九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版0 (4)

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2016-2017學(xué)年浙江省杭州市余杭區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每題3分，共30分） 1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（　?。? A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 2．下列事件是必然事件的是（　　） A．若a是實數(shù)，則|a|≥0 B．拋一枚硬幣，正面朝上 C．明天會下雨 D．打開電視，正在播放新聞 3．已知一個二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象經(jīng)過（﹣2，6），則下列點中不在該函數(shù)的圖象上的是（　?。? A．（2，6） B．（1，1.5） C．（﹣1，1.5） D．（2，8） 4．下列說法正確的是（　?。? A．半圓是弧，弧也是半圓 B．三點確定一個圓 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．直徑是同一圓中最長的弦 5．設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=﹣（x+1）2+3上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　?。? A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 6．如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8，CD=3，則⊙O的半徑為（　?。? A．4 B．5 C． D． 7．在一個不透明的盒子中裝有n個小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有4個白球，每次試驗前，將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中．大量重復(fù)上述試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4，那么可以推算出n大約是（　　） A．10 B．14 C．16 D．40 8．如圖所示的暗礁區(qū)，兩燈塔A，B之間的距離恰好等于圓的半徑，為了使航船（S）不進入暗礁區(qū)，那么S對兩燈塔A，B的視角∠ASB必須（　?。? A．大于60 B．小于60 C．大于30 D．小于30 9．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（　　） A． B．2 C． D． 10．如圖，直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖象都經(jīng)過y軸上的D點，拋物線與x軸交于A、B兩點，其對稱軸為直線x=1，且OA=OD．直線y=kx+c與x軸交于點C（點C在點B的右側(cè)）．則下列命題中正確命題的是（　?。? ①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k． A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤ 　 二、填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分） 11．從長度為2，3，5，7的四條線段中任意選取三條，這三條線段能構(gòu)成三角形的概率等于　　． 12．拋物線y=﹣（x﹣2）2+1的頂點坐標(biāo)是　?。? 13．已知△ABC的邊BC=2cm，且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O，則∠A=　　度． 14．如圖，△COD是△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40后得到的圖形，若點C恰好落在AB上，且∠AOD的度數(shù)為90，則∠B的度數(shù)是　?。? 15．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，弦PQ∥AB交弦CD于點M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長為　　． 16．在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為60，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x2（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標(biāo)是　?。? 　 三、解答題（6+8+8+10+10+12+12=66分） 17．如圖， （1）作△ABC的外接⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半徑． 18．甲、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯， （1）請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率； （2）小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說明理由． 19．如圖，點A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求證：AD=CE． 20．某商店購進一種商品，每件商品進價30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件銷售價x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下： x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 （1）已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫出自變量x的取值范圍）； （2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價應(yīng)定為多少元？ （3）設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？ 21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）． （1）求△ABC的外接圓的圓心點M的坐標(biāo)； （2）求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長． 22．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米． （1）如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系． ①求拋物線的解析式； ②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？ （2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分． ①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？ 23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上． （1）點A的坐標(biāo)為　　，點B的坐標(biāo)為　??； （2）拋物線的解析式為　　； （3）設(shè)（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積； （4）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年浙江省杭州市余杭區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每題3分，共30分） 1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（　?。? A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 【考點】二次函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案． 【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函數(shù)，故A錯誤； B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數(shù)，故B錯誤； C、s=2t2﹣2t+1是二次函數(shù)，故C正確； D、y=x2+不是二次函數(shù)，故D錯誤； 故選：C． 　 2．下列事件是必然事件的是（　　） A．若a是實數(shù)，則|a|≥0 B．拋一枚硬幣，正面朝上 C．明天會下雨 D．打開電視，正在播放新聞 【考點】隨機事件． 【分析】根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，可得答案． 【解答】解：A、若a是實數(shù)，則|a|≥0是必然事件，故A正確； B、是隨機事件，故B錯誤； C、是隨機事件，故C錯誤； D、是隨機事件，故D錯誤； 故選：A． 　 3．已知一個二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象經(jīng)過（﹣2，6），則下列點中不在該函數(shù)的圖象上的是（　?。? A．（2，6） B．（1，1.5） C．（﹣1，1.5） D．（2，8） 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，再依次將各選項的點代入解析式即可作出判斷． 【解答】解：把（﹣2，6）代入y=ax2（a≠0）中得：4a=6， a=， ∴這個二次函數(shù)的解析式為：y=， A、當(dāng)x=2時，y=22=6，所以點（2，6）在該函數(shù)的圖象上； B、當(dāng)x=1時，y=12=1.5，所以點（1，1.5）在該函數(shù)的圖象上； C、當(dāng)x=﹣1時，y=（﹣1）2=1.5，所以點（﹣1，1.5）在該函數(shù)的圖象上； D、當(dāng)x=2時，y=22=6，所以點（2，8）不在該函數(shù)的圖象上； 故選D． 　 4．下列說法正確的是（　?。? A．半圓是弧，弧也是半圓 B．三點確定一個圓 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．直徑是同一圓中最長的弦 【考點】確定圓的條件；垂徑定理． 【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷后即可確定正確的選項． 【解答】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本選項錯誤； B、不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項錯誤； C、當(dāng)被平分的弦為直徑時，兩直徑不一定垂直，故本選項錯誤； D、直徑是同一圓中最長的弦，故本選項正確， 故選D． 　 5．設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=﹣（x+1）2+3上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可利用對稱性，找出點A的對稱點A′，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大?。? 【解答】解：∵函數(shù)的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右圖， ∴對稱軸是x=﹣1， ∴點A關(guān)于對稱軸的點A′是（0，y1）， 那么點A′、B、C都在對稱軸的右邊，而對稱軸右邊y隨x的增大而減小， 于是y1＞y2＞y3． 故選A． 　 6．如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8，CD=3，則⊙O的半徑為（　?。? A．4 B．5 C． D． 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣3，再根據(jù)垂徑定理求出AC的長，由勾股定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣3， ∵半徑OD與弦AB互相垂直，AB=8， ∴AC=AB=4． 在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣3）2+42，解得r=． 故選C． 　 7．在一個不透明的盒子中裝有n個小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有4個白球，每次試驗前，將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中．大量重復(fù)上述試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4，那么可以推算出n大約是（　?。? A．10 B．14 C．16 D．40 【考點】利用頻率估計概率． 【分析】利用大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率． 【解答】解：∵通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4， ∴=0.4， 解得：n=10． 故選A． 　 8．如圖所示的暗礁區(qū)，兩燈塔A，B之間的距離恰好等于圓的半徑，為了使航船（S）不進入暗礁區(qū)，那么S對兩燈塔A，B的視角∠ASB必須（　　） A．大于60 B．小于60 C．大于30 D．小于30 【考點】圓周角定理；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】連接OA，OB，AB及BC，由AB等于圓的半徑，得到三角形AOB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60，由同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，求出∠ACB的度數(shù)，再由∠ACB為△SCB的外角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角，可得∠ASB小于∠ACB，即可得到正確的選項． 【解答】解：連接OA，OB，AB，BC，如圖所示： ∵AB=OA=OB，即△AOB為等邊三角形， ∴∠AOB=60， ∵∠ACB與∠AOB所對的弧都為， ∴∠ACB=∠AOB=30， 又∠ACB為△SCB的外角， ∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30． 故選D 　 9．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（　　） A． B．2 C． D． 【考點】點與圓的位置關(guān)系；圓周角定理． 【分析】首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題． 【解答】解：∵∠ABC=90， ∴∠ABP+∠PBC=90， ∵∠PAB=∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP=90， ∴∠APB=90， ∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小， 在RT△BCO中，∵∠OBC=90，BC=4，OB=3， ∴OC==5， ∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2． ∴PC最小值為2． 故選B． 　 10．如圖，直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖象都經(jīng)過y軸上的D點，拋物線與x軸交于A、B兩點，其對稱軸為直線x=1，且OA=OD．直線y=kx+c與x軸交于點C（點C在點B的右側(cè)）．則下列命題中正確命題的是（　?。? ①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k． A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】由拋物線的開口判斷a的符號；由對稱軸判斷b及b與2a的關(guān)系；由拋物線與y軸的交點判斷c的符號；由拋物線和直線圖象上點的坐標(biāo)判斷有關(guān)代數(shù)式的符號． 【解答】解：∵拋物線開口向上， ∴a＞0． ∵拋物線對稱軸是x=1， ∴b＜0且b=﹣2a． ∵拋物線與y軸交于正半軸， ∴c＞0． ∴①abc＞0錯誤； ∵b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＞0， ∴②3a+b＞0正確； ∵b=﹣2a， ∴4a+2b+c=4a﹣4a+c=c＞0， ∴④4a+2b+c＜0錯誤； ∵直線y=kx+c經(jīng)過一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA=OD， ∴點A的坐標(biāo)為（c，0）． 直線y=kx+c當(dāng)x=c時，y＞0， ∴kc+c＞0可得k＞﹣1． ∴③﹣1＜k＜0正確； ∵直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖象有兩個交點， ∴ax2+bx+c=kx+c， 得x1=0，x2=． 由圖象知x2＞1， ∴＞1 ∴k＞a+b， ∴⑤a+b＜k正確， 即正確命題的是②③⑤． 故選B． 　 二、填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分） 11．從長度為2，3，5，7的四條線段中任意選取三條，這三條線段能構(gòu)成三角形的概率等于　?。? 【考點】概率公式；三角形三邊關(guān)系． 【分析】三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，本題只要把三邊代入，看是否滿足即可．把滿足的個數(shù)除以4即可得出概率． 【解答】解：長度為2，3，5，7的四條線段中任意選取三條共有： 2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7， 能構(gòu)成三角形的為：3、5、7，只有1組，因此概率為． 　 12．拋物線y=﹣（x﹣2）2+1的頂點坐標(biāo)是?。?，1）?。? 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)拋物線的頂點式，即可找出拋物線的頂點坐標(biāo)． 【解答】解：∵拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+1， ∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，1）． 故答案為：（2，1）． 　 13．已知△ABC的邊BC=2cm，且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O，則∠A=　60或120　度． 【考點】圓周角定理． 【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB=90，由垂徑定理得出BD=CD=BC=cm，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BOD=∠COD=∠BOC，由三角函數(shù)求出∠BOD=60，得出∠BOC=120，由圓周角定理即可得出結(jié)果． 【解答】解：分兩種情況： ①當(dāng)△ABC是銳角三角形時；連接OB、OC，作OD⊥BC于D，如圖1所示： 則∠ODB=90，BD=CD=BC=cm，∠BOD=∠COD=∠BOC， ∵sin∠BOD=， ∴∠BOD=60， ∴∠BOC=120， ∴∠A=∠BOC=60 ②當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，如圖2所示： ∠A=180﹣60=120； 綜上所述：∠A的度數(shù)為60或120， 故答案為：60或120． 　 14．如圖，△COD是△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40后得到的圖形，若點C恰好落在AB上，且∠AOD的度數(shù)為90，則∠B的度數(shù)是　60?。? 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOD=40，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解． 【解答】解：∵△COD是△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40后得到的圖形， ∴∠AOC=∠BOD=40，AO=CO， ∵∠AOD=90， ∴∠BOC=90﹣402=10， ∠ACO=∠A===70， 由三角形的外角性質(zhì)得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70﹣10=60． 故答案為：60． 　 15．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，弦PQ∥AB交弦CD于點M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長為　5?。? 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】作OF⊥PQ于F，連接OP，根據(jù)已知和圖形證明四邊形MEOF為正方形，設(shè)半徑為x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，得到答案． 【解答】解：作OF⊥PQ于F，連接OP， ∴PF=PQ=12， ∵CD⊥AB，PQ∥AB， ∴CD⊥PQ， ∴四邊形MEOF為矩形， ∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB， ∴OE=OF， ∴四邊形MEOF為正方形， 設(shè)半徑為x，則OF=OE=18﹣x， 在直角△OPF中， x2=122+（18﹣x）2， 解得x=13， 則MF=OF=OE=5， ∴OM=5． 故答案為：5． 　 16．在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為60，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x2（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標(biāo)是　（，3）或（，）或（，）或（2，2）　． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】由于兩三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分四種情況進行討論： ①∠POQ=∠OAH=30，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論； ②∠POQ=∠AOH=60，此時∠POH=30，即直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標(biāo)，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論； ③當(dāng)∠OPQ=90，∠POQ=∠AOH=60時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論； ④當(dāng)∠OPQ=90，∠POQ=∠OAH=30，此時△OQP≌△AOH，得到點A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：①如圖1，當(dāng)∠POQ=∠OAH=30，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合； ∵∠AOH=60， ∴直線OA：y=x， 聯(lián)立拋物線的解析式得：， 解得：或， 故A（，3）； ②當(dāng)∠POQ=∠AOH=60，此時△POQ≌△AOH， 易知∠POH=30，則直線y=x，聯(lián)立拋物線的解析式， 得：， 解得：或， 故P（，），那么A（，）； ③當(dāng)∠OPQ=90，∠POQ=∠AOH=60時，此時△QOP≌△AOH； 易知∠POH=30，則直線y=x，聯(lián)立拋物線的解析式， 得：， 解得：或， 故P（，）， ∴OP==，QP=， ∴OH=OP=，AH=QP=， 故A（，）； ④當(dāng)∠OPQ=90，∠POQ=∠OAH=30，此時△OQP≌△AOH； 此時直線y=x，聯(lián)立拋物線的解析式， 得：， 解得：或， ∴P（，3）， ∴QP=2，OP=2， ∴OH=QP=2，AH=OP=2， 故A（2，2）． 綜上可知：符合條件的點A有四個，分別為：（，3）或（，）或（，）或（2，2）． 故答案為：（，3）或（，）或（，）或（2，2）． 　 三、解答題（6+8+8+10+10+12+12=66分） 17．如圖， （1）作△ABC的外接⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半徑． 【考點】作圖—復(fù)雜作圖． 【分析】（1）作線段AB于BC的垂直平分線相交于點O，則點O即為圓心，OA為半徑，作△ABC的外接圓即可； （2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設(shè)OC=OA=r，則OD=CD﹣r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可． 【解答】解：（1）如圖，⊙O即為所求； （2）∵AB=6cm，AC=BC=5cm， ∴AD=AB=3cm， ∴CD===4cm． 設(shè)OC=OA=r，則OD=4﹣r， 在Rt△AOD中， ∵AD2+OD2=OA2，即32+（4﹣r）2=r2，解得r=． 　 18．甲、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯， （1）請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率； （2）小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說明理由． 【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲乙在同一個樓層的情況數(shù)，即可求出所求的概率； （2）分別求出兩人獲勝的概率比較得到公平與否． 【解答】解：（1）列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 一共出現(xiàn)16種等可能結(jié)果，其中出現(xiàn)在同一層樓梯的有四種結(jié)果， ∴P（甲、乙在同一層樓梯）==； （2）不公平，理由為： 由（1）列知：甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結(jié)果 故P（小亮勝）=P（同層或相鄰樓層）==，P（小芳勝）=1﹣=， ∵＞， ∴游戲不公平． 　 19．如圖，點A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求證：AD=CE． 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【分析】欲證明AD=CE，只需證明=即可．如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義易證得∠C=∠CAD，所以=，則+=+，故=． 【解答】證明：如圖，∵AB∥CE， ∴∠ACE=∠BAC． 又∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∴∠C=∠CAD， ∴=， ∴+=+， ∴=， ∴AD=CE． 　 20．某商店購進一種商品，每件商品進價30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件銷售價x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下： x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 （1）已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫出自變量x的取值范圍）； （2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價應(yīng)定為多少元？ （3）設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解出解析式即可； （2）根據(jù)題意列出方程解答即可； （3）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式的最值解答即可． 【解答】解：（1）設(shè)該函數(shù)的表達式為y=kx+b，根據(jù)題意，得 ， 解得：． 故該函數(shù)的表達式為y=﹣2x+100； （2）根據(jù)題意得， （﹣2x+100）（x﹣30）=150， 解這個方程得，x1=35，x2=45， 故每件商品的銷售價定為35元或45元時日利潤為150元； （3）根據(jù)題意，得 w=（﹣2x+100）（x﹣30） =﹣2x2+160x﹣3000 =﹣2（x﹣40）2+200， ∵a=﹣2＜0 則拋物線開口向下，函數(shù)有最大值， 即當(dāng)x=40時，w的值最大， ∴當(dāng)銷售單價為40元時獲得利潤最大． 　 21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）． （1）求△ABC的外接圓的圓心點M的坐標(biāo)； （2）求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長． 【考點】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點解答； （2）連接OM，作MN⊥DE于N，根據(jù)勾股定理求出DN，根據(jù)垂徑定理求出DE． 【解答】解：（1）∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）， ∴線段BC的垂直平分線是x=﹣2， ∵A（2，2），C（2，﹣4）， ∴線段AC的垂直平分線是y=﹣1， ∴△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1）； （2）連接OM，作MN⊥DE于N， 由題意得，AC=6，BC=8， 由勾股定理得，AB=10， 則DN==2， 由垂徑定理得，DE=2DN=4． 　 22．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米． （1）如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系． ①求拋物線的解析式； ②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？ （2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分． ①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；垂徑定理的應(yīng)用． 【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②根據(jù)題意得出y=3時，求出x的值即可； （2）①構(gòu)造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可； ②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可． 【解答】解：（1）①設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+c， ∵橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米， ∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4）， ∴， 解得： ∴拋物線解析式為：y=， ②∵要使高為3米的船通過， ∴y=3，則3=， 解得：x=5， ∴EF=10米； （2）①設(shè)圓半徑r米，圓心為W， ∵BW2=BC2+CW2， ∴r2=（r﹣4）2+102， 解得：r=14.5； ②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5， 根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2， 即GF2=14.52﹣13.52=28， 所以GF=2， 此時寬度EF=4米． 　 23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上． （1）點A的坐標(biāo)為　（0，2）　，點B的坐標(biāo)為?。ī?，1）??； （2）拋物線的解析式為　y=x2+x﹣2?。? （3）設(shè)（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積； （4）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出OA的長，即可得出點A的坐標(biāo)，再求出OE、BE的長即可求出B的坐標(biāo)； （2）把點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式； （3）先求出點D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，然后求出CF的長，再根據(jù)S△DBC=S△CEB+S△CED進行計算即可； （4）假設(shè)存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形： ①若以點C為直角頂點；則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出點P1點的坐標(biāo)； ②若以點A為直角頂點；則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質(zhì)可得出點P2的坐標(biāo)；點P1、P2的坐標(biāo)代入拋物線的解析式進行檢驗即可． ③以點P為直角頂點，求出點P的坐標(biāo)，再判斷點P不在拋物線上． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，0），AC=， ∴OA===2， ∴A（0，2）； 過點B作BF⊥x軸，垂足為F， ∵∠ACO+∠CAO=90，∠ACO+∠BCF=90，∠BCF+∠FBC=90， 在△AOC與△CFB中， ∵， ∴△AOC≌△CFB， ∴CF=OA=2，BF=OC=1， ∴OF=3， ∴B的坐標(biāo)為（﹣3，1）， 故答案為：（0，2），（﹣3，1）； （2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得： 1=9a﹣3a﹣2， 解得a=， ∴拋物線解析式為：y=x2+x﹣2． 故答案為：y=x2+x﹣2； （3）由（2）中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點D（﹣，﹣）， 設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點B、D的坐標(biāo)代入得： ， 解得． ∴BD的關(guān)系式為y=﹣x﹣． 設(shè)直線BD和x 軸交點為E，則點E（﹣，0），CE=． ∴S△DBC=（1+）=； （4）假設(shè)存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形： ①若以點C為直角頂點； 則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 過點P1作P1M⊥x軸， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90， ∴△MP1C≌△FBC． ∴CM=CF=2，P1M=BF=1， ∴P1（1，﹣1）； ②若以點A為直角頂點； i）則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1， ∴P2（2，1）， ii）若以點P為直角頂點． 過P3作P3G⊥y軸于G， 同理，△AGP3≌△CAO， ∴GP3=OA=2，AG=OC=1， ∴P3為（﹣2，3）． 經(jīng)檢驗，點P1（1，﹣1）與點P2（2，1）都在拋物線y=x2+x﹣2上，點P3（﹣2，3）不在拋物線上． 故點P的坐標(biāo)為P1（1，﹣1）與P2（2，1）．