小學數學解題方法解題技巧之數陣圖

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第一章 小學數學解題方法解題技巧之數陣圖【方陣】例1 將自然數1至9，分別填在圖5.17的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數之和都相等。（長沙地區(qū)小學數學競賽試題）講析：中間一格所填的數，在計算時共算了4次，所以可先填中間一格的數。（l+2+3+9）3=15，則符合要求的每三數之和為15。顯然，中間一數填“5”。再將其它數字順次填入，然后作對角線交換，再通過旋轉（如圖5.18），便得解答如下。例2 從1至13這十三個數中挑出十二個數，填到圖5.19的小方格中，使每一橫行四個數之和相等，使每一豎列三個數之和又相等。（“新苗杯”小學數學競賽試題）講析：據題意，所選的十二個數之和必須既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三個數之和為91，91除以12，商7余7，因此，應去掉7。每列為（917）4=21而1至13中，除7之外，共有六個奇數，它們的分布如圖5.20所示。三個奇數和為21的有兩種：21=19+11=35+13。經檢驗，三個奇數為3、5、13的不合要求，故不難得出答案，如圖5.21所示。例3 十個連續(xù)自然數中，9是第三大的數，把這十個數填到圖5.22的十個方格中，每格填一個，要求圖中三個22的正方形中四數之和相等。那么，這個和數的最小值是_。（1992年全國小學數學奧林匹克初賽試題）講析：不難得出十個數為:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它們的和是65。在三個22的正方形中，中間兩個小正方形分別重復了兩次。設中間兩個小正方形分別填上a和b，則（65ab）之和必須是 3的倍數。所以，（ab）之和至少是7。故，和數的最小值是24。【其他數陣】例1 如圖5.23，橫、豎各12個方格，每個方格都有一個數。已知橫行上任意三個相鄰數之和為20，豎列上任意三個相鄰數之和為21。圖中已填入3、5、8和“”四個數，那么“”代表的數是_。（1994年全國小學數學奧林匹克初賽試題）講析：可先看豎格。因為每相鄰三格數字和為21，所以每隔兩格必出現重復數字。從而容易推出，豎格各數從上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。同理可推導出橫格各數，其中“”=5。例2 如圖5.24，有五個圓，它們相交后相互分成九個區(qū)域，現在兩個區(qū)域里已經分別填上數字10、6，請在另外七個區(qū)域里分別填進2、3、4、5、6、7、9七個數字，使每個圓內的數之和都是15。（上海市第五屆小學數學競賽試題）講析：可把圖中要填的數，分別用a、b、c、d、e、f、g代替。（如圖5.25）顯然a=5，g=9。則有：bc=10，ef=6，cde=15。經適當試驗，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。例3 如圖5.26，將六個圓圈中分別填上六個質數，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上的數之和相等。那么，這六個質數的積是_。（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）講析：最上面的小三角形與中間的小三角形，都有兩個共同的頂點，且每個小三角形頂點上三數之和相等。所以，最上邊圓圈內數字與最下面中間圓圈內數字相等。同樣，左下角與右邊中間的數相等，右下角與左邊中間數相等。202=10，102+3+5。所以，六個質數積為223355=900。例4 在圖5.27的七個中各填上一個數，要求每條直線上的三個數中，中間一個數是兩邊兩個數的平均數。現已填好兩個數，那么X=_。（1992年全國小學數學奧林匹克決賽試題）講析：如圖5.28，可將圓圈內所填各數分別用a、b、c、d代替。則d=15。由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。所以，b=13+2=15。進而容易算出，x=19。例5 圖5.29中8個頂點處標注的數字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一個數都等于相鄰三個頂點（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析：將外層的四個數，分別用含其它字母的式子表示，得 即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0