九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷（含解析） 新人教版 (5)

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2015-2016學(xué)年四川省樂山市峨眉山市博睿特外國語學(xué)校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．若x的算術(shù)平方根為8，則它的立方根是（　?。? A．2 B．﹣2 C．4 D．4 2．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（　?。? A．m=2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2 3．若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的兩個實數(shù)根x1，x2，且x1?x2＞x1+x2﹣4，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．m＞ B．m≤ C．m＜ D．＜m≤ 4．某個體商販在一次買賣中，賣出兩件上衣，每件都按135元出售，按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%．則在這次買賣中他（　　） A．不賠不賺 B．賺9元 C．賠18元 D．賺8元 5．若實數(shù)x，y，z滿足關(guān)系式2x+3y﹣z=0，5x﹣2y﹣2z=0，則x：y：z的值為（　?。? A．2：3：1 B．5：2：2 C．8：1：19 D．8：1：1 6．若方程組只有一組實數(shù)解，則k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1 D．0 7．一等腰梯形中，高為2，下底為4，下底的底角正弦值為，那么它的上底和腰長分別為（　?。? A．2， B．1， C．1，2 D．2，5 8．如圖，在?ABCD中，E為CD的中點，AE交BD于點O，S△DCE=12，則S△AOD等于（　?。? A．24 B．36 C．48 D．60 9．在△ABC中，∠C=90，∠A=30，若CD是高，且CD=1，則a，b，c三邊的長分別是（　?。? A．a(chǎn)=，b=2，c= B．a(chǎn)=2，b=，c= C．a(chǎn)=，b=2，c= D．a(chǎn)=2，b=2，c=4 10．如圖，從地面上C、D兩處望山頂A，仰角分別為30和45，若C、D兩處相距200米，則山高AB為（　?。? A．100（+1）米 B．100米 C．100 D．200 11．下列說法正確的是（　?。? A．一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)拋擲了2000次，其中，拋擲出5點的次數(shù)最少，則第2001次一定拋擲出5點 B．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票一定會中獎 C．天氣預(yù)報說明天下雨的概率是50%，所以明天將有一半時間在下雨 D．拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等 12．如圖，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC邊上至少存在一點P，使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似，則a、b間的關(guān)系式一定滿足（　?。? A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)≥b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≥2b 13．如圖，△ABC中，邊BC=12，高AD=6．矩形MNPQ的邊在BC上，頂點P在AB上，頂點N在AC上，若S矩形MNPQ=y，則y與x的關(guān)系式為（　　） A．y=6﹣x（0＜x＜12） B．y=﹣x2+6x（0＜x＜12） C．y=2x2﹣12x（0＜x＜12） D．y=x2+6x（0＜x＜12） 　 二、填空題． 14．計算： ①+﹣（﹣4）0=　??； ②3=　　． 15．m是方程x2﹣x﹣2=0的根，則m2﹣m=　?。? 16．觀察下列等式：12﹣02=1；22﹣12=3；32﹣22=5；42﹣32=7；…用含自然數(shù)n的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為　?。? 17．如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F．若BG：GA=3：1，BC=10，則AE的長為　?。? 18．為抵御百年不遇的洪水，某市政府決定將1200m長的大堤的迎水坡面鋪石加固，堤高DF=4m，堤面加寬2m，則完成這一工程需要的石方數(shù)為　　m3． 19．如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，則點A′的坐標(biāo)為　?。? 20．下面是我們將在高中階段所要學(xué)習(xí)的一個內(nèi)容，請先閱讀這段內(nèi)容．再解答問題，三角函數(shù)中常用公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，．求sin75的值，即sin75=sin（30+45）=sin30os45+cos30sin45=．試用公式cos（α+β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ，求出cos75的值是　?。? 　 三、計算題： 21．計算：﹣+﹣﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0． 22． cos30+sin245cos60﹣﹣tan45． 　 四、解答題 23．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120，對角線AC平分∠BCD，且梯形周長為20厘米，求AC的長． 24．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，M是BC的中點，DE⊥AM于點E，且AB、BC的長是一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩根，求△DEM的面積． 25．如圖，一艘輪船原在A處，它的北偏東45方向上有一燈塔P，輪船沿著北偏西30方向航行4小時到達(dá)B處，這時燈塔P正好在輪船的正東方向上，已知輪船的速度為25海里/時．求輪船在B處時與燈塔P的距離（結(jié)果保留根號）． 26．某自然景區(qū)有一塊長12米，寬8米的矩形花圃（如圖所示），噴水無安裝在矩對角線的交點P上，現(xiàn)計算從P點引3條射線，把花圃分成面積相等的三部分，分別種植三種不同的花，如果不考慮分不分的間隙． （1）請你設(shè)計出符合題意方案示意圖（只要求畫出圖形，至少設(shè)計兩個方案）； （2）直接寫出三條射線與矩形的有關(guān)邊的交點位置； （3）試判斷設(shè)計的方案中，所畫出的三個面積相等的圖形是否位似？ 27．一個不透明的袋子中裝有三個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5．從袋子中隨機(jī)取出一個小球，用小球上的數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后放回；再取出一個小球，用小球上的數(shù)字作為個位上的數(shù)字，這樣組成一個兩位數(shù)．試問：按這種方法能組成哪些兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和為9的兩位數(shù)的概率是多少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明． 　 五、解答題 28．已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2． （1）求k的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由． 29．已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點E是邊CD上的動點（點E不與端點C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P． （1）設(shè)DE=m（0＜m＜12），試用含m的代數(shù)式表示的值； （2）在（1）的條件下，當(dāng)時，求BP的長． 　  2015-2016學(xué)年四川省樂山市峨眉山市博睿特外國語學(xué)校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．若x的算術(shù)平方根為8，則它的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．4 【考點】立方根；算術(shù)平方根． 【分析】直接利用算術(shù)平方根的定義得出x的值，進(jìn)而結(jié)合立方根的定義得出答案． 【解答】解：∵x的算術(shù)平方根為8， ∴x=64， ∴64的立方根是：4． 故選：C． 【點評】此題主要考查了立方根以及算術(shù)平方根，正確得出x的值是解題關(guān)鍵． 　 2．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（　?。? A．m=2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2 【考點】一元二次方程的定義． 【專題】壓軸題． 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義，必須滿足兩個條件： （1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （2）二次項系數(shù)不為0．據(jù)此即可求解． 【解答】解：由一元二次方程的定義可得，解得：m=2．故選B． 【點評】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點． 　 3．若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的兩個實數(shù)根x1，x2，且x1?x2＞x1+x2﹣4，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．m＞ B．m≤ C．m＜ D．＜m≤ 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式． 【專題】壓軸題． 【分析】關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的兩個實數(shù)根x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2==1，x1?x2==，然后將其代入x1?x2＞x1+x2﹣4可得關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．同時一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的有兩個實數(shù)根，有△=b2﹣4ac≥0，也得到關(guān)于m的不等式，也可以得到一個m的取值范圍．把兩個范圍結(jié)合起來即可求出m的取值范圍． 【解答】解：依題意得x1+x2==1，x1?x2==， 而x1?x2＞x1+x2﹣4， ∴＞﹣3， 得m＞； 又一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的有兩個實數(shù)根， ∴△=b2﹣4ac≥0， 即4﹣42（3m﹣1）≥0， 解可得m≤． ∴＜m≤． 故選D． 【點評】本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)關(guān)系即韋達(dá)定理，兩根之和是，兩根之積是． 　 4．某個體商販在一次買賣中，賣出兩件上衣，每件都按135元出售，按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%．則在這次買賣中他（　?。? A．不賠不賺 B．賺9元 C．賠18元 D．賺8元 【考點】一元一次方程的應(yīng)用． 【分析】要知道賠賺，就要先算出兩件衣服的原價，要算出原價就要先設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解即可． 【解答】解：設(shè)在這次買賣中原價都是x， 則可列方程：（1+25%）x=135， 解得：x=108， 比較可知，第一件賺了27元； 第二件可列方程：（1﹣25%）x=135， 解得：x=180， 比較可知虧了45元， 兩件相比則一共虧了45﹣27=18元． 故選C． 【點評】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明白盈利與虧本的含義，準(zhǔn)確列出計算式，計算結(jié)果，難度一般． 　 5．若實數(shù)x，y，z滿足關(guān)系式2x+3y﹣z=0，5x﹣2y﹣2z=0，則x：y：z的值為（　?。? A．2：3：1 B．5：2：2 C．8：1：19 D．8：1：1 【考點】比例的性質(zhì)；解三元一次方程組． 【分析】將z看作常數(shù)，解關(guān)于x、y的二元一次方程組求出x、y，然后相比計算即可得解． 【解答】解：聯(lián)立， ①2得，4x+6y﹣2z=0③， ②3得，15x﹣6y﹣6z=0④， ③+④得，19x=8z， 解得x=z， 將x=z代入①得，2z+3y﹣z=0， 解得y=z， 所以，方程組的解是， 所以，x：y：z=z： z：z=8：1：19． 故選C． 【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，解三元一次方程組，難點在于將一個未知數(shù)看作常數(shù)并表示出另外兩個未知數(shù)． 　 6．若方程組只有一組實數(shù)解，則k的值是（　?。? A．1 B．﹣1 C．1 D．0 【考點】高次方程；根的判別式． 【專題】創(chuàng)新題型． 【分析】方程組有一個一次方程和一個二次方程構(gòu)成，由于方程組只有一組實數(shù)解，所以一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．把（2）代入（1），得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式為0．確定k的值． 【解答】解：由（2）得，3y=x﹣k（3）；把（3）代入（1）得，x2﹣4（x﹣k）=0，即x2﹣4x+4k=0．由于方程組只有一組實數(shù)解，所以關(guān)于x的二次方程有兩個相等的實數(shù)根．△=（﹣4）2﹣414k=16﹣16k=0，解得k=1． 故選A． 【點評】本題考查了方程組的解法和一元二次方程根的判別式．理解“只有一組實數(shù)解”，把方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程是關(guān)鍵．若解決本題，變形（2）用含y的代數(shù)式表示x，題目會變的復(fù)雜． 　 7．一等腰梯形中，高為2，下底為4，下底的底角正弦值為，那么它的上底和腰長分別為（　?。? A．2， B．1， C．1，2 D．2，5 【考點】等腰梯形的性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，則四邊形AFED是矩形，先證明Rt△ABF≌Rt△DCE，再在Rt△DCE中，根據(jù)sinC==，求出DC，再根據(jù)勾股定理求出CE、BF即可解決問題． 【解答】解：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，則四邊形AFED是矩形， ， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE， ∴BF=CE， 在Rt△DCE中，∵sinC==， ∴=， ∴DC=， ∴EC=BF===， ∴AD=EF=BC﹣2EC=4﹣2=1． 故選B． 【點評】本題考查等腰梯形的性質(zhì)、解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是作雙高，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，屬于中考?？碱}型． 　 8．如圖，在?ABCD中，E為CD的中點，AE交BD于點O，S△DCE=12，則S△AOD等于（　?。? A．24 B．36 C．48 D．60 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先證△DOE∽△BOA，求出相似比為，故EO與AO之比為，即可求得S△AOD=2S△DOE． 【解答】解：∵在?ABCD中，E為CD中點， ∴DE∥AB，DE=AB， 在△DOE與△BOA中， ∠DOE=∠BOA，∠OBA=∠ODE， ∴△DOE∽△BOA， ∴==， ∴S△AOD=2S△DOE=212=24． 故選（A）． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．尋找相似三角形的一般方法是通過平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形． 　 9．在△ABC中，∠C=90，∠A=30，若CD是高，且CD=1，則a，b，c三邊的長分別是（　　） A．a(chǎn)=，b=2，c= B．a(chǎn)=2，b=，c= C．a(chǎn)=，b=2，c= D．a(chǎn)=2，b=2，c=4 【考點】含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形求出AB=2，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B，求出∠BCD，根據(jù)三角函數(shù)求得BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB即可． 【解答】解：∵∠A=30，CD=1，CD是高， ∴b=AC=2CD=2， ∵∠C=90， ∴∠B=60， ∴∠BCD=30， ∴a=BC===， ∴c=AB=2BC=， 故選C． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用含30度角的直角三角形性質(zhì)進(jìn)行推理，題目比較典型，難度適中． 　 10．如圖，從地面上C、D兩處望山頂A，仰角分別為30和45，若C、D兩處相距200米，則山高AB為（　　） A．100（+1）米 B．100米 C．100 D．200 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題． 【分析】設(shè)山高AB為x，根據(jù)∠ADB=45可得出AB=BD=x，在Rt△ABC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)山高AB為x， ∵∠ADB=45， ∴AB=BD=x， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=30， ∴=tan30，即=，解得x=100（+1）米． 故選A． 【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵． 　 11．下列說法正確的是（　?。? A．一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)拋擲了2000次，其中，拋擲出5點的次數(shù)最少，則第2001次一定拋擲出5點 B．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票一定會中獎 C．天氣預(yù)報說明天下雨的概率是50%，所以明天將有一半時間在下雨 D．拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等 【考點】概率的意義． 【專題】壓軸題． 【分析】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會的大小，機(jī)會大也不一定發(fā)生． 【解答】解：A、是隨機(jī)事件，錯誤； B、中獎的概率是1%，買100張該種彩票不一定會中獎，錯誤； C、明天下雨的概率是50%，是說明天下雨的可能性是50%，而不是明天將有一半時間在下雨，錯誤； D、正確． 故選D． 【點評】正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵．注意隨機(jī)事件的條件不同，發(fā)生的可能性也不等． 　 12．如圖，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC邊上至少存在一點P，使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似，則a、b間的關(guān)系式一定滿足（　?。? A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)≥b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≥2b 【考點】相似三角形的性質(zhì)；根的判別式；解分式方程． 【專題】壓軸題；存在型；方程思想；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】本題可結(jié)合方程思想來解答．由于△ABP和△DCP相似，可得出關(guān)于AB、PC、BP、CD的比例關(guān)系式．設(shè)PC=x，那么BP=a﹣x，根據(jù)比例關(guān)系式可得出關(guān)于x的一元二次方程，由于BC邊上至少有一點符合條件的P點，因此方程的△≥0，由此可求出a、b的大小關(guān)系． 【解答】解：若設(shè)PC=x，則BP=a﹣x， ∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 即x2﹣ax+b2=0方程有解的條件是：a2﹣4b2≥0， ∴（a+2b）（a﹣2b）≥0，則a﹣2b≥0， ∴a≥2b． 故本題選D． 【點評】本題是存在性問題，可以轉(zhuǎn)化為方程問題，利用判斷方程的解的問題來解決． 　 13．如圖，△ABC中，邊BC=12，高AD=6．矩形MNPQ的邊在BC上，頂點P在AB上，頂點N在AC上，若S矩形MNPQ=y，則y與x的關(guān)系式為（　　） A．y=6﹣x（0＜x＜12） B．y=﹣x2+6x（0＜x＜12） C．y=2x2﹣12x（0＜x＜12） D．y=x2+6x（0＜x＜12） 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；矩形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△APN∽△ABC，那么它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)高的比相等，可據(jù)此求出△APN中PN邊上的高的表達(dá)式，進(jìn)而可求出MN的長，根據(jù)矩形的長和寬，即可得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式． 【解答】解：設(shè)△APN中PN邊上的高為h， ∵矩形MNPQ的邊在BC上，頂點P在AB上，頂點N在AC上， ∴PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴，即， ∴h=x， ∴MN=6﹣x， ∵S矩形MNPQ=PN?MN ∴y=x（6﹣x）， 即y=﹣x2+6x（0＜x＜12）． 故選（B）． 【點評】本題主要考查的是相似三角形的應(yīng)用及矩形的面積的計算，熟知相似三角形對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵． 　 二、填空題． 14．計算： ①+﹣（﹣4）0=　﹣1?。? ②3=　1?。? 【考點】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)冪． 【分析】①根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式化簡進(jìn)行計算即可； ②先把除法化為乘法，再進(jìn)行計算即可． 【解答】解：①原式=+﹣1 =﹣1， ②原式=3 =1， 故答案為﹣1，1． 【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握把二次根式化為最簡二次根式是解題的關(guān)鍵． 　 15．m是方程x2﹣x﹣2=0的根，則m2﹣m=　2?。? 【考點】一元二次方程的解． 【分析】利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把m代入方程x2﹣x﹣2=0后即得m2﹣m=2． 【解答】解：把m代入方程x2﹣x﹣2=0，得到m2﹣m﹣2=0則m2﹣m=2． 故本題答案為m2﹣m=2． 【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義． 　 16．觀察下列等式：12﹣02=1；22﹣12=3；32﹣22=5；42﹣32=7；…用含自然數(shù)n的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為?。╪+1）2﹣n2=2n+1?。? 【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類． 【分析】觀察幾個等式可知，等式左邊為相鄰兩數(shù)的平方差，右邊的結(jié)果為兩個底數(shù)的和，由此得出一般規(guī)律． 【解答】解：∵12﹣02=1=1+0；22﹣12=3=2+1；32﹣22=5=3+2；42﹣32=7=4+3， ∴（n+1）2﹣n2=（n+1）+n=2n+1． 故答案為：（n+1）2﹣n2=2n+1． 【點評】本題考查了數(shù)字變化的規(guī)律．關(guān)鍵是觀察等式左邊兩底數(shù)的關(guān)系及等式右邊的結(jié)果與等式左邊兩底數(shù)的關(guān)系． 　 17．如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F．若BG：GA=3：1，BC=10，則AE的長為　5?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例求出BF：AE的值，再根據(jù)D是AC的中點得到CF與AE相等，列出等式求解即可． 【解答】解：∵AE∥BC ∴△AEG∽△BFG ∴BG：GA=3：1=BF：AE ∵D為AC邊上的中點 ∴AE：CF=1：1 ∴AE=CF ∴BF：AE=（CF+BC）：AE=3：1 ∴（AE+10）：AE=3：1 解得：AE=5． 【點評】本題主要利用三角形的相似及中點的性質(zhì)求AE的值． 　 18．為抵御百年不遇的洪水，某市政府決定將1200m長的大堤的迎水坡面鋪石加固，堤高DF=4m，堤面加寬2m，則完成這一工程需要的石方數(shù)為　144000　m3． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】由題意可知，要求的石方數(shù)其實就是橫截面為ABCD的立方體的體積．那么求出四邊形ABCD的面積即可． 【解答】解：∵Rt△BFD中，∠DBF的坡度為1：2， ∴BF=2DF=8， ∴S△BDF=BFFD2=16． ∵Rt△ACE中，∠A的坡度為1：2.5， ∴CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10． S梯形AFDC=（AE+EF+CD）DF2=28． ∴S四邊形ABCD=S梯形AFDC﹣S△BFD=12． 那么所需的石方數(shù)應(yīng)該是1212000=144000（立方米）， 故答案為：144000． 【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 　 19．如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，則點A′的坐標(biāo)為?。ǎ。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】如圖，作輔助線；根據(jù)題意首先求出AB、BC的長度；借助面積公式求出A′D、OD的長度，即可解決問題． 【解答】解：如圖，過點A′作A′D⊥x軸與點D； 設(shè)A′D=λ，OD=μ； ∵四邊形ABCO為矩形， ∴∠OAB=∠OCB=90；四邊形ABA′D為梯形； 設(shè)AB=OC=γ，BC=AO=ρ； ∵OB=，tan∠BOC=， ∴， 解得：γ=2，ρ=1； 由題意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO； 由勾股定理得：λ2+μ2=1①， 由面積公式得：②； 聯(lián)立①②并解得：λ=，μ=． 故答案為（，）． 【點評】該題以平面直角坐標(biāo)系為載體，以翻折變換為方法構(gòu)造而成；綜合考查了矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理等幾何知識點；對分析問題解決問題的能力提出了較高的要求． 　 20．下面是我們將在高中階段所要學(xué)習(xí)的一個內(nèi)容，請先閱讀這段內(nèi)容．再解答問題，三角函數(shù)中常用公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，．求sin75的值，即sin75=sin（30+45）=sin30os45+cos30sin45=．試用公式cos（α+β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ，求出cos75的值是　﹣?。? 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】將75化為30和45兩個特殊角，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來解答． 【解答】解：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ， =cos（30+45）=cos30cos45﹣sin30sin45 =﹣=﹣， 故答案為：﹣． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答此題要熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能把“新定義”的問題轉(zhuǎn)化為已知問題解答． 　 三、計算題： 21．計算：﹣+﹣﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0． 【考點】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)冪． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)分母有理化、去絕對值、零指數(shù)冪可以解答本題． 【解答】解：﹣+﹣﹣|1﹣2|﹣（﹣3）0 =﹣+﹣（﹣1）﹣（2﹣1）﹣1 =﹣+﹣1﹣+1﹣2+1﹣1 =﹣2． 【點評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是明確二次根式的混合運(yùn)算的計算方法，知道除零以外任何數(shù)的零次冪都等于1． 　 22．cos30+sin245cos60﹣﹣tan45． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及乘方的意義計算即可得到結(jié)果． 【解答】解： cos30+sin245cos60﹣﹣tan45 =+（）2﹣+1﹣1 =﹣． 【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 四、解答題 23．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120，對角線AC平分∠BCD，且梯形周長為20厘米，求AC的長． 【考點】梯形． 【分析】由已知可得梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及已知可求得AB、BC的長，再由勾股定理求得AC的長即可， 【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB=DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠D+∠DCB=180， ∵∠D=120， ∴∠B=∠DCB=60， ∵對角線CA平分∠BCD， ∴∠ACB=30， ∵AD=DC， ∴∠DAC=∠ACD=30， ∴∠BAC=90， ∴BC=2AB， ∵梯形的周長=AD+DC+BC+AB=5AB=20， ∴AB=4，BC=8， ∴AC===4（cm）． 【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是弄清各邊之間的關(guān)系，從而根據(jù)周長求得各邊的長． 　 24．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，M是BC的中點，DE⊥AM于點E，且AB、BC的長是一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩根，求△DEM的面積． 【考點】矩形的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先求出方程的解，求出AB、BC，根據(jù)勾股定理求出AM，證△DEA∽△ABM，得出比例式，求出DE和AE，即可求出答案． 【解答】解：解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4， ∵AB＜BC，AB、BC的長是一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩根， ∴AB=3，BC=4， ∵四邊形ABCD是矩形，M為BC的中點， ∴AD=BC=4，BM=CM=2，∠B=90，AD∥BC， ∴∠DAE=∠AMB， 由勾股定理得：AM==， ∵DE⊥AM， ∴∠DEA=∠B=90， ∴△DEA∽△ABM， ∴==， ∴==， 解得：DE=，AE=， ∴EM=AM﹣AE=﹣=， ∴△DEM的面積為DEEM==． 【點評】本題考查了解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出DE、AM的長是解此題的關(guān)鍵． 　 25．如圖，一艘輪船原在A處，它的北偏東45方向上有一燈塔P，輪船沿著北偏西30方向航行4小時到達(dá)B處，這時燈塔P正好在輪船的正東方向上，已知輪船的速度為25海里/時．求輪船在B處時與燈塔P的距離（結(jié)果保留根號）． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】可做AC⊥BP，從而構(gòu)造兩個直角三角形，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可． 【解答】解：作AC⊥BP，在Rt△ABC中，∠BAC=30，AB=254=100， ∴BC=50，AC=50， 在Rt△ACP中，∠CAP=∠APC=45， ∴CP=AC=50． ∴BP=BC+CP=50+50． 答：輪船在B處時與燈塔P的距離為（50+50）海里． 【點評】本題主要考查方向角問題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線． 　 26．某自然景區(qū)有一塊長12米，寬8米的矩形花圃（如圖所示），噴水無安裝在矩對角線的交點P上，現(xiàn)計算從P點引3條射線，把花圃分成面積相等的三部分，分別種植三種不同的花，如果不考慮分不分的間隙． （1）請你設(shè)計出符合題意方案示意圖（只要求畫出圖形，至少設(shè)計兩個方案）； （2）直接寫出三條射線與矩形的有關(guān)邊的交點位置； （3）試判斷設(shè)計的方案中，所畫出的三個面積相等的圖形是否位似？ 【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；位似變換． 【分析】（1）將長方形的四個邊均三等分，將三等分點都與中心點連接，這樣就做成了12個等面積的小三角形，把它們?nèi)我庀噜彽乃膫€組合在一起即可； （2）根據(jù)各點為正方形邊長的三等分點即可得出結(jié)論； （3）根據(jù)三個圖形的邊長即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖所示． 射線PE，PF及PB即為所求； （2）∵點E為線段AD的三等分點，點F為線段CD的三等分點，AD=12米，CD=8米， ∴AE=12=4米，CF=8=米， ∴點E在距點A4米處；點F在距點C米處；點B為矩形的頂點； （3）由圖可知，所畫出的三個面積相等的圖形不相似． 【點評】本題考查的是作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟知矩形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 27．（2006?沈陽）一個不透明的袋子中裝有三個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5．從袋子中隨機(jī)取出一個小球，用小球上的數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后放回；再取出一個小球，用小球上的數(shù)字作為個位上的數(shù)字，這樣組成一個兩位數(shù)．試問：按這種方法能組成哪些兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和為9的兩位數(shù)的概率是多少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率． 【解答】解：方法一 第一次 第二次 3 4 5 3 （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，3） （5，4） （5，5） ； 方法二 因此，能組成的兩位數(shù)有：33、34、35、43、44、45、53、54、55， ∵組成的兩位數(shù)有9個， 其中，十位上數(shù)字與個位上數(shù)字之和為9的兩位數(shù)有兩個， ∴P（十位上數(shù)字與個位上數(shù)字之和為9的兩位數(shù)）=． 【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 五、解答題 28．已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2． （1）求k的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由． 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】計算題． 【分析】（1）因為方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．得出其判別式△＞0，可解得k的取值范圍； （2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出對應(yīng)的不等式即可解的k的值． 【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2， 可得k﹣1≠0， ∴k≠1且△=﹣12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，設(shè)為 x1，x2， ∵x1+x2=0， ∴， ∴， 又∵且k≠1 ∴k不存在． 【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q． 　 29．已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點E是邊CD上的動點（點E不與端點C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P． （1）設(shè)DE=m（0＜m＜12），試用含m的代數(shù)式表示的值； （2）在（1）的條件下，當(dāng)時，求BP的長． 【考點】正方形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）通過構(gòu)建相似三角形來求解，過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點．那么MH就是三角形ADE的中位線，MH=m，那么HN=12﹣m，只要證出兩三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一組對頂角，一組直角，那么兩三角形就相似，F(xiàn)H：HG=MH：NH，也就能得到所求的值． （2）可通過構(gòu)建相似三角形求解，過點H作HK⊥AB于點K，那么HN=KB，MH=AK，根據(jù)FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的長，又知道了HK的長，那么通過三角形AKH和HKP相似我們可得出關(guān)于AK，KH，KP的比例關(guān)系，就可求出KP的長，然后BP=KP﹣KB就能求出BP的長了． 【解答】解：（1）過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點， ∵FP是線段AE的垂直平分線， ∴AH=EH， ∵M(jìn)H∥DE， ∴Rt△AHM∽Rt△AED， ∴==1， ∴AM=MD，即點M是AD的中點， ∴AM=MD=6， ∴MH是△ADE的中位線，MH=DE=m， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形ABNM是矩形， ∵M(jìn)N=AD=12， ∴HN=MN﹣MH=12﹣m， ∵AD∥BC， ∴Rt△FMH∽Rt△GNH， ∴， 即（0＜m＜12）； （2）過點H作HK⊥AB于點K，則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形． ∵， 解得m=8， ∴MH=AK=m=8=4，HN=KB=12﹣m=12﹣m=8，KH=AM=6， ∵Rt△AKH∽Rt△HKP， ∴，即KH2=AK?KP， 又∵AK=4，KH=6， ∴62=4?KP，解得KP=9， ∴BP=KP﹣KB=9﹣8=1． 【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，要充分利用好正方形的性質(zhì)，通過已知和所求的條件構(gòu)建出相似三角形來求解是解題的關(guān)鍵．