綜上，g(x)0在R有唯一實(shí)根，即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解：（I）由，得因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時(shí)，存在，使得由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)（III）當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)綜上所述，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件當(dāng)，時(shí)，只有兩個(gè)不同點(diǎn)， 所以不是有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件變式訓(xùn)練2.（2016年全國I卷高考）已知函數(shù).(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（）（ i ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（ ii ）當(dāng)時(shí)，由，解得：或若，即，則，故在單調(diào)遞增若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減（）（i）當(dāng)時(shí)，由（）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，取實(shí)數(shù)滿足且，則有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）若，則，故只有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，由（I）知，當(dāng)，則在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減又當(dāng)時(shí)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上所述，的取值范圍是【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】1若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a可能的值為()A4 B6 C7 D8答案A解析由題意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0得x2，由f(x)0得1x1，函數(shù)f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)； (3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m1.解析：（1）f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2exxR，f(x)0恒成立.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，).(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，則m0，g(m)在(0，)上增.令g(x)0，則m0時(shí)，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2x(x0)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)沒有零點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閥e2x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(a)0，當(dāng)b滿足0b且b時(shí)，f(b)0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn)(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故當(dāng)a0時(shí)，f(x)2aaln.4已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a0，x01，設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線，求證：f(x)g(x)(1)解易得f(x)，由已知得f(x)0對x(，2)恒成立，故x1a對x(，2)恒成立，1a2，a1.(2)證明a0，則f(x).函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線方程為yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，則h(x)f(x)f(x0).設(shè)(x)(1x)ex0(1x0)ex，xR，則(x)ex0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上單調(diào)遞減，而(x0)0，當(dāng)x0，當(dāng)xx0時(shí)，(x)0，當(dāng)x0，當(dāng)xx0時(shí)，h(x)0，h(x)在區(qū)間(，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，)上為減函數(shù)，xR時(shí)，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)