高考數(shù)學大二輪專題復習 第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用適考素能特訓 理

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專題二 函數(shù)與導數(shù) 第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用適考素能特訓 理 一、選擇題 1．[2016山東萊蕪模擬]已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點為(　　) A.，0 B．－2,0 C. D．0 答案　D 解析　當x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當x>1時，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因為x>1，所以此時方程無解．綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0. 2．[2016北京昌平三模]已知函數(shù)f(x)＝ln x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－f′(x)的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)＝，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝ln x－.因為g(1)＝ln 1－1＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函數(shù)g(x)＝f(x)－f′(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)，故選B. 3．[2016鄭州質檢]已知函數(shù)f(x)＝x－cosx，則f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　作出g(x)＝x與h(x)＝cosx的圖象，可以看到其在[0,2π]上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)為3，故選C. 4．已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lg x|的圖象的交點共有(　　) A．10個 B．9個 C．8個 D．1個 答案　A 解析　在同一平面直角坐標系中分別作出y＝f(x)和y＝|lg x|的圖象，如圖．又lg 10＝1，由圖象知選A. 5．[2015北京高考]汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　) A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油 D．某城市機動車最高限速80千米/小時．相同條件下， 在該市用丙車比用乙車更省油 答案　D 解析　對于A選項，從圖中可以看出當乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯誤．對于B選項，由圖可知甲車消耗汽油最少．對于C選項，甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯誤．對于D選項，當最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以D正確． 6．[2015鄭州質量預測(一)]設函數(shù)f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若實數(shù)a，b分別是f(x)，g(x)的零點，則(　　) A．g(a)<00，且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內，即00，函數(shù)g(x)的零點在區(qū)間(1,2)內，即1f(1)>0.又函數(shù)g(x)在(0,1)內是增函數(shù)，因此有g(a)1,0或<－a<，即－0； ②對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1，x2，都有n>0； ③對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得m＝n； ④對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得m＝－n. 其中的真命題有________(寫出所有真命題的序號)． 答案?、佗? 解析　因為f(x)＝2x在R上是單調遞增的，所以對于不相等的實數(shù)x1，x2，m＝>0恒成立，①正確；因為g(x)＝x2＋ax，所以n＝＝x1＋x2＋a，正負不定，②錯誤；由m＝n，整理得f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)．令函數(shù)p(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，則p′(x)＝2xln 2－2x－a，令t(x)＝p′(x)，則t′(x)＝2x(ln 2)2－2，又t′(1)＝2(ln 2)2－2<0，t′(3)＝8(ln 2)2－2>0，從而存在x0∈(1,3)，使得t′(x0)＝2x0(ln 2)2－2＝0，于是p′(x)有極小值p′(x0)＝2x0ln 2－2x0－a＝－2log2－a，所以存在a＝－2log2，使得p′(x0)＝>0，此時p(x)在R上單調遞增，故不存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不滿足題意，③錯誤；由m＝－n，得f′(x)＝－g′(x)，即－a＝2xln 2＋2x.設h(x)＝2xln 2＋2x，則h′(x)＝2x(ln 2)2＋2>0，所以h(x)在R上是單調遞增的，且當x→＋∞時，h(x)→＋∞；當x→－∞時，h(x)→－∞，所以對于任意的a，y＝－a與y＝h(x)的圖象一定有交點，④正確． 三、解答題 11．[2016湖南瀏陽一中段考]已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝－4ln x的零點個數(shù)． 解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴設f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，又f(1)＝－4a， ∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3. (2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4ln x－2(x>0)，g′(x)＝1＋－＝. ∴x，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 當03， g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0. 故函數(shù)g(x)只有1個零點，且零點x0∈(3，e5)． 12．[2016山東菏澤期中]已知一家公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元，設該公司一年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝ (1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本) 解　(1)當010時， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. ∴W＝ (2)①當00，當x∈(9,10]時，W′<0， ∴當x＝9時，W取極大值，即最大值， 且Wmax＝8.19－93－10＝38.6. ②當x>10時， W＝98－≤98－2＝38， 當且僅當＝2.7x，即x＝時，W＝38， 故當x＝時，W取最大值38(當1000x取整數(shù)時，W一定小于38)． 綜合①②知，當x＝9時，W取最大值，故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．