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專題限時集訓(八) 回歸分析、獨立性檢驗
建議A、B組各用時：45分鐘]
A組 高考達標]
一、選擇題
1．(2016開封一模)下列說法錯誤的是( )
A．自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系
B．在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強
C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高
D．在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好
B 根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念知A正確；當r>0時，r越大，相關(guān)性越強，當r<0時，r越大，相關(guān)性越弱，故B不正確；對于一組數(shù)據(jù)的擬合程度的好壞的評價，一是殘差點分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好，二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C，D正確，故選B.]
2．(2016長沙模擬)某研究型學習小組調(diào)查研究學生使用智能手機對學習的影響．部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
使用智能手機
不使用智能手機
總計
學習成績優(yōu)秀
4
8
12
學習成績不優(yōu)秀
16
2
18
總計
20
10
30
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
經(jīng)計算k＝10，則下列選項正確的是( )
A．有99.5%的把握認為使用智能手機對學習有影響
B．有99.5%的把握認為使用智能手機對學習無影響
C．有99.9%的把握認為使用智能手機對學習有影響
D．有99.9%的把握認為使用智能手機對學習無影響
A 因為7.879
b′，>a′ B．>b′，a′ D.，>a′.]
5．(2016東北三省四市聯(lián)考)某集團為了解新產(chǎn)品的銷售情況，銷售部在3月1日至3月5日連續(xù)五天對某個大型批發(fā)市場中該產(chǎn)品一天的銷售量及其價格進行了調(diào)查，其中該產(chǎn)品的價格x(元)與銷售量y(萬件)的統(tǒng)計資料如下表所示：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
價格x(元)
9
9.5
10
10.5
11
銷售量y(萬件)
11
10
8
6
5
已知銷售量y(萬件)與價格x(元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為＝x＋40.若該集團將產(chǎn)品定價為10.2元，預測該批發(fā)市場的日銷售量約為( )
A．7.66萬件 B．7.86萬件
C．8.06萬件 D．7.36萬件
D 因為＝(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，線性回歸直線恒過樣本中心點(，)，將(10,8)代入回歸直線方程得＝－3.2，所以＝－3.2x＋40，將x＝10.2代入得y＝7.36，故選D.]
二、填空題
6．新聞媒體為了了解觀眾對央視某節(jié)目的喜愛與性別是否有關(guān)系，隨機調(diào)查了觀看該節(jié)目的觀眾110名，得到如下的列聯(lián)表：
女
男
總計
喜愛
40
20
60
不喜愛
20
30
50
總計
60
50
110
試根據(jù)樣本估計總體的思想，估計約有________的把握認為“喜愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”．
參考附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
99% 分析列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可得k＝≈7.822>6.635，所以有99%的把握認為“喜愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”．]
7．以下四個命題，其中正確的是________．(填序號)
①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；
②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；
③在線性回歸方程＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量平均增加0.2個單位；
④對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的值越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大．
②③ ①是系統(tǒng)抽樣；對于④，隨機變量K2的值越小，說明兩個變量有關(guān)系的把握程度越?。甝
8．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.則家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程為____________．
附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，為樣本平均值．線性回歸方程也可寫為＝x＋.
y＝0.3x－0.4 由題意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－1082＝80，
iyi－n＝184－1082＝24，
由此得b＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4，
故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4.]
三、解答題
9．(2016重慶南開二診模擬)某品牌新款夏裝即將上市，為了對夏裝進行合理定價，在該地區(qū)的ZZ鎖店各進行了兩天試銷售，得到如下數(shù)據(jù)：
連鎖店
A店
B店
C店
售價x(元)
80
86
82
88
84
90
銷量y(件)
88
78
85
75
82
66
(1)以三家連鎖店分別的平均售價與平均銷量為散點，求出售價與銷量的回歸直線方程＝x＋；
(2)在大量投入市場后，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該夏裝成本價為40元/件，為使該新夏裝在銷售上獲得最大利潤，該款夏裝的單價應定為多少元？(保留整數(shù))
附：＝＝，＝－.
解] (1)A，B，C三家連鎖店平均售價和銷量分別為：(83,83)，(85,80)，(87,74)，∴＝85，＝79，2分
∴＝
＝－2.25，4分
∴＝－ ＝270.25，∴＝－2.25x＋270.25.6分
(2)設(shè)該款夏裝的單價應定為x元，利潤為f(x)元，則f(x)＝(x－40)(－2.25x＋270.25)＝－2.25x2＋360.25x－10 810.10分
當x≈80時，f(x)取得最大值，故該款夏裝的單價應定為80元.12分
10．(2016長春二模)近年來我國電子商務行業(yè)迎來蓬勃發(fā)展的新機遇，2015年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達918億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功的交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都作出好評的交易為80次．
(1)是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關(guān)？
(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的5次購物中，設(shè)對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量X：
①求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示)；
②求X的數(shù)學期望和方差.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
解] (1)由題意可得關(guān)于商品和服務評價的22列聯(lián)表如下：
對服務好評
對服務不滿意
總計
對商品好評
80
40
120
對商品不滿意
70
10
80
總計
150
50
200
k＝≈11.111>10.828，
可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關(guān).6分
(2)每次購物時，對商品和服務都好評的概率為，且X的取值可以是0,1,2,3,4,5.
其中P(X＝0)＝5；P(X＝1)＝C14；P(X＝2)＝C23；P(X＝3)＝C32；P(X＝4)＝C41；P(X＝5)＝5.
①X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
5
P
5
C151
4
C252
3
C353
2
C454
1
5
10分
②由于X～B，則E(X)＝5＝2，11分
D(X)＝5＝.12分
B組 名校沖刺]
一、選擇題
1．已知x，y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則等于( ) 【導學號：85952033】
A．1.30 B．1.45
C．1.65 D．1.80
B 依題意得，＝(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直線＝0.95x＋必過樣本中心點(，)，即點(4,5.25)，于是有5.25＝0.954＋，由此解得＝1.45，故選B.]
2．(2016阜陽模擬)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，則下列結(jié)論錯誤的是( )
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)
B．t的取值必定是3.15
C．回歸直線一定過(4.5,3.5)
D．A產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸，則相應的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸
B 由題意，＝＝4.5，
因為＝0.7x＋0.35，
所以＝0.74.5＋0.35＝3.5，
所以t＝43.5－2.5－4－4.5＝3，故選B.]
3．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學參加環(huán)保知識測試．統(tǒng)計得到成績與專業(yè)的列聯(lián)表：
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
A班
14
6
20
B班
7
13
20
總計
21
19
40
附：參考公式及數(shù)據(jù)：
(1)統(tǒng)計量：
K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．
(2)獨立性檢驗的臨界值表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
則下列說法正確的是( )
A．有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)
B．有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān)
C．有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)
D．有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān)
C k＝≈4.912,3.8413.841，且P(K2≥3.841)≈0.05.
∴可認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為5%.]
6．高三某班學生每周用于物理學習的時間x(單位：小時)與物理成績y(單位：分)之間有如下關(guān)系：
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
根據(jù)上表可得回歸方程的斜率為3.53，則回歸直線在y軸上的截距為________．(精確到0.1)
13．5 由已知可得
＝＝17.4，
＝＝74.9，
設(shè)回歸直線方程為＝3.53x＋，
則74.9＝3.5317.4＋，解得≈13.5.]
三、解答題
7．(2016合肥二模)某品牌手機廠商推出新款的旗艦機型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機上市時間x(月)和市場占有率y(%)的幾組相關(guān)對應數(shù)據(jù)：
x
1
2
3
4
5
y
0.02
0.05
0.1
0.15
0.18
(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
(2)根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機型市場占有率的變化趨勢，并預測自上市起經(jīng)過多少個月，該款旗艦機型市場占有率能超過0.5%.(精確到月)
附：＝，＝－.
解] (1)經(jīng)計算＝0.042，＝－0.026，
所以線性回歸方程為＝0.042x－0.026.6分
(2)由上面的回歸方程可知，上市時間與市場占有率正相關(guān)，即上市時間每增加1個月，市場占有率增加0.042個百分點.9分
令＝0.042x－0.026>0.5，解得x≥13，
所以預計從上市13個月后，市場占有率能超過0.5%.12分
8．(2016沈陽模擬)為考查某種疫苗預防疾病的效果，進行動物試驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
未發(fā)病
發(fā)病
總計
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
總計
50
50
100
現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為.
(1)求22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值；
(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖，并判斷疫苗是否有效？
圖84
(3)能夠有多大把握認為疫苗有效？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解] (1)設(shè)“從所有試驗動物中任取一只，取到‘注射疫苗’動物”為事件A，
由已知得P(A)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60.5分
(2)未注射疫苗發(fā)病率為＝，注射疫苗發(fā)病率為＝.
發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖如圖所示，由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率．
10分
(3)k＝＝＝≈16.67>10.828.
所以至少有99.9%的把握認為疫苗有效.12分
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