《高等數(shù)學(xué)》教案

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《高等數(shù)學(xué)》授課教案 第一講 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù) 教學(xué)目的：了解新數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)觀，掌握基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函 數(shù)的分解。 重 難 點(diǎn)：數(shù)學(xué)新認(rèn)識(shí)，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù) 教學(xué)程序：數(shù)學(xué)的新認(rèn)識(shí)—>函數(shù)概念、性質(zhì)（分段函數(shù)）—>基本初等函數(shù)—>復(fù)合函數(shù)—>初等函數(shù)—>例子（定義域、函數(shù)的分解與復(fù)合、分段函數(shù)的圖像） 授課提要： 前 言：本講首先是《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)介紹，其次是對(duì)中學(xué)學(xué)過(guò)的函數(shù)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié)（函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映。高等數(shù)學(xué)主要以函數(shù)作為研究對(duì)象，因此必須對(duì)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) （1）文化基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)是一種文化，它的準(zhǔn)確性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性，是現(xiàn)代社會(huì)文明的重要思維特征，是促進(jìn)社會(huì)物質(zhì)文明和精神文明的重要力量； （2）開(kāi)發(fā)大腦——數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對(duì)于訓(xùn)練和開(kāi)發(fā)我們的大腦（左腦）有全面的作用； （3）知識(shí)技術(shù)——數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，是我們生活和工作的一種能力和技術(shù)； （4）智慧開(kāi)發(fā)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力。 2、對(duì)數(shù)學(xué)的新認(rèn)識(shí) （1）新數(shù)學(xué)觀——數(shù)學(xué)是一門(mén)特殊的科學(xué)，它為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)提供思想和方法，是推動(dòng)人類(lèi)進(jìn)步的重要力量； （2）新數(shù)學(xué)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，包括發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。 （3）新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的意義：通過(guò)“數(shù)學(xué)素質(zhì)”而培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)”。[見(jiàn)教材“序言”] 二、函數(shù)概念 1、函數(shù)定義：變量間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系（單值對(duì)應(yīng)）。 （用變化的觀點(diǎn)定義函數(shù)），記：（說(shuō)明表達(dá)式的含義） (1)定義域：自變量的取值集合（D）。 (2)值 域：函數(shù)值的集合，即。 例1、求函數(shù)的定義域？ 2、函數(shù)的圖像：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則點(diǎn)集 就構(gòu)成函數(shù)的圖像。 例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。 3、分段函數(shù)：對(duì)自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達(dá)式。 例如：符號(hào)函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。 分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。 例2、作函數(shù)的圖像？ 例3、求函數(shù) 三、基本初等函數(shù) 熟記：五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。 四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x)，且與x對(duì)應(yīng)的u使y=f(u)有意義，則y=f[g(x)]是x的復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間變量。 說(shuō) 明：(1)并非任意幾個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 如：就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 (2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個(gè)復(fù)合體定義域的交集。 (3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進(jìn)行；復(fù)合時(shí)，則直接代入消去中間變量即可。 例5、設(shè) 例6、指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡(jiǎn)單函數(shù)）構(gòu)成？ (1) (2) (3) 五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四則運(yùn)算而成的函數(shù)，且用一個(gè)表達(dá)式所表示。 說(shuō) 明：（1）一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但是初等函數(shù)； （2）初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四則運(yùn)算。 思考題： 1、 確定一個(gè)函數(shù)需要有哪幾個(gè)基本要素？ [定義域、對(duì)應(yīng)法則] 2、 思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？ [奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性] 3、任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說(shuō)明？[不能] 探究題： 圖1—5 時(shí)間 一位旅客住在旅館里，圖1—5描述了他的一次行動(dòng)，請(qǐng)你根據(jù)圖形給縱坐標(biāo)賦予某一個(gè)物理量后，再敘述他的這次行動(dòng).你能給圖1—5標(biāo)上具體的數(shù)值，精確描述這位旅客的這次行動(dòng)并用一個(gè)函數(shù)解析式表達(dá)出來(lái)嗎？ 小 結(jié)：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性；分段函數(shù)反映事物聯(lián)系的多樣性。 作 業(yè)：P4（A：2-3）；P7（A：2-3） 課堂練習(xí)（初等函數(shù)） 【A組】 1、求下列函數(shù)的定義域？ (1) (2) (3) (x-1) (4) 2、判定下列函數(shù)的奇偶性？ (1) (2) (3) 3、作下列函數(shù)的圖像？ (1) (2) (3) 4、分解下列復(fù)合函數(shù)？ (1) (2) (3) (4) 【B組】 1、證明函數(shù)為奇函數(shù)。 2、將函數(shù)改寫(xiě)為分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？ 3、設(shè)？ 4、設(shè)=，求，？ 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 初等函數(shù)圖像認(rèn)識(shí) 1、冪函數(shù)：（如） 2、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：（如） 3、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：（） 4、多項(xiàng)式函數(shù)：（） 5、分段函數(shù)：（） 第二講 導(dǎo)數(shù)的概念（一）、極限與導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的：復(fù)習(xí)極限的概念及求法；理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握用定義求導(dǎo)數(shù)方法。 重 難 點(diǎn)：求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法 教學(xué)程序：極限的定義及求法（例）—>導(dǎo)數(shù)的引入（速度問(wèn)題）—>導(dǎo)數(shù)的概念 —>導(dǎo)數(shù)與極限—>基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義法）—>例子（簡(jiǎn)單） 授課提要： 前 言：在前面的教學(xué)中，我們已討論了變量間的關(guān)系(函數(shù))，本節(jié)將復(fù)習(xí)函數(shù)的變化趨勢(shì)(極限)，在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)的變化率問(wèn)題（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）。導(dǎo)數(shù)是高數(shù)的重點(diǎn)，它的本質(zhì)是極限（比值的極限），在現(xiàn)實(shí)中有極豐富的應(yīng)用。 一、理論基礎(chǔ)——極 限（復(fù)習(xí)） 1、極限的概念（略講函數(shù)在某點(diǎn)的極限定義） 2、極限的四則運(yùn)算法則（略） 3、求函數(shù)的極限（幾類(lèi)函數(shù)的極限） （1）若為多項(xiàng)式，則 例1：求下列極限 (1) (2) (3) （2）若為有理分式且,則（代入法） 例2：求下列極限 (1) (2) (3) （3）若分式,當(dāng)時(shí)，，則用約去零因子法求極限 例3：求下列極限 (1) (2) (3) （4）若分式,當(dāng)時(shí)，分子分母都是無(wú)窮大，則適用無(wú)窮小分出法求極限。 例4：求下列極限 (1) (2) (3) 3、兩個(gè)重要極限 （1） （2） 說(shuō)明：其中可以是的形式，且當(dāng)時(shí)，。 例5：求下列極限 (1) (2) (3) (4) 二、導(dǎo)數(shù)定義（復(fù)習(xí)增量的概念） 引例1、速度問(wèn)題（自由落體運(yùn)動(dòng)） 引例2、切線問(wèn)題（曲線） 以上兩個(gè)事例具體含義各不相同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來(lái)看，都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)處的變化率，即計(jì)算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解決問(wèn)題的思路： 1、 自變量x作微小變化Dx，求出函數(shù)在自變量這個(gè)小段內(nèi)的平均變化率，作為點(diǎn)處變化率的近似值； 2、 對(duì)求Dx0的極限，若它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)處變化率的精確值。 定 義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)在點(diǎn)取得增量時(shí)，相應(yīng)函數(shù)取得增量，若當(dāng)時(shí)，比值的極限存在，則稱(chēng)此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)或微商。記，即 說(shuō)明：(1)比值是函數(shù)在上的平均變化率；而是在處的變化率，它反映函數(shù)在點(diǎn)隨自變量變化的快慢程度； (2)若不存在（包括），則稱(chēng)在點(diǎn)不可導(dǎo)； (3)若在（a,b)內(nèi)每點(diǎn)可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，記，稱(chēng) 為導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)。 (4)f(x)是x的函數(shù)，而f(x0)是一個(gè)數(shù)值，f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。 三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)是一種特殊（比值）的極限，即有導(dǎo)數(shù)-有極限，反之不成立。 四、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義） 由定義知求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：（三步驟） （1）求增量；（2）求比值；（3）求極限。 例6、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 例7、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？（推導(dǎo)） 思考題： 1、 是否存在，為什么？[0] 2、若曲線= 在處切線斜率等于 3 ，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 3、 已知，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限。[0] 探究題：從求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬間速度問(wèn)題解決方法中，你對(duì)“極限法”有什么體會(huì)？ [近似轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)方法] 小 結(jié)：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀（局部）上研究非均勻量（如：速度、密度、電流、電壓等）的變化率問(wèn)題，是處理非均勻量的“除法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“勻”代“不勻”或“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。從函數(shù)的觀點(diǎn)看，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)的局部線性形態(tài)，即可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線（切線），憑著切線的斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的單調(diào)性、極值等）。 作 業(yè)：P22（A：1-3；B：3-4） 課堂練習(xí)（導(dǎo)數(shù)的概念一） 【A組】 1、求下列極限 (1) (2) (3) （4） （5） （6） 2、求極限？ 3、求極限：？[] 4、已知，求a的值？ [2] 5、用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)？ 6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？ (2)求物體在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度？ 【B組】 1、設(shè)？ [] 2、設(shè)函數(shù)？ [2] 3、證明導(dǎo)數(shù)公式： 4、一藥品進(jìn)入人體t小時(shí)的效力，求t=2,3,4時(shí)的效力E的變化率？ 5、設(shè) A 。 A、左右導(dǎo)數(shù)都存在 B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在 C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在 D、都不存在 6. 若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確。[全部] （1）在點(diǎn) 處可導(dǎo)； （2）在點(diǎn) 處連續(xù)； （3）= ； 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 兩個(gè)重要極限的圖像認(rèn)識(shí) 1、極限： 2、極限： 3、等價(jià)無(wú)窮小的直觀認(rèn)識(shí)：（） 第三講 導(dǎo)數(shù)的概念（二） 教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)基本公式；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求切線方程。 重 難 點(diǎn)：基本導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（求切線方程） 教學(xué)程序：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義—>基本導(dǎo)數(shù)公式—>例子（求導(dǎo)數(shù)）—>導(dǎo)數(shù)的幾何意 義—>例子（切線方程）—>導(dǎo)數(shù)的物理意義（例子） 授課提要： 一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1、求的導(dǎo)數(shù)？（由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)） 于是我們有公式： 同樣，由定義可得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（u,v為可導(dǎo)函數(shù)） 1、代數(shù)和： 2、數(shù) 乘： 例2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 例3、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？ (1) (2) 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（作圖說(shuō)明） 結(jié)論：表示曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,f(x0)）的切線斜率。 例4、求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程？ 例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求曲線y=f(x)在點(diǎn)（1,f(1)）處的切線斜率？ [導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義] 四、導(dǎo)數(shù)的物理意義 結(jié)論：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)方程為，則表示物體在時(shí)刻t的瞬間速度。 例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻t=1時(shí)的速度？ 例7、求曲線上一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線平行于直線 。[] 例8、設(shè)某產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)關(guān)系：(x為產(chǎn)量)，求x=2時(shí)的邊際成本，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義。 思考題： 與有無(wú)區(qū)別？[，] 探究題：導(dǎo)數(shù)的值可不可以為負(fù)值？舉例說(shuō)明。[可以] 小 結(jié)：導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美（）。它將可導(dǎo)曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。 作 業(yè)：P25（A：1）；P28（A：1，3） 課堂練習(xí)（導(dǎo)數(shù)概念二） 【A組】 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) 2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 3、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？ 4、設(shè) 5、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求時(shí)刻t=3時(shí)的速度？ 6、 拋物線 = 在何處切線與軸正向夾角為，并且求該處切線的方程. 【B組】 1、一球體受力在斜面上向上滾動(dòng)，在t秒末離開(kāi)初始位置的距離為，問(wèn)其初速度為多少？何時(shí)開(kāi)始向下滾動(dòng)？ 2、已知曲線與相交于點(diǎn)（1，1），證明兩曲線在該點(diǎn)處相切，并求出切線方程？ 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學(xué)價(jià)值 P Q 1、導(dǎo)數(shù)的定義（切線問(wèn)題） 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（） 3、導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：曲線的局部線性化。 （1）在x=0處比較：曲線與切線； （2）在x=1處比較：曲線與切線。 第四講 求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則（一） 教學(xué)目的：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 重 難 點(diǎn)：基本導(dǎo)數(shù)公式與法則 教學(xué)程序：基本公式—>運(yùn)算法則—>例子—>二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法 授課提要： 一、基本導(dǎo)數(shù)公式 由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下基本導(dǎo)數(shù)公式： 二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 設(shè)u、v為可導(dǎo)函數(shù)，則 1、 2、 3、 4、 例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 例2、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？ (1) (2) 例3、設(shè) 例4、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？ 三、二階導(dǎo)數(shù) 1、定義：若導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為的二階導(dǎo)數(shù)。記： 2、求法：由定義知，求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致。 例5、求下列二階導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義 設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：，則表示物體在時(shí)刻t的加速度。 例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：，求t=2時(shí)的速度和加速度？ 思考題： 1. 思考下列命題是否成立？ (1)若，在點(diǎn)處都不可導(dǎo)，則點(diǎn)處也一定不可導(dǎo). 答：命題不成立. 如：= = ，在 = 0 處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)+= 在= 0 處可導(dǎo). (2)若在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)處不可導(dǎo)，則+在點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答：命題成立. 原因：若+在處可導(dǎo)，由在處點(diǎn)可導(dǎo)知=[+]在點(diǎn)處也可導(dǎo)，矛盾. 探究題： 某產(chǎn)品的需求方程和總成本函數(shù)分別為，，其中為銷(xiāo)售量，為價(jià)格。求邊際利潤(rùn)，并計(jì)算和時(shí)的邊際利潤(rùn)，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義。[導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義] 小 結(jié)：導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運(yùn)動(dòng)的變化率。指路程對(duì)時(shí)間的變化率，指速度對(duì)時(shí)間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義：反映曲線的凹向。 作 業(yè)：P30（A：1-2） 小知識(shí)：數(shù)學(xué)的三次危機(jī) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生。（單位正方形的對(duì)角線長(zhǎng)） 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：微積分的產(chǎn)生和完善。（極限和無(wú)窮小的定義） 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：集合論的產(chǎn)生。（羅素悖論） 課堂練習(xí)（導(dǎo)數(shù)公式與法則一） 【A組】 1、求下列導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 2、曲線在何處有水平切線？ [x=-2/3] 3、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？[e] 4、求下列二階導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) 【B組】 1、設(shè)曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn,0)，求極限？ 2、若？ [1] 3、設(shè)，求？ [-2] 4、已知，二階連續(xù)可導(dǎo)，求？ [] 5、設(shè)某種汽車(chē)剎車(chē)后運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，假設(shè)汽車(chē)作直線運(yùn)動(dòng)，求汽車(chē)在秒時(shí)的速度和加速度。 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像比較（） 第五講 求導(dǎo)法則（二）、連續(xù)與導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的：了解函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 重 難 點(diǎn)：基本導(dǎo)數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系 教學(xué)程序：復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式、法則—>連續(xù)概念（極限定義）—>連續(xù)的條件 —>初等函數(shù)的連續(xù)性—>可導(dǎo)與連續(xù)（例）—>連續(xù)函數(shù)的極限（例子） 授課提要： 一、復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式和法則 舉 例：（略） 二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解） 1、定 義：設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)時(shí),有 ，則稱(chēng)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。 說(shuō)明：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)有極限，反之不成立。 例1、試證在x=0處連續(xù)？ 三、函數(shù)連續(xù)的條件 （１）f(x)在x0點(diǎn)及附近有定義 （２）f(x)在x0點(diǎn)的極限存在 （３）極限值等于函數(shù)值。 例2、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性？ 四、初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。 五、可導(dǎo)與連續(xù) 1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征 （1）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。（作圖示例） （2）可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性（無(wú)尖點(diǎn)、折點(diǎn)） 2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理：若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。 例3、試證函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。 例4、試證函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。 3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系 x y O y=|x| 可導(dǎo)連續(xù)有極限；反之不一定成立。如在x=0處。 1 x y O y= -1 -1 1 六、連續(xù)函數(shù)的極限 若f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則 例5、求下列極限 （1） (2) （3） (4) 例6、討論在x=0處的連續(xù)性？ 思考題： 1．如果在處連續(xù)，問(wèn)||在處是否連續(xù)？ [連續(xù)] 2． 如果在處可導(dǎo)，問(wèn)||在處是否可導(dǎo)？ [不一定] 3．求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類(lèi)型。 探究題：作圖說(shuō)明函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的類(lèi)型。[不連續(xù)點(diǎn)、尖點(diǎn)、折點(diǎn)] 小 結(jié)：連續(xù)函數(shù)的美學(xué)意義：和諧與奇異之美。連續(xù)體現(xiàn)的是自然和諧、社會(huì)發(fā)展的生生不息；間斷則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，體現(xiàn)了自然界的豐富多彩和社會(huì)發(fā)展中的跳躍性。 作 業(yè)：P34（A：1-2）；復(fù)習(xí)題（2-5） 課堂練習(xí)（求導(dǎo)公式與法則二） 【A組】 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 2、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？ 3、求曲線在點(diǎn)（-1，0）處的切線方程？ [] 4、試定義f(0)的值，使函數(shù)在x=0處連續(xù)？[] 5、設(shè)，問(wèn)a為何值時(shí)，函數(shù)在x=0處連續(xù)？[2] 【B組】 1、作函數(shù)的圖像？ 2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)，且，求？ [2] 3、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，？ [12] 4、設(shè)，問(wèn)a,b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？ 5、x=1是函數(shù)的（ B ） （A）連續(xù)點(diǎn) （B）可去間斷點(diǎn) （C）跳躍間斷點(diǎn) （D）無(wú)窮間斷點(diǎn) *6、若f(x)在[0，a]上連續(xù)，且f(0)=f(a)，試證：方程在 （0，a）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。 [提示：作新函數(shù)，在[]上使用零點(diǎn)存在定理] 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 不可導(dǎo)點(diǎn)的類(lèi)型 1、連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)（尖、折點(diǎn)）（如：） 2、不連續(xù)點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)： 第六講 定積分的概念 教學(xué)目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。 重 難 點(diǎn)：作為面積的定積分概念 教學(xué)程序：提出問(wèn)題—>解決問(wèn)題（思想）—>定積分定義—>定積分的幾何意義（例子）—>定積分的性質(zhì)（簡(jiǎn)單） 授課提要： 前 言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到各種平面圖形的面積計(jì)算。對(duì)于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學(xué)的方法計(jì)算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會(huì)計(jì)算。下面討論由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的面積的計(jì)算方法。 一、問(wèn)題引入 1、曲邊梯形的定義 所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（如圖所示） 2、引 例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形) （1）分析問(wèn)題 若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一條邊是曲的。 設(shè)想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細(xì)，所得的近似值越接近準(zhǔn)確值，通過(guò)求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。 y （2）解決問(wèn)題（思路） y=x2 第一步：分割 第二步：近似代替 第三步：求和 0 1 x 第四步：取極限 二、定積分的定義 現(xiàn)實(shí)中許多實(shí)例，盡管實(shí)際意義不同，但解決問(wèn)題的方法是一樣的：按“分割取近似，求和取極限”的方法，將所求的量歸結(jié)為一個(gè)和式極限。我們稱(chēng)這種“和式極限”為函數(shù)的定積分。 定 義： （說(shuō)明定積分中各符號(hào)的稱(chēng)謂） 由定積分的定義知，以上實(shí)例可以表示成定積分：面積 說(shuō) 明：定積分是一個(gè)特殊的和式極限，因此，它是一個(gè)常量，它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無(wú)關(guān)。 三、定積分的幾何意義（作 圖） 當(dāng)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí)，定積分可分成三種形式： 1、若在[a,b]上，，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即 2、若在[a,b]上，，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即 3、若在[a,b]上，f(x)可正可負(fù)，則定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即 結(jié)論：定積分的幾何意義：“有號(hào)面積”， 即。 例1、用定積分幾何意義判定下列積分的正負(fù)： （1） （2） 例2、用定積分表示由曲線y=x2+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？ 四、定積分的性質(zhì)（簡(jiǎn)略） （1） （2） （3） （4）積分中值定理： 設(shè)函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a，b之間至少存在一個(gè)x（中值），使 =f(x)(b－a) y=f(x) x y O a b x f(x) 積分中值定理有以下的幾何解釋?zhuān)喝鬴(x)在[a，b]上連 續(xù)且非負(fù)，定理表明在[a，b]上至少存在一點(diǎn)x，使得以 [a，b]為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同 底、高為f(x)的矩形的面積相等，如圖所示．因此從幾何角 度看，f(x)可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨?；從函?shù)值 角度上看，f(x)理所當(dāng)然地應(yīng)該是f(x)在[a，b]上的平均值． 因此積分中值定理這里解決了如何求一個(gè)連續(xù)變化量的平均值問(wèn)題． 思考題： 1、 用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù)。[矩形的面積] 2、 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求下列積分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 探究題：用定積分的符號(hào)、定義、結(jié)果、方法等說(shuō)明“什么是定積分”？ 小 結(jié)：定積分的本質(zhì)：從宏觀（整體）研究非均勻量的“改變量”問(wèn)題。是處理非均勻量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。其中，“分”是為了“勻”的需要，而“求和”是整體量的要求。 作 業(yè)：P40（A：1-3） 課堂練習(xí)（定積分的概念） 【A組】 一、判定正誤： 1、定積分表示曲邊梯形的面積。（ F ） 2、定積分的值與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]及積分變量x有關(guān)。F 3、 （ T ） 4、 （ F ） 二、用定積分表示面積： (1)曲線 (2)由方程所確定的圓的面積？ 三、 用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù)。 【B組】 一、由定積分的幾何意義計(jì)算：？ [] 二、由定積分的幾何意義求直線所圍成的平面圖 形的面積？ 三、用定積分的定義求曲線所圍成的平面圖形的 面積？ 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 定積分思想的幾何直觀 1、函數(shù)在[0,1]上所圍成的面積分析： （1）步長(zhǎng)為0.1的分割。（n=10） （2）步長(zhǎng)為0.05的分割。（n=20） （3）步長(zhǎng)為0.01的分割。（n=100） 第七講 定積分與導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式。 重 難 點(diǎn)：作為路程的定積分、微積分基本定理 教學(xué)程序：復(fù)習(xí)定積分概念（和式極限）—>原函數(shù)—>N-L公式（求路程） 推導(dǎo)—>N—L公式（計(jì)算方法）—>定積分的計(jì)算（簡(jiǎn)單） 授課提要： 前 言：定積分是一個(gè)重要的概念，如果用定義來(lái)計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜且不易，所以必須尋找新的計(jì)算方法。下面將研究定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 一、原函數(shù)的概念 定 義：若在某一區(qū)間上有，則稱(chēng)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。 如：已知，所以是2x的一個(gè)原函數(shù)，同理，也是它的原函數(shù)。（說(shuō)明：原函數(shù)不唯一） *二、變上限函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且，則稱(chēng)函數(shù)為變上限函數(shù)。記。它有如下性質(zhì)： (1)； (2)若在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上可導(dǎo)，且有。 由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。 定 理（原函數(shù)存在定理）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在，且原函數(shù)可表示為 例1、求 ？ 例2、求 ？ 三、N－L公式（直觀推導(dǎo)） 設(shè)一輛汽車(chē)作變速直線運(yùn)動(dòng)（如圖），從時(shí)刻a到b，求其經(jīng)過(guò)的路程？ （1）若已知路程函數(shù)，則； （2）若已知速度函數(shù)，則由定積分有； （3）s(t)與v(t)有如下關(guān)系：，即s(t)是v(t)的一個(gè)原函數(shù)。 一般地，有如下定理： 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 說(shuō) 明：(1)N－L公式揭示了定積分與原函數(shù)（不定積分）間的聯(lián)系，給 定積分的計(jì)算提供了有效而簡(jiǎn)便的方法。 (2)由定義知求定積分的步驟：①求原函數(shù) ②求原函數(shù)的增量 例3、求下列定積分： （1） （2） （3） 例4、求由曲線，直線x=0，x=π，y=0所圍成的圖形面積？ 例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？ 例6、設(shè)物體的速度，求時(shí)段的距離？ 思考題： 1、 ? 答：因?yàn)槭且詾樽宰兞康暮瘮?shù)，故=0. 2、 答：因?yàn)槭浅?shù)，故. 3、 ？ 答：因?yàn)榈慕Y(jié)果中不含，故0. 4、 ？ 答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知. 小 結(jié)：N—L公式的意義：將矛盾的“微分”與“積分”統(tǒng)一起來(lái)，是哲學(xué)中的“對(duì)立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學(xué)價(jià)值：宏觀上的統(tǒng)一之美。 作 業(yè)：P46（A：1）；（B：1） 課堂練習(xí)（定積分與導(dǎo)數(shù)） 【A組】 1、計(jì)算下列定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2、求曲線所圍成的圖形的面積？ 3、設(shè)，求k的值？ [2] 4、設(shè) [兩邊求導(dǎo)數(shù)] 【B組】 1、設(shè)，求a的值？ [3] 2、求導(dǎo)數(shù)：？ [] 3、用定積分求極限：（） *4、利用定積分的性質(zhì)求極限：？（估值定理、夾值定理） *5、證明方程在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。 *6、設(shè)f(x)在[0，4]上連續(xù)，且，則f(2)= 1/4 。 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 定積分：的幾何直觀 第八講 習(xí)題課（導(dǎo)數(shù)與定積分） 教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，掌握基本概念與方法。 一、基本概念及方法： 1、極限的概念，求極限的方法； 2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則 3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟(jì)意義 4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義（經(jīng)濟(jì)意義） 5、用N-L公式求定積分 二、基本題型： 1、求下列極限 （1） （2） （3） （4） 2、求下列導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） 3、求下列導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） 4、求下列積分 （1） （2） （3） 5、求曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程？ 6、求在t=2時(shí)的速度？ 7、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)，求其邊際成本？ 8、求曲線所圍成的圖形的面積？ 9、已知物體的速度為，求時(shí)段經(jīng)過(guò)的路程？ 10、設(shè) [可加性] 11、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為 。[] 三、提示與提高： 1、無(wú)窮小的定義與性質(zhì) 定 義：若,則稱(chēng)時(shí)為無(wú)窮小。 性 質(zhì)：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小。 例1、求極限，？ 2、無(wú)窮小的比較：（略） 當(dāng)時(shí)，有等價(jià)； 當(dāng)時(shí)，； 例2、當(dāng)時(shí)，比較的階？ 3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （1）有界定理；（2）最值定理；（3）零點(diǎn)定理；（4）介值定理 例3、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=f(2),證明方程在[0，1]上至少有一實(shí)根。 4、函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi)（略） 5、定積分的性質(zhì) （1）； （2）若在[a,b]上有，則 特別地，若在[a,b]上有，則 （3）對(duì)任意實(shí)數(shù)C有 （4）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大、最小值分別為M、m，則有 （5）設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其在[a,b]上的平均值 例3、比較大?。号c 例4、求定積分：，其中 例5、求在區(qū)間[1,3]上的平均值？ 第九講 求導(dǎo)法則（三）、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（一） 教學(xué)目的：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算法則，會(huì)求一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 重 難 點(diǎn)：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的連鎖法則 教學(xué)程序：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（復(fù)習(xí)）—>導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則—>例子 授課提要： 前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念及簡(jiǎn)單函數(shù)求導(dǎo)，本節(jié)將系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)求導(dǎo)方法。 一、復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（重點(diǎn)） （板書(shū)略） 二、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則（重點(diǎn)） 設(shè)u(x),v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則 (1) (2) (3) 例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 例2、求的導(dǎo)數(shù)？（由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)） 于是有 同理： 例3、求函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)值？ 例4、求過(guò)點(diǎn)（1，2）且與曲線相切的直線方程？ 三、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及分解 說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)分解一般從外向內(nèi)分解，分解至基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)即可 例5、分解下列函數(shù) （1） （2） （3） 四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，則 說(shuō)明：（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先分清楚函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，求出每一層次簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再使用連鎖法則，就得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； （2）復(fù)合函數(shù)的分解一般按由外向內(nèi)的順序進(jìn)行。 例6、求下列導(dǎo)數(shù)（先分解后求導(dǎo)） (1) (2) (3) (4) 例7、設(shè)在可導(dǎo)，且，記，其中a為 常數(shù)，求？ 例8、設(shè)？ [5e] 思考題： 1、設(shè)，求？[利用指數(shù)恒等式：] 2、 設(shè)求？[ ] 小 結(jié)：掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則；對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)明確：（1）熟練基本導(dǎo)數(shù)公式；（2）恰當(dāng)分解復(fù)合函數(shù)；（3）正確使用“連鎖法則”。 作 業(yè)：P55（A：1-2；B：2）；P58（A：1） 思考題： 1. 給定一個(gè)初等函數(shù)，只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)嗎？為什么？ 答：一定能求出其導(dǎo)函數(shù)。 因?yàn)槿魏我粋€(gè)基本初等函數(shù)我們都可以求其導(dǎo)函數(shù)，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合運(yùn)算形成，據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則知給定一個(gè)初等函數(shù),只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)。 課堂練習(xí)（求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)一） 【A組】 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 2、設(shè) 3、在曲線上取兩點(diǎn)x1=1,x2=3，過(guò)這兩點(diǎn)引割線，問(wèn)曲線上哪點(diǎn)的切線平行于所引割線？ 4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) (4) 5、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？ 6、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？ 【B組】 1、證明可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。 2、設(shè)？ [1/3] 3、設(shè)，問(wèn)a,b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？ 4、設(shè)？ [] 5、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，？[12] 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像 第十講 復(fù)合函數(shù)（二）、高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的：熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 重 難 點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)程序：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（復(fù)習(xí)）—>例子—>高階導(dǎo)數(shù)定義—>例子 —>二階導(dǎo)數(shù)的物理意義—>求高階導(dǎo)數(shù) 授課提要： 一、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（） 例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） 例2、設(shè)，求？ [] 例3、設(shè) [略] 例4、設(shè)？[] 二、高階導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。 說(shuō)明：求高階導(dǎo)數(shù)就是反復(fù)利用求一階導(dǎo)數(shù)的方法即可。 例5、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？ (1) (2) (3) 例6、設(shè)？ 例7、求和的n階導(dǎo)數(shù)？ 例8、求的n階導(dǎo)數(shù)？ [] 例9、求的n階導(dǎo)數(shù)？[] 三、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義（復(fù)習(xí)） 設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)，則表示物體在時(shí)刻t的加速度。 例10、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：時(shí)的速度和加速度？ 探究題：（股票走勢(shì)）設(shè)代表某日某公司在時(shí)刻的股票價(jià)格，試根據(jù)以下情形判定的一階、二階導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)號(hào)： （1）股票價(jià)格上升得越來(lái)越快；[] （2）股票價(jià)格接近最低點(diǎn)。 [] 思考題：某公司的一次廣告促銷(xiāo)活動(dòng)中，銷(xiāo)量提高了，但銷(xiāo)量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的，這表明該公司的經(jīng)營(yíng)情況如何？為什么？若曲線是凸的呢？[表明銷(xiāo)量增長(zhǎng)速度很快] 小 結(jié)：理解高階導(dǎo)數(shù)的“遞歸定義法”（即，高一階導(dǎo)數(shù)是通過(guò)低一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)而來(lái)）；一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以反映事物是增長(zhǎng)還是減少；二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)則說(shuō)明增長(zhǎng)或減少的快慢。 作 業(yè)：P59（A：2-3；B：1） 課堂練習(xí)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)二） 【A組】 1、求下列導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） 2、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) 3、驗(yàn)證函數(shù) 4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？ 5、設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，求？ 6、設(shè)周期函數(shù)f(x)在R內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又，則曲線y=f(x)在點(diǎn)（5,f(5)）的切線斜率為 2 。 【B組】 1、設(shè)？ [1] 2、若，求？ [6] 3、求的n階導(dǎo)數(shù)？[變形] 第十一講 隱函數(shù)求導(dǎo)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 教學(xué)目的：掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，了解對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。 重 難 點(diǎn)：隱函數(shù)的求導(dǎo)法 教學(xué)程序：隱函數(shù)的概念—>隱函數(shù)的求導(dǎo)方法（舉例說(shuō)明）—>對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 （例子）—>參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)—>例子 授課提要： 一、隱函數(shù)概念 自變量與因變量的函數(shù)關(guān)系由方程所確定的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)。 如：等所確定的y是x的隱函數(shù)。 說(shuō)明：有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，但更多的不能化成顯函數(shù)；同時(shí)應(yīng)明確并非任意一個(gè)方程都能確定一個(gè)隱函數(shù)。 二、隱函數(shù)的求導(dǎo) 隱函數(shù)求導(dǎo)方法：在方程的兩邊各項(xiàng)分別對(duì)x求導(dǎo)，視y為x的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，最后解出y即可。 例1、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 例2、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 例3、求隱函數(shù)在點(diǎn)（0，1）的導(dǎo)數(shù)值？ [1/e] 說(shuō)明：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般是含x和y的表達(dá)式。 例4、求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程？ 三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)于冪指函數(shù)(其中u,v是x的函數(shù)），或由多項(xiàng)式乘除運(yùn)算和乘方、開(kāi)方所得函數(shù)的求導(dǎo)，其方法：應(yīng)先對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。（即先取對(duì)數(shù)，后求導(dǎo)數(shù)） 例5、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 例6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)? 例7、求導(dǎo)數(shù)： *四、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的反函數(shù)存在，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得： 說(shuō)明：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一般是含參變量t的表達(dá)式。 例8、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 思考題： 1、如何求的導(dǎo)數(shù)？ [兩次取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)數(shù)] 2、求的導(dǎo)數(shù)？ [先區(qū)對(duì)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)] 3、一球形細(xì)胞以/天增長(zhǎng)體積，當(dāng)3的半徑為時(shí)，其半徑增長(zhǎng)速度是多少？ [] 小 結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵：（1）明確方程中是的函數(shù)，即；（2）方程中各項(xiàng)最終是關(guān)于求導(dǎo)；（3）解出（一般是含的表達(dá)式）。 參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：其公式是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則推導(dǎo)得來(lái)。 作 業(yè)：P62（A：2-3；B：1-2） 課堂練習(xí)（隱函數(shù)求導(dǎo)） 【A組】 1、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) 2、求由方程所確定的函數(shù)y在點(diǎn)（0，1）處的導(dǎo)數(shù)？ 3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？[] 4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：，求(1)物體任意時(shí)刻的速度和加速度？(2)何時(shí)速度為0？(3)何時(shí)加速度為0？ *5、求下列導(dǎo)數(shù) （1） （2） 【B組】 1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程所確定，求？ 2、求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？ 3、確定a,b,c的值，使拋物線與曲線在x=0處 相交，并具有相同的一、二階導(dǎo)數(shù)。 4、設(shè) 5、設(shè) 。 *6、證明：曲線上任一點(diǎn)的切線所截二坐標(biāo)軸的截距之和等于1。 *7、已知，求。 歸納總結(jié)： 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及附近有定義，求函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)步驟： （1）求函數(shù)增量：； （2）求比值：； （3）求極限：或。 2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常用） 3、四則運(yùn)算法則（可導(dǎo)） ； ； 4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)復(fù)合成函數(shù)，則 或 5、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 6、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)是由參數(shù)方程確定，則 第十二講 習(xí)題課（函數(shù)求導(dǎo)的方法） 教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，系統(tǒng)掌握函數(shù)的求導(dǎo)方法。 一、函數(shù)求導(dǎo)的基本方法： 1、由定義求導(dǎo)（三步驟）； 2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與法則； 3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（連鎖法則）； 4、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、*參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 5、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。 二、基本題型： 1、求下列導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） 2、求下列導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3） 3、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) 4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？ 5、設(shè)，求？ 6、設(shè)？ 7、設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，求曲線在點(diǎn)處 的切線方程？ 8、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3) 9、求由方程所確定的函數(shù)y在點(diǎn)（0，1）處的導(dǎo)數(shù)？ 10、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 11、已知，求？ 三、微積分的發(fā)展史（1615—1883年） 我絕對(duì)相信歷史事實(shí)是一種出色的教育指南—— M.Kline 1615年，德國(guó)的開(kāi)卜勒發(fā)表《酒桶的立體幾何學(xué)》，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積。 1635年，意大利的卡瓦列利發(fā)表《不可分連續(xù)量的幾何學(xué)》，書(shū)中避免無(wú)窮小量，用不可分量制定了一種簡(jiǎn)單形式的微積分。 1637年，法國(guó)的笛卡爾出版《幾何學(xué)》，提出了解析幾何，把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，成為“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”。 1638年，法國(guó)的費(fèi)馬開(kāi)始用微分法求極大、極小問(wèn)題。 1638年，意大利的伽利略發(fā)表《關(guān)于兩種新科學(xué)的數(shù)學(xué)證明的論說(shuō)》，研究距離、速度、加速度之間的關(guān)系，提出了無(wú)窮集合的概念，這本書(shū)被認(rèn)為是伽利略重要的科學(xué)成就。 1665-1676年，牛頓（1665-1666年）先于萊布尼茨（1673-1676年）制定了微積分，萊布尼茨（1684-1686年）早于牛頓（1704-1736年）發(fā)表了有關(guān)微積分的著作。 1684年，德國(guó)的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于微分法的著作《關(guān)于極大極小以及切線的新方法》。 1686年，德國(guó)的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于積分法的著作。 1691年，瑞士的約.貝努利出版《微分學(xué)初步》，這促進(jìn)了微積分在物理學(xué)和力學(xué)上的應(yīng)用及研究。 1696年，法國(guó)的洛比達(dá)發(fā)明求不定式極限的“洛比達(dá)法則”。 1697年，瑞士的約.貝努利解決了一些變分問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測(cè)地線。 1704年，英國(guó)的牛頓發(fā)表《三次曲線枚舉》、《利用無(wú)窮級(jí)數(shù)求曲線的面積和長(zhǎng)度》、《流數(shù)法》。 1711年，英國(guó)的牛頓發(fā)表《使用級(jí)數(shù)、流數(shù)等的分析》。 1715年，英國(guó)的布.泰勒發(fā)表《增量方法及其他》。 1731年，法國(guó)的克雷洛出版《關(guān)于雙重曲率的曲線的研究》，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。 第十三講 函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)目的：掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 重 難 點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性判別法 教學(xué)程序：簡(jiǎn)介微分中值定理—>復(fù)習(xí)單調(diào)性的定義—>單調(diào)性的判定（導(dǎo)數(shù)） —>求單調(diào)區(qū)間（例子）——>歸納總結(jié)解題步驟 授課提要： 一、拉格郎日中值定理 x x y a b P O A B 若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。（作圖說(shuō)明） 說(shuō)明：(1)此定理是微積分學(xué)的重要定理，它準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的平均變化率和函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，它是用函數(shù)的局部性來(lái)研究函數(shù)的整體性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。 例1、驗(yàn)證：函數(shù)是否滿足拉格郎日的條件，若滿足，求出？ [任取閉區(qū)間] 例2、證明： [用Lagrange定理] 二、羅比達(dá)法則（敘述） 1、使用條件：（1）屬于的不定式；（2）導(dǎo)數(shù)的極限存在； 2、使用方法：先求導(dǎo)數(shù)，后求極限；滿足條件時(shí)可連續(xù)使用。 例2、求下列極限 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 三、函數(shù)的單調(diào)性及判定（一階導(dǎo)數(shù)） 1、復(fù)習(xí)單調(diào)性的概念：（略） 2、作圖說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)：（作圖演示） 3、單調(diào)性判定定理： 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) (1)若,則f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)增加； (2)若,則f(x) 在（a,b）內(nèi)單調(diào)減少； (3)若,則在（a,b）內(nèi)，f(x)=C。 例3、判定的單調(diào)性？ 例4、判定函數(shù)的單調(diào)性？ 四、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 1、駐點(diǎn)的概念（一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)） 2、求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)將定義域 區(qū)間分成若干部分區(qū)間； (3)列表討論函數(shù)在各部分區(qū)間上的單調(diào)性。 例5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 例6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 例7、證明：當(dāng)（作輔助函數(shù)） 思考題： 1、用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意什么？[注意使用條件] 2、試用Lagrange中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理。 小 結(jié)：微分中值定理是連接函數(shù)“局部性質(zhì)與整體性質(zhì)”的橋梁。體現(xiàn)了局部與整體本質(zhì)上的內(nèi)部聯(lián)系。 作 業(yè)：P72（A：1） 課堂練習(xí)（函數(shù)的單調(diào)性） 【A組】 1、證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增？ 2、求函數(shù)的駐點(diǎn)？ 3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 4、證明不等式： 5、判定正誤： (1)若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則-f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞減。（ T ） (2)若，則x0必為駐點(diǎn)。 （ T ） (3)若x0為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，則曲線f(x)在點(diǎn)（x0，f(x0)）處的切線方程為 （ T ） 【B組】 1、證明函數(shù)在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增。 2、設(shè)函數(shù)間的關(guān)系？ 3、證明：函數(shù)在內(nèi)有唯一實(shí)根。 4、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 單調(diào)增加。 5、設(shè)函數(shù)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且， 求極限：？ [-1] *6、求證：方程 提示：作新函數(shù)，用根存在定理和單調(diào)性證明。 數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)： 微分中值定理的幾何直觀 1、比較羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義 當(dāng)函數(shù)以參數(shù)方程給定，曲線上點(diǎn)的切線斜率為，端點(diǎn)連線的斜率為，于是由Lagrange定理得Cauchy定理。 y T B P A x g(a) g(b) O x 2、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的幾何直觀 第十四講 函數(shù)的極值 教學(xué)目的：理解極值的定義，掌握函數(shù)極值的求法。 重 難 點(diǎn)：極值概念及求法 教學(xué)程序：極值的概念—>極值存在的必要條件—>極值存在的充分條件（第一、 第二充分條件）—>求函數(shù)的極值（例子）——>歸納總結(jié)解題步驟 授課提要： 一、函數(shù)的極值 1、定 義：（略）（作圖直觀理解） 說(shuō)明：(1)極值是一個(gè)局部概念； (2)極值點(diǎn)是函數(shù)增減或減增的分界點(diǎn)。 2、極值存在的必要條件 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極值，則不存在。 說(shuō)明：(1)若, 不一定是極值點(diǎn)。如：在x=0處。 (2)若不存在，也可能是極值點(diǎn)。如：在x=0處。 二、極值存在的第一充分條件（一階導(dǎo)數(shù)法：略） 例1、求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值？ 例2、求的單調(diào)區(qū)間和極值？ 三、極值存在的第二充分條件（二階導(dǎo)數(shù)法） 設(shè)f(x)在點(diǎn)有一、二階導(dǎo)數(shù)，且，則 (1)若,則f(x0)為極小值； (2)若,則f(x0)為極大值。 例3、求函數(shù)的極值？ 例4、求函數(shù)的極值？ 四、求函數(shù)極值的一般步驟 (1)確定函數(shù)定義域； (2)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； (3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點(diǎn)； (4)把極值點(diǎn)代入原函數(shù)f(x)，求出極值并指明是極大還是極小。 說(shuō)