—一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定

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實(shí)驗(yàn)2 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量 [預(yù)習(xí)思考題] 1． 實(shí)驗(yàn)中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀是由哪幾部分組成的？ 2． 實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)什么方法改變轉(zhuǎn)動(dòng)力矩？ 3． 實(shí)驗(yàn)中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程的角加速度如何測(cè)得？ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的物理量，對(duì)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，它為一恒量，以J表示，即 　 式中，mi為剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri為各個(gè)質(zhì)點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離。由此可見(jiàn)，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對(duì)于幾何形狀規(guī)則、對(duì)稱和質(zhì)量分布均勻的剛體，可以通過(guò)積分直接計(jì)算出它繞某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于形狀復(fù)雜或非勻質(zhì)的任意物體，則一般要通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)定，例如，機(jī)械零件、電機(jī)的轉(zhuǎn)子、炮彈等。 測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有多種實(shí)驗(yàn)方法，主要分為扭擺法和恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法兩類。本實(shí)驗(yàn)介紹用塔輪式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x測(cè)定的方法，是使塔輪以一定形式旋轉(zhuǎn)，通過(guò)表征這種運(yùn)動(dòng)特征的物理量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)換測(cè)量。該方法屬于恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是研究、設(shè)計(jì)、控制轉(zhuǎn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要參數(shù)，實(shí)驗(yàn)測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有十分重要的意義，是高校理工科物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)大綱中的一個(gè)重要基本實(shí)驗(yàn)。 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1． 學(xué)習(xí)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2． 研究作用于剛體上的外力矩與角加速度的關(guān)系。 3． 驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)定律及平行軸定理。 二、實(shí)驗(yàn)儀器 IM－2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀及其附件（霍爾開(kāi)關(guān)傳感器、砝碼等）和MS－1型多功能數(shù)字毫秒儀。 三、儀器介紹 1．滑輪 　2．滑輪高度和方向調(diào)節(jié)組件 　3．掛線 　 4．塔輪組 　5．鋁質(zhì)圓盤承物臺(tái) 　6．樣品固定螺母 　7．砝碼　 8．磁鋼 　9．霍爾開(kāi)關(guān)傳感器 　10．傳感器固定架　11．實(shí)驗(yàn)樣品水平調(diào)節(jié)旋鈕（共3個(gè)） 　 12．毫秒儀次數(shù)預(yù)置撥碼開(kāi)關(guān)，可預(yù)設(shè)1－64次 　13．次數(shù)顯示屏 　14．時(shí)間顯示屏　　l5．次數(shù)+1查閱鍵　　16．毫秒儀復(fù)位鍵 　17．+5V電源接線柱 　18．電源GND（地）接線柱 　 19．INPUT輸入接線柱 　 20．輸入低電平指示 21．次數(shù)-1查閱鍵 圖4-3-1 IM-2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀和MS－1型多功能數(shù)字毫秒儀結(jié)構(gòu)示意圖 IM-2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀主要由繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁質(zhì)圓盤承物臺(tái)、繞線塔輪、霍爾開(kāi)關(guān)傳感器、磁鋼、滑輪組件、砝碼等組成。 樣品放置在鋁質(zhì)圓盤承物臺(tái)上，承物臺(tái)上有許多圓孔，可用于改變樣品的轉(zhuǎn)軸位置。繞線塔輪是倒置的塔式輪，分為四層，自上往下半徑分別為3cm、2.5cm、2cm、1.5cm。磁鋼隨轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)，每半圈經(jīng)過(guò)霍爾開(kāi)關(guān)傳感器一次，傳感器輸出低電平，通過(guò)連線送到多功能數(shù)字毫秒儀。傳感器紅線接毫秒儀+5V電源接線柱，黑線接電源GND（地）接線柱，黃線接INPUT輸入接線柱。 MS－1型多功能數(shù)字毫秒儀通過(guò)預(yù)置撥碼開(kāi)關(guān)預(yù)置實(shí)驗(yàn)所需感應(yīng)次數(shù)。每輪實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前通過(guò)復(fù)位鍵清0，直到輸入低電平信號(hào)觸發(fā)計(jì)時(shí)開(kāi)始，次數(shù)顯示屏從0次開(kāi)始計(jì)時(shí)，直至達(dá)到預(yù)置次數(shù)停止。計(jì)時(shí)停止后，方能查閱各次感應(yīng)時(shí)間。 四、實(shí)驗(yàn)原理 1. 任意樣品的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x空載（不加任何樣品）時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，稱為系統(tǒng)的本底轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x負(fù)載（加上樣品）時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性，則樣品的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx為 2. 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定 1）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這個(gè)關(guān)系稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，測(cè)得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的合外力矩及該力矩作用下的角加速度，則可計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這是恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基本原理和設(shè)計(jì)思路。 2）應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 塔輪的轉(zhuǎn)動(dòng)是由掛線加上砝碼通過(guò)滑輪帶動(dòng)的。改變砝碼的質(zhì)量或改變塔輪的半徑，可以獲得不同的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩以滿足實(shí)驗(yàn)需要。 給系統(tǒng)加一個(gè)外力矩，即加適當(dāng)?shù)捻来a，在重力的作用下，砝碼會(huì)通過(guò)掛線帶動(dòng)塔輪作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。該系統(tǒng)的受力分析如圖所示。此時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩有兩個(gè)，一個(gè)為繩子張力T產(chǎn)生的力矩（r為塔輪上繞線輪的半徑），一個(gè)為摩擦力矩。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 （4-3-1） 式中為加速過(guò)程系統(tǒng)的角加速度，此時(shí)為正值，為轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為摩擦力矩，數(shù)值為負(fù)。 由牛頓第二定律可知，設(shè)砝碼下落時(shí)的加速度為，則運(yùn)動(dòng)方程為。因?yàn)?，則繩子張力T為 （4-3-2） 當(dāng)連接砝碼的掛線脫離塔輪后，系統(tǒng)所受張力，故外力矩，此時(shí)系統(tǒng)只受摩擦力矩的作用，作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 （4-3-3） 式中為減速過(guò)程系統(tǒng)的角加速度，此時(shí)為負(fù)值。 由式（4-3-1）、式（4-3-2）、式（4-3-3）解得 （4-3-4） 利用以上方法，分別可測(cè)得空載及負(fù)載時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和。式中，m、g、r都是已知或是可以直接測(cè)量的物理量，關(guān)鍵在于如何測(cè)定角加速度和。 3）和的測(cè)量 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)體系統(tǒng)在時(shí)刻初角速度為，角位移為0，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間后，其角位移，轉(zhuǎn)動(dòng)中角加速度為，則 （4-3-5） 若測(cè)得角位移，，與相應(yīng)的時(shí)間，，得 所以 　 （4-3-6） 實(shí)驗(yàn)時(shí)，角位移，可取為2、4…等，實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)角位移，計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀的計(jì)數(shù)窗內(nèi)計(jì)數(shù)次數(shù)+1。計(jì)數(shù)為0作為角位移開(kāi)始時(shí)刻，實(shí)時(shí)記錄轉(zhuǎn)過(guò)角位移的時(shí)刻，計(jì)算角位移時(shí)間時(shí)應(yīng)減去角位移開(kāi)始時(shí)刻，應(yīng)用上述公式（4-2-6），得到角加速度。 在求角加速度時(shí)，注意砝碼掛線與繞線塔輪脫離的時(shí)刻，以下一時(shí)刻作為角位移起始時(shí)刻，計(jì)算角位移時(shí)間時(shí)，減去該角位移開(kāi)始時(shí)刻，在該時(shí)間段系統(tǒng)角加速度為負(fù)。 4）驗(yàn)證平行軸定理 將已知質(zhì)量為M、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 的物體依次插入承物臺(tái)上與軸心相距的小孔，測(cè)出，作曲線，若為直線便驗(yàn)證了平行軸定理 　　 　　　　　　　 （4-3-7） 五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1. 測(cè)量前的準(zhǔn)備工作，具體操作如下： 1）合理放置儀器，滑輪置于實(shí)驗(yàn)臺(tái)外3-4cm，調(diào)節(jié)儀器水平； 2）連接傳感器與計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀； 3）將砝碼連線的一端打結(jié)，沿塔輪上開(kāi)的細(xì)縫塞入（任選一層掛線，結(jié)頭在下），另一端繞過(guò)定滑輪垂下砝碼，調(diào)節(jié)滑輪的方向和高度，使掛線與繞線塔輪相切，掛線與繞線輪的中間呈水平； 4）轉(zhuǎn)動(dòng)鋁盤繞線（務(wù)必使得繞線整齊，減少摩擦），將砝碼提升到一定高度，調(diào)整霍爾傳感器探頭與一磁鋼相對(duì)，間距為0.3-0.5cm，可見(jiàn)毫秒儀低電平指示燈亮； 5）復(fù)位毫秒儀，轉(zhuǎn)動(dòng)鋁盤緩慢放線，直到掛線與塔輪恰好脫離時(shí)即刻停止，此時(shí)次數(shù)顯示屏上所顯次數(shù)即為加速過(guò)程與減速過(guò)程的分界處，根據(jù)分界處設(shè)定加速過(guò)程的三個(gè)時(shí)間點(diǎn)（保證小于分界時(shí)刻），減速過(guò)程的三個(gè)時(shí)間點(diǎn)（保證大于分界時(shí)刻），根據(jù)選取的時(shí)間點(diǎn)設(shè)定預(yù)置次數(shù)（大于等于最大時(shí)間點(diǎn)），并填入表格表頭部分。 2. 測(cè)量空載時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1。 在空載的情況下，重復(fù)掛線→繞線→復(fù)位毫秒儀→釋放砝碼→查閱相應(yīng)時(shí)間點(diǎn)→記錄數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，要求測(cè)量10組左右的數(shù)據(jù)，從中選取較為穩(wěn)定的五組填入表格1。 3. 測(cè)量加載鋼環(huán)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2。 將金屬鋼環(huán)置于承物臺(tái)上，使其轉(zhuǎn)動(dòng)軸位于圓心位置，重復(fù)掛線→繞線→復(fù)位毫秒儀→釋放砝碼→查閱相應(yīng)時(shí)間點(diǎn)→記錄數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，要求測(cè)量10組左右的數(shù)據(jù)，從中選取較為穩(wěn)定的五組填入表格2。 4. （選做部分）以金屬盤偏心孔d = 3.0，4.0，5.0cm為轉(zhuǎn)軸，重復(fù)以上步驟，求出相應(yīng)的，作曲線，驗(yàn)證平行軸定理，。 六、注意事項(xiàng) 1. 實(shí)驗(yàn)中，砝碼置于相同的高度后釋放，以利數(shù)據(jù)一致。實(shí)驗(yàn)中，做好保護(hù)措施，防止砝碼直接砸落地板引起磨損。 2. 掛線長(zhǎng)度以掛線脫離繞線塔輪后，砝碼離地3厘米左右為宜。 3. 實(shí)驗(yàn)中，砝碼置于相同的高度后釋放，以利數(shù)據(jù)一致。霍爾傳感器放置于合適的位置固定不動(dòng)，每次繞線到相同高度，保證指示燈亮，按下RESET鍵，以0初速度釋放砝碼。從指示燈亮到剛滅，系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)約角位移后，毫秒儀開(kāi)始計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)。 4. 實(shí)驗(yàn)中，在砝碼掛線脫離繞線塔輪前轉(zhuǎn)動(dòng)體系作正加速度，在砝碼掛線脫離塔輪后轉(zhuǎn)動(dòng)體系作負(fù)加速度，須分清正加速度到負(fù)加速度的計(jì)時(shí)分界時(shí)刻。 七、數(shù)據(jù)處理 根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求，將有關(guān)數(shù)據(jù)填入對(duì)應(yīng)表格中，按所學(xué)的理論對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。 選擇________m進(jìn)行繞線，分界處為　　??；選擇時(shí)間點(diǎn)：加速過(guò)程選 　、　、　 ，減速過(guò)程選 　、　、??；預(yù)置次數(shù)定為　　　。 ＿＿＿＿＿＿，　＿＿＿＿＿＿，?。撸撸撸撸撸撸? ∵理論值0.3379　　∴相對(duì)誤差E＝＿＿＿＿＿＿＿% [課后思考題] 1． 掛線的長(zhǎng)度太短會(huì)如何，太長(zhǎng)又會(huì)如何，應(yīng)怎樣調(diào)整？ 2． 用該剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x來(lái)測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其主要誤差有哪些？應(yīng)如何消除或減?。?