九年級數(shù)學上學期期末試卷（含解析） 新人教版2 (6)

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甘肅省定西市臨洮縣2015-2016學年七校聯(lián)考九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．） 1．下列方程中，關于x的一元二次方程是（　?。? A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 2．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將其折疊，使AB邊落在對角線AC上，得到折痕AE，則點E到點B的距離為（　?。? A． B．2 C． D．3 3．如果兩個相似三角形對應邊的比為2：3，那么這兩個相似三角形面積的比是（　?。? A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27 4．已知點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，則（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5．某工廠由于管理水平提高，生產成本逐月下降．原來每件產品的成本是1600元，兩個月后，降至900元．如果產品成本的月平均降低率是x，那么根據題意所列方程正確的是（　?。? A．1600（1﹣x）=900 B．900（1+x）=1600 C．1600（1﹣x）2=900 D．900（1+x）2=1600 6．二次三項式x2﹣4x+3配方的結果是（　?。? A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 7．甲、乙兩地相距60km，則汽車由甲地行駛到乙地所用時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 8．函數(shù)y=的圖象經過（1，﹣1），則函數(shù)y=kx﹣2的圖象是（　?。? A． B． C． D． 9．如圖，矩形ABCD，R是CD的中點，點M在BC邊上運動，E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點，則EF的長隨著M點的運動（　?。? A．變短 B．變長 C．不變 D．無法確定 10．在數(shù)﹣1，1，2中任取兩個數(shù)作為點坐標，那么該點剛好在一次函數(shù)y=x﹣2圖象上的概率是（　　） A． B． C． D． 　 二、填空題（共8小題，每題4分，共32分） 11．反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則k應滿足　?。? 12．如圖，將兩條寬度都是為2的紙條重疊在一起，使∠ABC=45，則四邊形ABCD的面積為　?。? 13．已知==，則=　?。? 14．如圖，點A是反比例函數(shù)y=圖象上的一個動點，過點A作AB⊥x軸，AC⊥y軸，垂足點分別為B、C，矩形ABOC的面積為4，則k=　?。? 15．合作小組的4位同學坐在課桌旁討論問題，學生A的座位如圖所示，學生B，C，D隨機坐到其他三個座位上，則學生B坐在2號座位的概率是　?。? 16．△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2﹣8x+15=0的根，則△ABC的周長是　　． 17．要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個各隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？若設應邀請x各隊參賽，可列出的方程為　?。? 18．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60．取AB的中點A1，連接A1C，再分別取A1C，BC的中點D1，C1，連接D1C1，得到四邊形A1BC1D1．如圖2，同樣方法操作得到四邊形A2BC2D2，如圖3，…，如此進行下去，則四邊形AnBCnDn的面積為　?。? 　 三、解答題：（共9道題，總分88分） 19．（8分）計算： （1）（﹣）﹣1﹣+4cos30﹣|﹣2| （2）tan260+4sin30?cos45． 20．（8分）已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m． （1）請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影； （2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長． 21．（10分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF． （1）線段BD與CD有什么數(shù)量關系，并說明理由； （2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由． 22．（10分）已知甲同學手中藏有三張分別標有數(shù)字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a，b． （1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果． （2）現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請你用概率知識解釋． 23．（10分）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30，EF⊥AB，垂足為F，連接DF． （1）試說明AC=EF； （2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形． 24．（10分）如圖，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點； （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積； （3）求不等式的解集（請直接寫出答案）． 25．（10分）某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？ 26．（10分）一數(shù)學興趣小組為了測量河對岸樹AB的高，在河岸邊選擇一點C，從C處測得樹梢A的仰角為45，沿BC方向后退10米到點D，再次測得A的仰角為30，求樹高．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據：≈1.414，≈1.732） 27．（12分）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動點E（與點A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點． （1）當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長； （2）當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長； （3）試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長． 　  2015-2016學年甘肅省定西市臨洮縣七校聯(lián)考九年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．） 1．下列方程中，關于x的一元二次方程是（　?。? A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】一元二次方程有四個特點： （1）只含有一個未知數(shù)； （2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （3）是整式方程． （4）二次項系數(shù)不為0． 【解答】解： A、3（x+1）2=2（x+1）化簡得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正確； B、方程不是整式方程，故錯誤； C、若a=0，則就不是一元二次方程，故錯誤； D、是一元一次方程，故錯誤． 故選：A． 【點評】判斷一個方程是否是一元二次方程： 首先要看是否是整式方程； 然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2． 這是一個需要識記的內容． 　 2．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將其折疊，使AB邊落在對角線AC上，得到折痕AE，則點E到點B的距離為（　?。? A． B．2 C． D．3 【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質． 【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，設出未知數(shù)，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通過解方程可得答案． 【解答】解：設BE=x， ∵AE為折痕， ∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90， Rt△ABC中，AC===5， ∴Rt△EFC中，F(xiàn)C=5﹣3=2，EC=4﹣X， ∴（4﹣x）2=x2+22， 解得x=． 故選A． 【點評】本題考查了折疊問題、勾股定理和矩形的性質；解題中，找準相等的量是正確解答題目的關鍵． 　 3．如果兩個相似三角形對應邊的比為2：3，那么這兩個相似三角形面積的比是（　?。? A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27 【考點】相似三角形的性質． 【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方，據此即可求解． 【解答】解：兩個相似三角形面積的比是（2：3）2=4：9． 故選C． 【點評】本題考查對相似三角形性質的理解． （1）相似三角形周長的比等于相似比； （2）相似三角形面積的比等于相似比的平方； （3）相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比． 　 4．已知點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，則（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】根據反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點解答即可． 【解答】解：∵k＞0，函數(shù)圖象在一，三象限，由題意可知，點A、B在第三象限，點C在第一象限， ∵第三象限內點的縱坐標總小于第一象限內點的縱坐標， ∴y3最大， ∵在第三象限內，y隨x的增大而減小， ∴y2＜y1． 故選：D． 【點評】在反比函數(shù)中，已知各點的橫坐標，比較縱坐標的大小，首先應區(qū)分各點是否在同一象限內．在同一象限內，按同一象限內點的特點來比較，不在同一象限內，按坐標系內點的特點來比較． 　 5．某工廠由于管理水平提高，生產成本逐月下降．原來每件產品的成本是1600元，兩個月后，降至900元．如果產品成本的月平均降低率是x，那么根據題意所列方程正確的是（　?。? A．1600（1﹣x）=900 B．900（1+x）=1600 C．1600（1﹣x）2=900 D．900（1+x）2=1600 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設產品成本的月平均降低率是x，表示出產品降價2個月之后的價錢，列出方程即可． 【解答】解：設產品成本的月平均降低率是x， 由題意得，1600（1﹣x）2=900． 故選C． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是根據平均變化率表示出變化后的量，經過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1x）2=b． 　 6．二次三項式x2﹣4x+3配方的結果是（　?。? A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 【考點】配方法的應用． 【分析】在本題中，若所給的式子要配成完全平方式，常數(shù)項應該是一次項系數(shù)﹣4的一半的平方；可將常數(shù)項3拆分為4和﹣1，然后再按完全平方公式進行計算． 【解答】解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1． 故選B． 【點評】在對二次三項式進行配方時，一般要將二次項系數(shù)化為1，然后將常數(shù)項進行拆分，使得其中一個常數(shù)是一次項系數(shù)的一半的平方． 　 7．甲、乙兩地相距60km，則汽車由甲地行駛到乙地所用時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)的應用． 【分析】根據實際意義，寫出函數(shù)的解析式，根據函數(shù)的類型，以及自變量的取值范圍即可進行判斷． 【解答】解：根據題意可知時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)關系式為：y=（x＞0），所以函數(shù)圖象大致是B． 故選B． 【點評】主要考查了反比例函數(shù)的應用．解題的關鍵是根據實際意義列出函數(shù)關系式從而判斷它的圖象類型，要注意自變量x的取值范圍，結合自變量的實際范圍作圖． 　 8．函數(shù)y=的圖象經過（1，﹣1），則函數(shù)y=kx﹣2的圖象是（　?。? A． B． C． D． 【考點】一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先根據函數(shù)y=的圖象經過（1，﹣1）求出k的值，然后求出函數(shù)y=kx﹣2的解析式，再根據一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標解答． 【解答】解：∵圖象經過（1，﹣1）， ∴k=xy=﹣1， ∴函數(shù)解析式為y=﹣x﹣2， 所以函數(shù)圖象經過（﹣2，0）和（0，﹣2）． 故選A． 【點評】主要考查一次函數(shù)y=kx+b的圖象．當k＜0，b＜0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限． 　 9．如圖，矩形ABCD，R是CD的中點，點M在BC邊上運動，E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點，則EF的長隨著M點的運動（　　） A．變短 B．變長 C．不變 D．無法確定 【考點】三角形中位線定理；矩形的性質． 【分析】易得EF為三角形AMR的中位線，那么EF長恒等于定值AR的一半． 【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點， ∴EF=AR， ∴無論M運動到哪個位置EF的長不變，故選C． 【點評】本題考查三角形中位線等于第三邊的一半的性質． 　 10．在數(shù)﹣1，1，2中任取兩個數(shù)作為點坐標，那么該點剛好在一次函數(shù)y=x﹣2圖象上的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果，而只有（1，﹣1）在一次函數(shù)y=x﹣2圖象上，然后根據概率的概念即可計算出點剛好在一次函數(shù)y=x﹣2圖象上的概率． 【解答】解：畫樹狀圖如下： 共有6種等可能的結果，其中只有（1，﹣1）在一次函數(shù)y=x﹣2圖象上， 所以點在一次函數(shù)y=x﹣2圖象上的概率=． 故選D． 【點評】本題考查了利用列表法或樹狀圖法求概率：先列表或畫樹狀圖展示所有等可能的結果，再找出某事件所占有的可能數(shù)，然后根據概率的概念求這個事件的概率．也考查了點在一次函數(shù)圖形上，則點的橫縱坐標滿足一次函數(shù)的解析式． 　 二、填空題（共8小題，每題4分，共32分） 11．反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則k應滿足　k＞﹣2　． 【考點】反比例函數(shù)的性質． 【分析】由于反比例函數(shù)的圖象在一、三象限內，則k+2＞0，解得k的取值范圍即可． 【解答】解：由題意得，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限內， 則k+2＞0， 解得k＞﹣2． 故答案為k＞﹣2． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質，重點是注意y=（k≠0）中k的取值，①當k＞0時，反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限；②當k＜0時，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限． 　 12．如圖，將兩條寬度都是為2的紙條重疊在一起，使∠ABC=45，則四邊形ABCD的面積為　4?。? 【考點】菱形的判定與性質． 【分析】根據折疊的性質易知，重合部分為菱形，然后根據菱形的面積公式計算即可． 【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．則AE=AF=2． ∵紙條的對邊平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵兩張紙條的寬度都是2， ∴S四邊形ABCD=BC2=CD2， ∴BC=CD， ∴平行四邊形ABCD是菱形，即四邊形ABCD是菱形． ∴四邊形ABCD的面積為22=4． 故答案是：4． 【點評】本題主要考查菱形的性質和特殊角的三角函數(shù)值，通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力，解決此類問題，應結合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關系． 　 13．已知==，則=　?。? 【考點】比例的性質． 【分析】根據已知比例關系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式中，化簡即可得到結果． 【解答】解：設===k， ∴a=5k，b=3k，c=4k， ∴===， 故答案為：． 【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵． 　 14．如圖，點A是反比例函數(shù)y=圖象上的一個動點，過點A作AB⊥x軸，AC⊥y軸，垂足點分別為B、C，矩形ABOC的面積為4，則k=　﹣4?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】由于點A是反比例函數(shù)y=上一點，矩形ABOC的面積S=|k|=4，則k的值即可求出． 【解答】解：由題意得：S矩形ABOC=|k|=4，又雙曲線位于第二、四象限，則k=﹣4， 故答案為：﹣4． 【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)y=中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經?？疾榈囊粋€知識點． 　 15．合作小組的4位同學坐在課桌旁討論問題，學生A的座位如圖所示，學生B，C，D隨機坐到其他三個座位上，則學生B坐在2號座位的概率是　?。? 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】根據題意畫出樹狀圖，找出所有可能的情況數(shù)，找出學生B坐在2號座位的情況數(shù)，即可求出所求的概率． 【解答】解：根據題意得： 所有可能的結果有6種，其中學生B坐在2號座位的情況有2種， 則P==． 故答案為： 【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 16．△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2﹣8x+15=0的根，則△ABC的周長是　8?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系． 【分析】先求得方程的根，再根據三角形三邊關系判斷出第三邊的長，可求得三角形的周長． 【解答】解：解方程x2﹣8x+15=0可得x=3或x=5， ∴△ABC的第三邊為3或5， 但當?shù)谌厼?時，2+3=5，不滿足三角形三邊關系， ∴△ABC的第三邊長為3， ∴△ABC的周長為2+3+3=8， 故答案為：8． 【點評】本題主要考查三角形三邊關系和一元二次方程的解法，利用三角形三邊關系進行驗證是解題的關鍵． 　 17．要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個各隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？若設應邀請x各隊參賽，可列出的方程為　x（x﹣1）=28?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】關系式為：球隊總數(shù)每支球隊需賽的場數(shù)2=47，把相關數(shù)值代入即可． 【解答】解：每支球隊都需要與其他球隊賽（x﹣1）場，但2隊之間只有1場比賽， 所以可列方程為： x（x﹣1）=28． 故答案為： x（x﹣1）=28． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應除以2． 　 18．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60．取AB的中點A1，連接A1C，再分別取A1C，BC的中點D1，C1，連接D1C1，得到四邊形A1BC1D1．如圖2，同樣方法操作得到四邊形A2BC2D2，如圖3，…，如此進行下去，則四邊形AnBCnDn的面積為　a2?。? 【考點】等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質；三角形中位線定理． 【分析】首先求得梯形ABCD的面積，然后證明梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1，然后根據相似形面積的比等于相似比的平方即可求解． 【解答】方法一： 解：作DE⊥AB于點E． 在直角△ADE中，DE=AD?sinA=a，AE=AD=a， 則AB=2AD=2a，S梯形ABCD=（AB+CD）?DE=（2a+a）?a=a2． 如圖2，∵D1、C1是A1C和BC的中點， ∴D1C1∥A1B，且C1D1=A1B， ∵AA1=CD，AA1∥CD， ∴四邊形AA1CD是平行四邊形， ∴AD∥A1C，AD=A1C=a， ∴∠A=∠CA1B， 又∵∠B=∠B， ∴∠D=∠A1D1C1，∠DCB=∠D1C1B， =， ∴梯形A1BC1D1∽梯形ABCD，且相似比是． 同理，梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1，相似比是． 則四邊形AnBCnDn的面積為a2． 故答案是： a2． 方法二： ∵ABCD∽A1BC1D1， ∴， ∴SABCD=， ∴SA1BC1D1=，q=， ∴SAnBCnDn==． 【點評】本題考查了相似多邊形的判定與性質，正確證明梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1是關鍵． 　 三、解答題：（共9道題，總分88分） 19．計算： （1）（﹣）﹣1﹣+4cos30﹣|﹣2| （2）tan260+4sin30?cos45． 【考點】實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】（1）分別根據負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則、數(shù)的開方法則、特殊角的三角函數(shù)值及絕對值的性質計算出各數(shù)，再根據實數(shù)混合運算的法則進行計算即可； （2）直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可． 【解答】解：（1）原式=﹣2﹣2+4﹣（2﹣） =﹣2﹣2+2﹣2+ =﹣4+； （2）原式=（）2+4 =3+． 【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，熟記負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則、數(shù)的開方法則、特殊角的三角函數(shù)值及絕對值的性質是解答此題的關鍵． 　 20．已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m． （1）請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影； （2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長． 【考點】平行投影；相似三角形的性質；相似三角形的判定． 【分析】（1）根據投影的定義，作出投影即可； （2）根據在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例；構造比例關系．計算可得DE=10（m）． 【解答】解：（1）連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BC于點F，線段EF即為DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90 ∴△ABC∽△DEF． ∴， ∴ ∴DE=10（m）． 說明：畫圖時，不要求學生做文字說明，只要畫出兩條平行線AC和DF，再連接EF即可． 【點評】本題考查了平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．要求學生通過投影的知識并結合圖形解題． 　 21．（10分）（2013?臨夏州）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF． （1）線段BD與CD有什么數(shù)量關系，并說明理由； （2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由． 【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證； （2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90，由等腰三角形三線合一的性質可知必須是AB=AC． 【解答】解：（1）BD=CD． 理由如下：依題意得AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中點， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四邊形AFBD是平行四邊形， ∵AB=AC，BD=CD（三線合一）， ∴∠ADB=90， ∴?AFBD是矩形． 【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵． 　 22．（10分）（2012?黃石）已知甲同學手中藏有三張分別標有數(shù)字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a，b． （1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果． （2）現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請你用概率知識解釋． 【考點】游戲公平性；根的判別式；列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果； （2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規(guī)是否公平． 【解答】解：（1）畫樹狀圖得： ∵（a，b）的可能結果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2）， ∴（a，b）取值結果共有9種； （2）∵當a=，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此時ax2+bx+1=0無實數(shù)根， 當a=，b=3時，△=b2﹣4ac=7＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=，b=2時，△=b2﹣4ac=2＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=，b=1時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根， 當a=，b=3時，△=b2﹣4ac=8＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=，b=2時，△=b2﹣4ac=3＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=1，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此時ax2+bx+1=0無實數(shù)根， 當a=1，b=3時，△=b2﹣4ac=5＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=1，b=2時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根， ∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=＞P（乙獲勝）=， ∴這樣的游戲規(guī)則對甲有利，不公平． 【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平． 　 23．（10分）（2016?呼倫貝爾）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30，EF⊥AB，垂足為F，連接DF． （1）試說明AC=EF； （2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定；等邊三角形的性質． 【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30可以得到AB=2BC，又由△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后證得△AFE≌△BCA，繼而證得結論； （2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形． 【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF； （2）∵△ACD是等邊三角形， ∴∠DAC=60，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四邊形ADFE是平行四邊形． 【點評】此題考查了平行四邊形的判定、等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．注意證得Rt△AFE≌Rt△BCA是關鍵． 　 24．（10分）（2014?天水模擬）如圖，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點； （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積； （3）求不等式的解集（請直接寫出答案）． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分別代入一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=，運用待定系數(shù)法分別求其解析式； （2）把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進行計算； （3）由圖象觀察函數(shù)y=的圖象在一次函數(shù)y=kx+b圖象的上方，對應的x的范圍． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上， ∴m=﹣8． ∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣． ∵點A（﹣4，n）在y=﹣上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b經過A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解之得 ． ∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2． （2）∵C是直線AB與x軸的交點， ∴當y=0時，x=﹣2． ∴點C（﹣2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=22+24=6． （3）不等式的解集為：﹣4＜x＜0或x＞2． 【點評】本題考查了用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k，求出函數(shù)解析式；要能夠熟練借助直線和y軸的交點運用分割法求得不規(guī)則圖形的面積．同時間接考查函數(shù)的增減性，從而來解不等式． 　 25．（10分）（2013?瀘縣校級一模）某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】等量關系為：（原來每張賀年卡盈利﹣降價的價格）（原來售出的張數(shù)+增加的張數(shù)）=120，把相關數(shù)值代入求得正數(shù)解即可． 【解答】解：設每張賀年卡應降價x元，現(xiàn)在的利潤是（0.3﹣x）元，則商城多售出100x0.1=1000x張． （0.3﹣x）（500+1000x）=120， 解得x1=﹣0.3（降價不能為負數(shù)，不合題意，舍去），x2=0.1． 答：每張賀年卡應降價0.1元． 【點評】考查一元二次方程的應用；得到每降價x元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決本題的難點；根據利潤得到相應的等量關系是解決本題的關鍵． 　 26．（10分）（2015?遂寧）一數(shù)學興趣小組為了測量河對岸樹AB的高，在河岸邊選擇一點C，從C處測得樹梢A的仰角為45，沿BC方向后退10米到點D，再次測得A的仰角為30，求樹高．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據：≈1.414，≈1.732） 【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【分析】先設AB=x米，根據題意分析圖形：本題涉及到兩個直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，應利用其公共邊BA構造等量關系，解三角形可求得CB、DB的數(shù)值，再根據CD=BD﹣BC=10，進而可求出答案． 【解答】解：∵設AB=x米， 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∵∠D=30，∠ACB=45，CD=10， ∴CB=x，AD=2x，BD==x， ∵CD=BD﹣BC=10， x﹣x=10， ∴x=5（+1）≈13.7． 答：該樹高是13.7米． 【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角形并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形． 　 27．（12分）（2007?內江）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動點E（與點A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點． （1）當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長； （2）當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長； （3）試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）因為EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題； （2）根據周長相等，建立等量關系，列方程解答； （3）先畫出圖形，根據圖形猜想P點可能的位置，再找到相似三角形，依據相似三角形的性質解答． 【解答】解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等 ∴S△ECF：S△ACB=1：2 又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB == ∵AC=4， ∴CE=； （2）設CE的長為x ∵△ECF∽△ACB ∴= ∴CF= 由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等， 得x+EF+x=（4﹣x）+5+（3﹣x）+EF 解得 ∴CE的長為； （3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況： ①如圖1，假設∠PEF=90，EP=EF 由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90 ∴Rt△ACB斜邊AB上高CD= 設EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得： = 即= 解得x=，即EF= 當∠EFP=90，EF=FP′時，同理可得EF=； ②如圖2，假設∠EPF=90，PE=PF時，點P到EF的距離為EF 設EF=x，由△ECF∽△ACB，得： =，即= 解得x=，即EF= 綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，此時EF=或EF=． 【點評】此題考查了相似三角形的性質，有一定的開放性，難點在于作出輔助線就具體情況進行分類討論．