高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 突破點(diǎn)14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理
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突破點(diǎn)14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 提煉1 圓錐曲線的定義 (1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (3)拋物線:|PF|=|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PM⊥l于M(l為拋物線的準(zhǔn)線). 提煉2 圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系 ①在橢圓中:a2=b2+c2;離心率為e==; ②在雙曲線中:c2=a2+b2;離心率為e==. (2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo) ①雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x;焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0); ②雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c). (3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 ①拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=?; ②拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為y=?. 提煉3 弦長(zhǎng)問題 (1)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng) 斜率為k的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)時(shí),|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=. (2)拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則①x1x2=,y1y2=-p2;②弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角);③+=;④以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. 回訪1 圓錐曲線的定義與方程 1.(2016天津高考)已知雙曲線-=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 D 由題意知雙曲線的漸近線方程為y=x,圓的方程為x2+y2=4,聯(lián)立 解得或 即第一象限的交點(diǎn)為. 由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長(zhǎng)為,,故=2b,得b2=12. 故雙曲線的方程為-=1.故選D.] 2.(2014全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=( ) A. B.6 C.12 D.7 C ∵F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn), ∴F, ∴AB的方程為y-0=tan 30,即y=x-. 聯(lián)立得x2-x+=0. ∴x1+x2=-=,即xA+xB=. 由于|AB|=xA+xB+p, ∴|AB|=+=12.] 回訪2 圓錐曲線的重要性質(zhì) 3.(2016全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的,則該橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. B 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0,b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為+=1,即bx+cy-bc=0.由題意知=2b,解得=,即e=.故選B.] 4.(2016北京高考)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=________. 2 不妨令B為雙曲線的右焦點(diǎn),A在第一象限,則雙曲線如圖所示. ∵四邊形OABC為正方形,|OA|=2, ∴c=|OB|=2,∠AOB=. ∵直線OA是漸近線,方程為y=x, ∴=tan∠AOB=1,即a=b. 又∵a2+b2=c2=8,∴a=2.] 回訪3 弦長(zhǎng)問題 5.(2015全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 B 拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),∴橢圓中c=2, 又=,∴a=4,b2=a2-c2=12, 從而橢圓方程為+=1. ∵拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2, ∴xA=xB=-2, 將xA=-2代入橢圓方程可得|yA|=3, 由圖象可知|AB|=2|yA|=6.故選B.] 6.(2013全國卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為( ) A.2 B.2 C.2 D.4 C 設(shè)P(x0,y0),則|PF|=x0+=4,∴x0=3, ∴y=4x0=43=24,∴|y0|=2. ∵F(,0),∴S△POF=|OF||y0|=2=2.] 熱點(diǎn)題型1 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 題型分析:圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是高考常考內(nèi)容,主要以選擇、填空的形式考查,解題時(shí)分兩步走:第一步,依定義定“型”,第二步,待定系數(shù)法求“值”. (1)(2016全國乙卷)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( ) A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) (2)(2016通化一模)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|QF|=( ) A. B.3 C. D.2 (1)A (2)B (1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則 又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴ ∴-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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