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隨機(jī)事件及其概率
1.1 隨機(jī)事件
習(xí)題1試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)．
習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn).
1.2 隨機(jī)事件的概率
1.3 古典概型與幾何概型
1.4 條件概率
1.5 事件的獨(dú)立性
復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答
習(xí)題3. 證明下列等式：
習(xí)題5.
習(xí)題6.
習(xí)題7
習(xí)題8
習(xí)題9
習(xí)題10
習(xí)題11
習(xí)題12
習(xí)題13
習(xí)題14
習(xí)題15
習(xí)題16
習(xí)題17
習(xí)題18
習(xí)題19
習(xí)題20
習(xí)題21
習(xí)題22
習(xí)題23
習(xí)題24
習(xí)題25
習(xí)題26
第二章 隨機(jī)變量及其分布
2.1 隨機(jī)變量
習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？
解答：①隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).
②隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.
③隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.
習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類.
解答：①若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型隨機(jī)變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.
習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,?,9,從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.
解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},定義隨機(jī)變量X如下：
X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
則X取每個(gè)值的概率為
P{X=0}=P{取出球的號(hào)碼小于5}=5/10,
P{X=1}=P{取出球的號(hào)碼等于5}=1/10,
P{X=2}=P{取出球的號(hào)碼大于5}=4/10.
2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布
習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.
解答：由P{X=1}=P{X=2},得
λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.
習(xí)題2
設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,
試求(1)P{12
3}.
解答：(1)P{123}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.
習(xí)題3
已知隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為12c,34c,58c,716c,試確定常數(shù)c,并計(jì)算P{X<1∣X≠0}.
解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得
c=3716=2.3125.
由條件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}
=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.
習(xí)題4
一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.
解答：隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5.
P{X=3}=C22?1C53=110,P{X=4}=C32?1C53=310,P{X=5}=C42?1C53=35,
所以X的分布律為
X
3
4
5
pk
1/10
3/10
3/5
習(xí)題5某加油站替出租車公司代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營(yíng)業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：
X
10
20
30
40
pi
0.15
0.25
0.45
0.15
求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.
解答：因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：
P{3X>60},即P{X>20},
P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.
就是說(shuō)，加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.
習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：
(1)X的概率分布； (2)P{X≥5};
(3)在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?
解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,?;
(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k0.1=(0.9)5;
(3)設(shè)以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于m件，則m應(yīng)滿足
P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于
P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,
故上式化為1-0.9m=0.4,解上式得m≈4.85≈5,
因此，以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于5.
習(xí)題7設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.
解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為X,它可能的值只有兩個(gè)，即0和1.
X=0表示未投中，其概率為p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,
X=1表示投中一次，其概率為 p2=P{X=1}=0.6.
則隨機(jī)變量的分布律為
X
0
1
P
0.4
0.6
習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.
解答：
設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.對(duì)應(yīng)概率分布為
P{X=0}=C73C103=35120,P{X=1}=C73C31C103=36120,
P{X=2}=C71C32C103=21120,P{X=3}=C33C103=1120.
X的分布律為
X
0123
P
3512036120211201120
習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.
解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.
設(shè)第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),則隨機(jī)變量X的分布律為
P{X=k}=310310?310710=(310)k-1710,k=1,2,?.
習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X～b(2,p),Y～b(3,p),若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.
解答：因?yàn)閄～b(2,p),
P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.
因?yàn)閅～b(3,p),所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.
習(xí)題11紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻，每一紡錠在某一段時(shí)間τ內(nèi)斷頭的概率為0.005,在τ這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.
解答：以X記紡錠斷頭數(shù),n=800,p=0.005,np=4,
應(yīng)用泊松定理，所求概率為：
P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)
≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.
習(xí)題12設(shè)書籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率.
解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},即
λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2,
∴P{X=0}=e-2,
∴p=(e-2)4=e-8.
2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)
習(xí)題1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則X是___________型的隨機(jī)變量.
解答：離散.
由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.
習(xí)題2設(shè)F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1問(wèn)F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).
解答：首先，因?yàn)?≤F(x)≤1,?x∈(-∞,+∞).
其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即
F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,
且F(-∞)=0,F(+∞)=1,
所以F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).
習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,
試寫出X的分布函數(shù)F(x)，并畫出圖形.
解答：由題意知X的分布律為：
X
135
Pk
0.30.50.2
所以其分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.
F(x)的圖形見(jiàn)圖.
習(xí)題4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,
試求：(1)X的概率分布；(2)P{X<2∣X≠1}.
解答：(1)
X
-113
pk
0.40.40.2
(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.
習(xí)題5設(shè)X的分布函數(shù)為
F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,
求P{0.40.5},P{1.70.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,
P{1.700,x≤0,試求：(1)A,B的值；(2)P{-100,x≤0.
習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)=Ae-∣x∣,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).
解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即
∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,
而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx
=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A
或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1,即A=1/2.
從而f(x)=12e-∣x∣,-∞150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx
=-100x∣150+∞=100150=23,
從而三個(gè)電子管在使用150小時(shí)以上不需要更換的概率為p=(2/3)3=8/27.
習(xí)題6設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的概率.
解答：設(shè)X為每位乘客的候車時(shí)間，則X服從[0,5]上的均勻分布. 設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的人數(shù). 由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的.這是10重伯努力概型.Y服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)
n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,
所以 P{Y=1}=C1010.20.89≈0.268.
習(xí)題7
設(shè)X～N(3,22).(1)確定C,使得P{X>c}=P{X≤c};(2)設(shè)d滿足P{X>d}≥0.9,問(wèn)d至多為多少?
解答：因?yàn)閄～N(3,22),所以X-32=Z～N(0,1).
(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,
亦即Φ(c-32)=12,所以 c-32=0,故c=3.
(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即 P{X≤d}≤0.1.
于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.
習(xí)題8
設(shè)測(cè)量誤差X～N(0,102),先進(jìn)行100次獨(dú)立測(cè)量，求誤差的絕對(duì)值超過(guò)19.6的次數(shù)不小于3的概率.
解答：先求任意誤差的絕對(duì)值超過(guò)19.6的概率p,
p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}
=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]
=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[20.975-1]=1-0.95=0.05.
設(shè)Y為100次測(cè)量中誤差絕對(duì)值超過(guò)19.6的次數(shù)，則Y～b(100,0.05).
因?yàn)閚很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以
P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.
習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)？
解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則X～N(4000,3600).
設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)，依題意得P{X≥x}=0.1,即
1-P{Xx}≤0.005.
解答：已知血壓X～N(110,122).
(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,
P{100x}≤0.05,求x,即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,
查表得x-10012≥1.645,從而x≥129.74.
習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),問(wèn)應(yīng)如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.
解答：X～N(170,36),則X-1706～N(0,1).
設(shè)公共汽車門的高度為xcm，由題意P{X>x}<0.01,而
P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,
即Φ(x-1706)>0.99,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x-1706>2.33,故x>183.98cm.
因此，車門的高度超過(guò)183.98cm時(shí)，男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.
習(xí)題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102);第二條路程較長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(50,42),求：
(1)若動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間只有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線？
(2)若動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，應(yīng)走哪一條路線？
解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達(dá)火車站所用時(shí)間，則X～N(40,102),Y～N(50,42).
哪一條路線在開(kāi)車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線.
(1)因?yàn)镻{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,
所以有60分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路.
(2)因?yàn)镻{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,
P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075
所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路.
2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布
習(xí)題1已知X的概率分布為
X
-2
-1
0
1
2
3
pi
2a
1/10
3a
a
a
2a
試求：(1)a;(2)Y=X2-1的概率分布.
解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,
∴a=1/10.
(2)
Y
-1
0
3
8
pi
3/10
1/5
3/10
1/5
習(xí)題2設(shè)X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,求Y=sinπ2X的分布律.
解答：因?yàn)閟inxnπ2={1,當(dāng)n=4k-10,當(dāng)n=2k-1,當(dāng)n=4k-3,
所以Y=sin(π2X)只有三個(gè)可能值-1,0,1.容易求得P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815
故Y的分布律列表表示為
Y
-101
P
21513815
習(xí)題3
設(shè)隨機(jī)變量X服從[a,b]上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0),試求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù).
解答：fY(y)={fX(y-dc)?1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,
當(dāng)c>0時(shí)，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當(dāng)c<0時(shí)，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.
習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從[0,1]上的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度f(wàn)Y(y).
解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,
f=ex,x∈(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y∈(1,e),其反函數(shù)為x=lny,可得
f(x)={fX(lny)∣ln′y,11時(shí))
=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,
所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12?y-12?122y-1,y>1,于是
fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.
習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),分布函數(shù)為F(x),求下列隨機(jī)變量Y的概率密度：
(1)Y=1X;(2)Y=∣X∣.
解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.
①當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}
=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),
故這時(shí)fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；
②當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),
故這時(shí)fY(y)=1y2f(1y);
③當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),
故這時(shí)取fY(0)=0,綜上所述
fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.
(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.
①當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)
這時(shí)fY(y)=f(y)+f(-y);
②當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,這時(shí)fY(y)=0;
③當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,
故這時(shí)取FY(y)=0,綜上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.
習(xí)題7某物體的溫度T(°F)是一個(gè)隨機(jī)變量, 且有T～N(98.6,2),已知θ=5(T-32)/9,試求θ(°F)的概率密度.
解答：已知T～N(98.6,2).θ=59(T-32),反函數(shù)為T=59θ+32,是單調(diào)函數(shù)，所以
fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e-(95y+32-98.6)24?95
=910πe-81100(y-37)2.
習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X在任一區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,其分布函數(shù)為FY(x),又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX-1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.
解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為
FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,
于是，Z的分布函數(shù)為
FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}
={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1
由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0≤FX(z)≤1.
FX(z)<0和FX(z)>1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),因此，Z與X的分布函數(shù)相同.
總習(xí)題解答
習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個(gè)數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.
解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,P(Ak)=ck,k=1,2,?,20.
因?yàn)镻(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,
P{取到偶數(shù)}=P{A2∪A4∪?∪A20}=1210(2+4+?+20)=1121.
習(xí)題2若每次射擊中靶的概率為0.7,求射擊10炮,
(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中幾炮.
解答：若隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨(dú)立，所以是一個(gè)10重伯努利概型，X服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)為n=10,p=0.7,故
(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;
(2)P{X≥3}=1-P{X<3}
=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]
≈0.998;
(3)因X～b(10,0.7),而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]0.7=[7.7]=7,
故最可能命中7炮.
習(xí)題3在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在1年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交120元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率;(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于100000元, 200000元的概率.
解答：1)以“年”為單位來(lái)考慮，在1年的1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為
2500120元=30000元.
設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則X～b(2500,0.002),則保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出200000X(元)，要使保險(xiǎn)公司虧本，則必須200000X>300000即X>15(人).
因此，P{保險(xiǎn)公司虧本}=P{X>15}
=∑k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k
≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,
由此可見(jiàn),在1年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.
(2)P{保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元}
=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}
=∑k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,
即保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.
P{保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元}
=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}
=∑k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,
即保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.
習(xí)題4一臺(tái)總機(jī)共有300臺(tái)分機(jī)，總機(jī)擁有13條外線，假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%, 試求每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí)，能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù).
解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺(tái)數(shù)為X,300臺(tái)分機(jī)可看成300次伯努利試驗(yàn)，一次試驗(yàn)是否要到外線. 設(shè)要到外線的事件為A,則P(A)=0.03,顯然X～b(300,0.03),即
P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,?,300),
因n=300很大，p=0.03又很小,
λ=np=3000.03=9,
可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺(tái)數(shù)不超過(guò)13，故
P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,(查泊松分布表)
且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)
k0=[(n+1)p]=[3010.03]=9.
習(xí)題5在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)),求：
(1)某一天從中午12至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救的概率；
(2)某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率.
解答：(1)t=3,λ=3/2,P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.
習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律為
X
-101
pi
1/21-2qq2
試求：(1)q的值；(2)X的分布函數(shù).
解答：(1)\because離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,滿足∑ipi=1,且0≤pi≤1,
∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,
解得q=1-1/2.從而X的分布律為下表所示：
X
-101
pi
1/22-13/2-2
(2)由F(x)=P{X≤x}計(jì)算X的分布函數(shù)
F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.
習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為
F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2
則A=,P{∣X∣<π/6}=.
解答：應(yīng)填1;1/2.
由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有F(π2+0)=F(π2)?A=1.
因F(x)在x=π6處連續(xù)，故P{X=π6=12,于是有
P{∣X∣<π6=P{-π60是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時(shí)數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率.
解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+∞),故應(yīng)分段求F(x)=P{X≤x}.
當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(?)=0;
當(dāng)x>0時(shí)，由題設(shè)知P{xx}P{X>x}
=P{x0,λ>0,故X的分布函數(shù)為
F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),
從而電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率為
P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.
習(xí)題9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為
f(x)={x,02時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故
F(x)={0,x≤212x2,02.
習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X(單位：百萬(wàn)升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：
f(x)={19xe-x3,x>00,其它,
試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬(wàn)升的概率；(2)水日消費(fèi)量介于600萬(wàn)升到900萬(wàn)升的概率.
解答：先求X的分布函數(shù)F(x).顯然，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0,當(dāng)x≥0時(shí)有
F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3
故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以
P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)
=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,
P{6a0,其它(λ>0),求常數(shù)c及P{a-10,分布函數(shù)F(x)滿足：
(1)F(-a)=1-F(a);(2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].
解答：(1)F(-a)=∫-∞-a?(x)dx=∫a+∞?(-t)dt=∫a+∞?(x)dx
=1-∫-∞a?(x)dx=1-F(a).
(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}
F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].
習(xí)題15設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率.
解答：因?yàn)镵～U(0,5),所以fK(k)={1/5,090}=12/526≈0.0228,
P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;
又因?yàn)镻{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得
90-μσ=2 ①
同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因?yàn)镻{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,
故Φ(60-μσ)≈0.1578.
因?yàn)?.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得
μ-60σ≈1.0 ②
聯(lián)立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X～N(70,100).
某人是否能被錄取，關(guān)鍵看錄取率. 已知錄取率為155526≈0.2947, 看某人是否能被錄取，解法有兩種：
方法1：
P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010
=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,
因?yàn)?.2119<0.2947(錄取率), 所以此人能被錄取.
方法2：看錄取分?jǐn)?shù)線. 設(shè)錄取者最低分為x0, 則P{X≥x0}=0.2947(錄取率),
P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,
P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,
反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成績(jī)78分高于最低分，所以可以錄取.
習(xí)題17
假設(shè)某地在任何長(zhǎng)為t(年)的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λ=0.1t的泊松分布，X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時(shí)間(單位：年).
(1)證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；(2)求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；
(3)求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.
解答：(1)當(dāng)t≥0時(shí)，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,
∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;
當(dāng)t<0時(shí)，F(xiàn)(t)=0,
∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,
X服從指數(shù)分布(λ=0.1);
(2)F(3)=1-e-0.13≈0.26;
(3)F(5)-F(3)≈0.13.
習(xí)題18100件產(chǎn)品中，90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，隨機(jī)取2個(gè)安裝在一臺(tái)設(shè)備上，若一臺(tái)設(shè)備中有i個(gè)(i=0,1,2)二等品，則此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.
(1)試求設(shè)備壽命超過(guò)1的概率 ；
(2)已知設(shè)備壽命超過(guò)1，求安裝在設(shè)備上的兩個(gè)零件都是一等品的概率 .
解答：(1)設(shè)X表示設(shè)備壽命. A表示“設(shè)備壽命超過(guò)1”，Bi表示“取出i個(gè)二等品”(i=0,1,2)，則X的密度函數(shù)為
fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),
P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,
P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,
P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,
由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.
(2)由貝葉斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.
習(xí)題19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為
X
-2-1013
pi
1/51/61/51/1511/30
試求Y=X2的分布律.解答：
pi
1/51/61/51/1511/30
X
-2-1013
X2
41019
所以
X2
0149
pi
1/57/301/511/30
注：隨機(jī)變量的值相同時(shí)要合并，對(duì)應(yīng)的概率為它們概率之和.
習(xí)題20設(shè)隨機(jī)變量X的密度為
fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).
解答：由Y=2X+3,有y=2x+3,x=y-32,x′=12,
由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.
習(xí)題21設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度
fX(x)={e-x,x>00,其它,
求Y=eX的概率密度.
解答：因?yàn)棣?min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,
β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.
類似上題可得
fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1a,Y≤b}.
解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).
習(xí)題3(1)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：
試求：(1)P{12
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