【高考前三個月復習數(shù)學理科】第二篇 第3講

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第3講概率與統(tǒng)計離散型隨機變量分布列及均值、方差的綜合問題例題(12分)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的頻率，并假設各年的入流量相互獨立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40X120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？規(guī)范解答解(1)依題意，得p1P(40X120)0.1.3分由二項分布，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p3()44()30.947 7.6分(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).安裝1臺發(fā)電機的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000.7分安裝2臺發(fā)電機的情形.依題意，當40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.9分安裝3臺發(fā)電機的情形.依題意，當40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.11分綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺.12分評分細則第(1)問得分點1.求出各段的概率得3分，每求對一個得1分.2.求出未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率得3分.第(2)問得分點1.求出概率分布列得2分；分布列錯，求對所有概率得1分.2.求對均值得1分，公式對結果錯誤不得分.第一步：分清事件的構成與性質，確定離散型隨機變量的取值；第二步：根據概率類型選擇公式求解變量取每一個值的概率；第三步：列出分布列的表格；第四步：根據均值的定義式或計算公式求解其值；第五步：反思回顧，根據分布列的性質檢驗結果是否正確，計算是否正確.跟蹤訓練1.甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就停止答題，即闖關成功.已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是.(1)求甲、乙至少有一人闖關成功的概率；(2)設甲答對題目的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.2.某師范大學地理學院決定從n位優(yōu)秀畢業(yè)生(包括x位女學生，3位男學生)中選派2位學生到某貧困山區(qū)的一所中學擔任第三批頂崗實習教師，每一位學生被選派的機會是相同的.(1)若選派的2位學生中恰有1位女學生的概率為，試求出n與x的值；(2)在(1)的條件下，記X為選派的2位學生中女學生的人數(shù)，寫出X的分布列.答案精析第3講概率與統(tǒng)計跟蹤訓練1.解(1)設甲、乙闖關成功分別為事件A、B，則P()，P()(1)3C(1)2，則甲、乙至少有一人闖關成功的概率是1P()1P()P()1.(2)由題意知的可能取值是1,2.P(1)，P(2)，則的分布列為12PE()12.2.解(1)若選派的2位學生中恰有1位女學生的概率為，而從n位優(yōu)秀畢業(yè)生中選派2位學生擔任第三批頂崗實習教師的總方法數(shù)為C，2位學生中恰有1位女學生的方法數(shù)為CC(n3)3.依題意可得，化簡得n211n300，解得n15，n26.當n5時，x532；當n6時，x633.故所求的值為或(2)當時，X可能的取值為0,1,2，X0表示只選派2位男生，這時P(X0)，X1表示選派1位男生與1位女生，這時P(X1)，X2表示只選派2位女生，這時P(X2).X的分布列為X012P當時，X可能的取值為0,1,2，X0表示只選派2位男生，這時P(X0)，X1表示選派1位男生與1位女生，這時P(X1)，X2表示只選派2位女生，這時P(X2).X的分布列為X012P