空間幾何體的表面積與體積練習題.及答案
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空間幾何體的表面積與體積專題 一、選擇題 1.棱長為2的正四面體的表面積是( C ). A. B.4 C.4 D.16 解析 每個面的面積為:22=.∴正四面體的表面積為:4. 2.把球的表面積擴大到原來的2倍,那么體積擴大到原來的 ( B ). A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍 解析 由題意知球的半徑擴大到原來的倍,則體積V=πR3,知體積擴大到原來的2倍. 3.如圖是一個長方體截去一個角后所得多面體的三視圖,則該多面體的體積為( B ). A. B. C. D. 解析 根據(jù)三視圖的知識及特點,可畫出多面體 的形狀,如圖所示.這個多面體是由長方體截去 一個正三棱錐而得到的,所以所求多面體的體積 V=V長方體-V正三棱錐=446-2=. 4.某幾何體的三視圖如下,則它的體積是( A) A.8- B.8- C.8-2π D. 解析 由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內部挖去一個底面半徑為1,高為2的圓錐,所以V=23-π2=8-. 5.已知某幾何體的三視圖如圖,其中正視圖中半圓的半徑為1,則該幾何體的體積為( A)A.24-π B.24- C.24-π D.24- 據(jù)三視圖可得幾何體為一長方體內挖去一個半圓柱,其中長方體的棱長分別為:2,3,4,半圓柱的底面半徑為1,母線長為3,故其體積V=234-π123=24-. 6.某品牌香水瓶的三視圖如圖 (單位:cm),則該幾何體的表面積為( C ) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 解析 這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱.上面四棱柱的表面積為233+121-=30-;中間部分的表面積為2π1=π,下面部分的表面積為244+162-=64-.故其表面積是94+. 7.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=,∠ASC=∠BSC=30,則棱錐S-ABC的體積為( C). A.3 B.2 C. D.1 解析 由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上,作過AB的小圓交直徑SC于D,設SD=x,則DC=4-x,此時所求棱錐即分割成兩個棱錐S-ABD和C-ABD,在△SAD和△SBD中,由已知條件可得AD=BD=x,又因為SC為直徑,所以∠SBC=∠SAC=90,所以∠DCB=∠DCA=60,在△BDC中 ,BD=(4-x),所以x=(4-x),所以x=3,AD=BD=,所以三角形ABD為正三角形,所以V=S△ABD4=. 二、填空題 8.三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是邊長為2的正三角形,則三棱錐PABC的體積等于________.解析 依題意有,三棱錐PABC的體積V=S△ABC|PA|=223=. 9.一個圓柱的軸截面是正方形,其側面積與一個球的表面積相等,那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為_ 3∶2_______. 解析 設圓柱的底面半徑是r,則該圓柱的母線長是2r,圓柱的側面積是2πr2r=4πr2,設球的半徑是R,則球的表面積是4πR2,根據(jù)已知4πR2=4πr2,所以R=r.所以圓柱的體積是πr22r=2πr3,球的體積是πr3,所以圓柱的體積和球的體積的比是=3∶2. 10.如圖所示,已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成,則該多面體的體積是________. 解析 由題知該多面體為正四棱錐,底面邊長為1,側棱長為1,斜高為,連接頂點和底面中心即為高,可求得高為,所以體積V=11=. 11.如圖,半徑為R的球O中有一內接圓柱.當圓柱的側面積最大時,球的表面積與該圓柱的側面積之差是____2πR2____. 解析 由球的半徑為R,可知球的表面積為4πR2.設內接圓柱底面半徑為r,高為2h,則h2+r2=R2.而圓柱的側面積為2πr2h=4πrh≤4π=2πR2(當且僅當r=h時等號成立),即內接圓柱的側面積最大值為2πR2,此時球的表面積與內接圓柱的側面積之差為2πR2. 12.如圖,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2 cm,高為5 cm,則一質點自點A出發(fā),沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為___13_____cm. 解析 根據(jù)題意,利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱,然后將其展開為如圖所示的實線部分,則可知所求最短路線的長為=13 (cm). 三、解答題 13.某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示,墩的上半部分是正四棱錐PEFGH,下半部分是長方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖. (1)請畫出該安全標識墩的側視圖; (2)求該安全標識墩的體積. 解析 (1)側視圖同正視圖,如圖所示:(2)該安全標識墩的體積為 V=VPEFGH+VABCDEFGH=40260+40220=64 000(cm3). 14 .一個幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側視圖是一個長為,寬為1的矩形,俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S. 解析 (1)由三視圖可知,該幾何體是一個平行六面體(如圖),其底面是邊長為1的正方形,高為,所以V=11=. (2)由三視圖可知,該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1, 所以AA1=2,側面ABB1A1,CDD1C1均為矩形, S=2(11+1+12)=6+2. 15.已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形,正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的側面積S. 解析 由題設可知,幾何體是一個高為4的四棱錐,其底面是長、寬分別為8和6的矩形,正側面及其相對側面均為底邊長為8,高為h1的等腰三角形,左、 右側面均為底邊長為6,高為h2的等腰三角形,如右圖所示. (1)幾何體的體積為:V=S矩形h=684=64. (2)正側面及相對側面底邊上的高為:h1==5.左、右側面的底邊上的高為:h2==4.故幾何體的側面面積為:S=2=40+24. 1.一個圓柱的側面展開圖是一個正方形,這個圓柱的全面積與側面積的比是( ). . 解:設展開圖的正方形邊長為a,圓柱的底面半徑為r,則2πr=a,,底面圓的面積是,于是全面積與側面積的比是, 2.在棱長為 1 的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去與8個頂點相關的8個三棱錐后 ,剩下的幾何體的體積是( ). 2.解:正方體的體積為1,過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體截得的三棱錐的體積是,于是8個三棱錐的體積是,剩余部分的體積是, 3.一個直棱柱(側棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,對角線長分別是6cm和8cm,高是5cm,則這個直棱柱的全面積是 。 3.答案:148 cm2 解:底面菱形中,對角線長分別是6cm 和8cm,所以底面邊長是5cm, 側面面積是455=100cm2,兩個底面面積是48cm2, 所以棱柱的全面積是148cm2. 4.已知兩個母線長相等的圓錐的側面展開圖恰能拼成一個圓,且它們的側面積之比為1:2,則它們的高之比為 。 4.答案:2: 解:設圓柱的母線長為l,因為兩個圓錐的側面展開圖恰能拼成一個圓,且它們的側面積之比為1:2,所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是和, 由圓錐側面展開圖扇形的圓心角的計算公式,得,, 所以它們的高的比是. 5.已知三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直,且長度分別為1cm,2cm,3cm,則此棱錐的體積_________ 5.答案:1cm3 解:轉換一個角度來認識這個三棱錐,即把它的兩條側棱(如長度為1cm,2cm的兩條)確定的側面看作底面,另一條側棱作為高,則此三棱錐的底面面積是1,高為3, 則它的體積是13=1cm3. 6.矩形兩鄰邊的長為a、b,當它分別繞邊a、b 旋轉一周時, 所形成的幾何體的體積之比為 6.答案: 解:矩形繞a邊旋轉,所得幾何體的體積是V1=πb2a,矩形繞b邊旋轉,所得幾何體的體積是V2=πa2b,所以兩個幾何體的體積的比是 16.四面體的六條棱中,有五條棱長都等于a. (1)求該四面體的體積的最大值;(2)當四面體的體積最大時,求其表面積. 解析 (1)如圖,在四面體ABCD中,設AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中點為P, BC的中點為E,連接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC,∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC =S△BPCAP+S△BPCPD=S△BPCAD=a x= ≤=a3(當且僅當x=a時取等號).∴該四面體的體積的最大值為a3. (2)由(1)知,△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰長為a,底邊長為a,∴S表=2a2+2a =a2+a=a2+=a2. 5- 配套講稿:
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- 關 鍵 詞:
- 空間 幾何體 表面積 體積 練習題
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