八年級數(shù)學下學期期末試卷（含解析） 北師大版

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江西省吉安市吉州區(qū)2015-2016學年八年級（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個正確選項）1不等式2x13的解集為（）Ax2Bx1Cx1Dx22下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）ABCD3分式方程=的解為（）Ax=0Bx=3Cx=5Dx=94如圖所示，在ABC中，AC=BC，C=90，AD平分CAB交BC于點D，DEAB于點E，若AB=6cm，則DEB的周長為（）A12cmB8cmC6cmD4cm5如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AEBC交于點E，以點B為中心，取旋轉角等于ABC，把BAE順時針旋轉，得到BAE，連接DA，若ADC=60，ADA=50，則DAE的大小為（）A130B150C160D1706一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結論：當x3時，y10；當x3時，y20；當x3時，y1y2中，正確的個數(shù)是（）A0B1C2D3二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）7如果分式有意義，那么x的取值范圍是_8如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則1+2+3+4+5=_9閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線已知：線段AB（如圖1）小蕓的作法如下：如圖2（1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點（2）作直線CD老師說：“小蕓的作法正確”請回答：小蕓的作圖依據(jù)是_10分解因式（ab）（a4b）+ab的結果是_11如圖，四邊形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為_12在同一平面內(nèi)，已知點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則APC的度數(shù)為_三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分）13解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解請結合題意填空，完成本題的解答（1）解不等式，得_（2）解不等式，得_；（3）把不等式和的解集在數(shù)軸上表示出來：（4）原不等式的解集為_（5）則不等式組的所有整數(shù)解為：_14如圖，在ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BEAC于點E，求證：CBE=BAD15先化簡：（1），再選擇一個恰當?shù)膞值代入求值16在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解17已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE求證：DEBE四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分）18為解決“最后一公里”的交通接駁問題，某市投放了大量公租自行車使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點600個，預計到2016年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量是2014年底平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量的1.2倍，預計到2016年底，全市將有租賃點多少個？19如圖1，ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖2，若EFAB，GHBC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）20ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示（1）作ABC關于點C成中心對稱的A1B1C1（2）將A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的A2B2C2（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）21小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？（2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當天對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0a20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調(diào)整進貨方案才能獲得最大利潤？五、解答題（共1小題，滿分10分）22（10分）（2015重慶）如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”再如：33，181，212，4664，都是“和諧數(shù)”（1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設個位上的數(shù)字為x（1x4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關系式六、解答題（共1小題，滿分12分）23（12分）（2015重慶）在ABC中，AB=AC，A=60，點D是線段BC的中點，EDF=120，DE與線段AB相交于點EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F（1）如圖1，若DFAC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DNAC于點N，若DNAC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BECF）2015-2016學年江西省吉安市吉州區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個正確選項）1不等式2x13的解集為（）Ax2Bx1Cx1Dx2【考點】解一元一次不等式【分析】不等式移項合并，把x形式化為1，即可求出解集【解答】解：不等式移項合并得：2x4，解得：x2，故選D【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵2下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）ABCD【考點】中心對稱圖形【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解【解答】解：由中心對稱圖形的定義知，繞一個點旋轉180后能與原圖重合，只有選項B是中心對稱圖形故選：B【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一點旋轉180后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心3分式方程=的解為（）Ax=0Bx=3Cx=5Dx=9【考點】解分式方程【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x=3x9，解得：x=9，經(jīng)檢驗x=9是分式方程的解，故選D【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解解分式方程一定注意要驗根4如圖所示，在ABC中，AC=BC，C=90，AD平分CAB交BC于點D，DEAB于點E，若AB=6cm，則DEB的周長為（）A12cmB8cmC6cmD4cm【考點】等腰直角三角形；角平分線的性質(zhì)【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由角平分線的性質(zhì)得出DE=CD，進而可得出結論【解答】解：在ABC中，AC=BC，C=90，AB=6cm，BC2+AC2=AB2，即2BC2=36，解得BC=AC=3cmAD平分CAB交BC于點D，DEAB于點E，CD=DE在RtACD與RtAED中，RtACDRtAED（HL），AE=AC=3cm，BE=ABAE=（63）cm，DEB的周長=（BD+DE）+BE=BC+BE=3+63=6cm故選C【點評】本題考查的是等腰直角三角形，先根據(jù)題意得出BC的長是解答此題的關鍵5如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AEBC交于點E，以點B為中心，取旋轉角等于ABC，把BAE順時針旋轉，得到BAE，連接DA，若ADC=60，ADA=50，則DAE的大小為（）A130B150C160D170【考點】旋轉的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等得ABC=60，由平行同旁內(nèi)角互補得BAD=130，由旋轉得BAE=30，兩角相加可得結論【解答】解：在ABCD中，ADBC，BAD=180ADA=18050=130，ADC=60，ABC=ADC=60，在RtAEB中，BAE=9060=30，由旋轉得：BAE=BAE=30，DAE=130+30=160；故選C【點評】本題考查了旋轉和平行四邊形的性質(zhì)，難度不大，所求的角不能直接求出時，可將此角分成兩個角來求；利用平行四邊形對邊平行和對角相等解決問題；同時，還運用了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后的兩個三角形全等，則對應角相等得出角的大小關系6一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結論：當x3時，y10；當x3時，y20；當x3時，y1y2中，正確的個數(shù)是（）A0B1C2D3【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的位置進行判斷，從函數(shù)圖象來看，就是確定直線y=kx+b是否在在x軸上（或下）方【解答】解：根據(jù)圖象可知：當x3時，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象在x軸上方，故y10；當x3時，一次函數(shù)y2=x+a的圖象一部分在x軸上方，一部分在x軸下方，故y20或y2=0或y20；當x3時，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象在一次函數(shù)y2=x+a的圖象的下方，故y1y2，所以正確的有和故選（C）【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）7如果分式有意義，那么x的取值范圍是x3【考點】分式有意義的條件【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0，列出算式，計算得到答案【解答】解：由題意得，x+30，即x3，故答案為：x3【點評】本題考查的是分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義分母為零；（2）分式有意義分母不為零；（3）分式值為零分子為零且分母不為零8如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則1+2+3+4+5=360【考點】多邊形內(nèi)角與外角【分析】首先根據(jù)圖示，可得1=180BAE，2=180ABC，3=180BCD，4=180CDE，5=180DEA，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出五邊形ABCDE的內(nèi)角和是多少，再用1805減去五邊形ABCDE的內(nèi)角和，求出1+2+3+4+5等于多少即可【解答】解：1+2+3+4+5=（180BAE）+（180ABC）+（180BCD）+（180CDE）+（180DEA）=1805（BAE+ABC+BCD+CDE+DEA）=900（52）180=900540=360故答案為：360【點評】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）n邊形的內(nèi)角和=（n2）180 （n3）且n為整數(shù)）（2）多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為3609閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線已知：線段AB（如圖1）小蕓的作法如下：如圖2（1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點（2）作直線CD老師說：“小蕓的作法正確”請回答：小蕓的作圖依據(jù)是到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】直接利用作圖方法得出C點到A，B點距離相等，D點到A，B點距離相等，即可得出直線CD垂直平分AB【解答】解：小蕓的作圖依據(jù)是：到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上故答案為：到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上【點評】此題主要考查了基本作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關鍵10分解因式（ab）（a4b）+ab的結果是（a2b）2【考點】因式分解-運用公式法【分析】首先去括號，進而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：（ab）（a4b）+ab=a25ab+4b2+ab=a24ab+4b2=（a2b）2故答案為：（a2b）2【點評】此題主要考查了多項式乘法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵11如圖，四邊形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為3【考點】三角形中位線定理；勾股定理【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3【解答】解：ED=EM，MF=FN，EF=DN，DN最大時，EF最大，N與B重合時DN最大，此時DN=DB=6，EF的最大值為3故答案為3【點評】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應用，熟練掌握定理是解題的關鍵12在同一平面內(nèi)，已知點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則APC的度數(shù)為15或30或60或75或150【考點】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，找出點P的位置，求得APC的度數(shù)即可【解答】解：根據(jù)點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，作出如下圖形：由圖可得：AP1C=15，AP2C=30，AP3C=60，AP4C=75，AP5C=150故答案為：15或30或60或75或150【點評】本題主要考查了等邊三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形進行求解，注意分類思想的運用三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分）13解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解請結合題意填空，完成本題的解答（1）解不等式，得x3（2）解不等式，得x5；（3）把不等式和的解集在數(shù)軸上表示出來：（4）原不等式的解集為3x5（5）則不等式組的所有整數(shù)解為：3，4，5【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出即可；（3）把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可；（4）根據(jù)數(shù)軸求出不等式組的解集即可；（5）根據(jù)不等式組的解集求出不等式組的整數(shù)解即可【解答】解：（1）解不等式得：x3，故答案為：x3；（2）解不等式得：x5，故答案為：x5；（3）把不等式和的解集在數(shù)軸上表示為：；（4）所以原不等式組的解集為3x5，故答案為：3x5；（5）不等式組的所有整數(shù)解為3，4，5，故答案為：3，4，5【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，不等式組的整數(shù)解的應用，能根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集是解此題的關鍵14如圖，在ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BEAC于點E，求證：CBE=BAD【考點】等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得CAD=BAD，根據(jù)同角的余角相等可得：CBE=CAD，再根據(jù)等量關系得到CBE=BAD【解答】證明：AB=AC，AD是BC邊上的中線，BEAC，CBE+C=CAD+C=90，CAD=BAD，CBE=BAD【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角的知識，解題要注意等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合15先化簡：（1），再選擇一個恰當?shù)膞值代入求值【考點】分式的化簡求值【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x=2代入計算即可求出值【解答】解：原式=（）=x+1，當x=2時，原式=2+1=1【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵16在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解【考點】因式分解的應用；整式的加減【分析】本題考查整式的加法運算，要先去括號，然后合并同類項，最后進行因式分解本題答案不唯一【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；方法三：（x2+2xy）（y2+2xy）=x2y2=（x+y）（xy）；方法四：（y2+2xy）（x2+2xy）=y2x2=（y+x）（yx）【點評】本題考查了整式的加減，整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，因式分解時先考慮提取公因式，沒有公因式的再考慮運用完全平方公式或平方差公式進行因式分解17已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE求證：DEBE【考點】平行四邊形的性質(zhì)【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出OD=OB，再根據(jù)OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得OEB+OED=90，即可得出結論【解答】證明：平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，OD=OB，又OE=OB，OE=OB=OD，OBE=OEB，ODE=OED，又OBE+OEB+ODE+OED=180，OEB+OED=90，DEBE【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決問題的關鍵是運用三角形內(nèi)角和定理進行計算，求得BED的度數(shù)四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分）18為解決“最后一公里”的交通接駁問題，某市投放了大量公租自行車使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點600個，預計到2016年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量是2014年底平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量的1.2倍，預計到2016年底，全市將有租賃點多少個？【考點】分式方程的應用【分析】根據(jù)租賃點的公租自行車數(shù)量變化表示出2014年和2016年平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量，進而得出等式求出即可【解答】解：設到2016年底，全市將有租賃點x個，根據(jù)題意可得：1.2=，解得：x=1000，經(jīng)檢驗得：x=1000是原方程的根，答：到2016年底，全市將有租賃點1000個【點評】此題主要考查了分式的方程的應用，根據(jù)題意得出正確等量關系是解題關鍵19如圖1，ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖2，若EFAB，GHBC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到ADBC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EAO=FCO，證出OAEOCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到結論；（2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到結論【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，EAO=FCO，在OAE與OCF中，OAEOCF，OE=OF，同理OG=OH，四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH；四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，EFAB，GHBC，四邊形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH為平行四邊形，EF過點O，GH過點O，OE=OF，OG=OH，GBCH，ABFE，EFCD，EGFH，ACHD它們面積=ABCD的面積，與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵20ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示（1）作ABC關于點C成中心對稱的A1B1C1（2）將A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的A2B2C2（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）【考點】作圖-旋轉變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換【分析】（1）延長AC到A1，使得AC=A1C1，延長BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象；（2）根據(jù)A1B1C1將各頂點向右平移4個單位，得出A2B2C2；（3）作出A1關于x軸的對稱點A，連接AC2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點坐標即可【解答】解；（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）如圖所示：作出A1關于x軸的對稱點A，連接AC2，交x軸于點P，可得P點坐標為：（，0）【點評】此題主要考查了圖形的平移與旋轉和相似三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱求最小值問題是考試重點，同學們應重點掌握21小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？（2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當天對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0a20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調(diào)整進貨方案才能獲得最大利潤？【考點】一次函數(shù)的應用；一元一次不等式的應用【分析】（1）設購進甲種服裝x件，根據(jù)題意列出關于x的一元一次不等式，解不等式得出結論；（2）找出利潤w關于購進甲種服裝x之間的關系式，分a的情況討論【解答】解：（1）設購進甲種服裝x件，由題意可知：80x+60（100x）7500，解得：x75答：甲種服裝最多購進75件（2）設總利潤為w元，因為甲種服裝不少于65件，所以65x75，w=（12080a）x+（9060）（100x）=（10a）x+3000，方案1：當0a10時，10a0，w隨x的增大而增大，所以當x=75時，w有最大值，則購進甲種服裝75件，乙種服裝25件；方案2：當a=10時，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進貨都可以；方案3：當10a20時，10a0，w隨x的增大而減少，所以當x=65時，w有最大值，則購進甲種服裝65件，乙種服裝35件【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用與解一元一次不等式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)題意列出關于x的一元一次不等式；（2）找出利潤w關于購進甲種服裝x的關系式，由函數(shù)的性質(zhì)分a的情況討論本題屬于中檔題，（1）難度不大，（2）需要分a的情況討論五、解答題（共1小題，滿分10分）22（10分）（2015重慶）如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”再如：33，181，212，4664，都是“和諧數(shù)”（1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設個位上的數(shù)字為x（1x4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關系式【考點】因式分解的應用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；函數(shù)關系式【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”寫出四個四位數(shù)的“和諧數(shù)”；設任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則這個四位數(shù)為a103+b102+b10+a=1001a+110b，利用整數(shù)的整除得到=91a+10b，由此可判斷任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除；（2）設能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則這個三位數(shù)為x102+y10+x=101x+10y，由于=9x+y+，根據(jù)整數(shù)的整除性得到2xy=0，于是可得y與x的關系式【解答】解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666；任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下：設任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則a103+b102+b10+a=1001a+110b，=91a+10b四位數(shù)“和諧數(shù)”abba能被11整數(shù)；任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除（2）設能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則x102+y10+x=101x+10y，=9x+y+，1x4，101x+10y能被11整除，2xy=0，y=2x（1x4）【點評】本題考查了因式分解的應用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題靈活利用整數(shù)的整除性六、解答題（共1小題，滿分12分）23（12分）（2015重慶）在ABC中，AB=AC，A=60，點D是線段BC的中點，EDF=120，DE與線段AB相交于點EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F（1）如圖1，若DFAC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DNAC于點N，若DNAC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BECF）【考點】幾何變換綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【分析】（1）如圖1，易求得B=60，BED=90，BD=2，然后運用三角函數(shù)的定義就可求出BE的值；（2）過點D作DMAB于M，作DNAC于N，如圖2，易證MBDNCD，則有BM=CN，DM=DN，進而可證到EMDFND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）過點D作DMAB于M，如圖3同（1）可得：B=ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，從而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM然后在RtBMD中，運用三角函數(shù)就可得到DM=BM，即BE+CF=（BECF）【解答】解：（1）如圖1，AB=AC，A=60，ABC是等邊三角形，B=C=60，BC=AC=AB=4點D是線段BC的中點，BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90，AED=3606090120=90，BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2=1；（2）過點D作DMAB于M，作DNAC于N，如圖2，則有AMD=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360609090=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND，EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）過點D作DMAB于M，如圖3同（1）可得：B=ACD=60同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FNDN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中，DM=BMtanB=BM，BE+CF=（BECF）【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關鍵