全國(guó)二卷數(shù)學(xué)理2017

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絕密啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試課標(biāo)II理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（ ）A B C D2.設(shè)集合，。若，則（ ）A B C D3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A1盞 B3盞 C5盞 D9盞4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）A B C D5.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）A12種 B18種 C24種 D36種7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)。老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)。看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息，則（ ）A乙可以知道四人的成績(jī) B丁可以知道四人的成績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D乙、丁可以知道自己的成績(jī)8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）A2 B3 C4 D59.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ）A2 B C D10.已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（ ）A. B. C. D.112.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（ ）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 。14.函數(shù)（）的最大值是 。15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 。16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則 。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第1721題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求。18.（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：（1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2） 填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）附： 19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。（1）證明：直線 平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。20. （12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 21.（12分）已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計(jì)分。22。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。（1）M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線上，求面積的最大值。23.選修4-5：不等式選講（10分）已知。證明：（1）；（2）。答案與解析1D【解析】，故選D。2C【解析】由得，所以，故選C。3B【解析】塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由可得，故選B。4B【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B.5A【解析】繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn) 處取得最小值 ，故選A.6D【解析】 ,故選D。7D【解析】由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選D。8B【解析】 ,故選B.9A【解析】圓心到漸近線 距離為 ，所以，故選A.10C【解析】補(bǔ)成四棱柱 ,則所求角為 因此 ，故選C.11A【解析】由題可得因?yàn)椋?，故令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減所以極小值，故選A。12B【解析】以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)，則，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B。131.96【解析】，所以.141【解析】 ，那么，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1.15【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 .166【解析】設(shè)，那么 ，點(diǎn)在拋物線上，所以 ，所以，那么.17（1）（2）【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出試題解析：（1）由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理及得所以b=2【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎18（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）記事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于”為事件記事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”為事件則（2）舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。（3）第50個(gè)網(wǎng)箱落入“”這組；取平均值即為中位數(shù)的估計(jì)值。19（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接、分別為、中點(diǎn)，又，四邊形為平行四邊形平面（2）取中點(diǎn)，連，由于為正三角形又平面平面，平面平面平面，連，四邊形為正方形。平面，平面平面而平面平面過(guò)作，垂足為，平面為與平面所成角，在中，設(shè)，在中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，而平面的法向量為設(shè)二面角的大角為（為銳角）。20點(diǎn)的軌跡方程。詳見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)，即代入橢圓方程，得到點(diǎn)的軌跡方程。（2）設(shè)，橢圓的左焦點(diǎn)為，即 ：過(guò)與直線垂直的直線為：當(dāng)時(shí)，代入得過(guò)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn)。21 a=1 詳見(jiàn)解析【解析】（1）的定義域?yàn)樵O(shè)，則等價(jià)于因?yàn)槿鬭=1，則.當(dāng)0x1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x1時(shí)，0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故綜上，a=1（2）由（1）知設(shè)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋詘=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由由得因?yàn)閤=x0是f(x)在（0,1）的最大值點(diǎn)，由得所以22的直角坐標(biāo)方程為OAB面積的最大值為【解析】（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為，M的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知由得的極坐標(biāo)方程因此的直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知,于是OAB面積當(dāng)時(shí)，S取得最大值所以O(shè)AB面積的最大值為23詳見(jiàn)解析詳見(jiàn)解析【解析】（1）（2）因?yàn)樗裕虼薬+b2.第13頁(yè)