高考物理一輪復(fù)習(xí) 第五章 微專題32 雙星和多星問題

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雙星和多星問題 1．考點(diǎn)及要求：(1)萬有引力定律的應(yīng)用(Ⅱ)；(2)力的合成與分解(Ⅱ)；(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(Ⅱ).2.方法與技巧：(1)“雙星問題”的隱含條件是兩者的向心力相同、周期相同、角速度相同；雙星中軌道半徑與質(zhì)量成反比；(2)多星問題中，每顆行星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由它們之間的萬有引力的合力提供，即F合＝m，以此列向心力方程進(jìn)行求解． 1．(雙星問題)(多選)宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個(gè)系統(tǒng)，它們以相互間的萬有引力彼此提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若已知它們的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R2，那么，系統(tǒng)中兩顆恒星的質(zhì)量關(guān)系是(　　) A．這兩顆恒星的質(zhì)量必定相等 B．這兩顆恒星的質(zhì)量之和為 C．這兩顆恒星的質(zhì)量之比為m1∶m2＝R2∶R1 D．其中必有一顆恒星的質(zhì)量為 2．(多星問題)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖1所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，下列說法正確的是(　　) 圖1 A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為 B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān) C．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍 D．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍 3．(多選)宇宙間存在一個(gè)離其他星體遙遠(yuǎn)的系統(tǒng)，其中有一種系統(tǒng)如圖2所示，四顆質(zhì)量均為m的星體位于正方形的頂點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為a，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，每顆都在同一平面內(nèi)繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則(　　) 圖2 A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為 B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小為 C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π D．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與質(zhì)量m有關(guān) 4．2002年四月下旬，天空中出現(xiàn)了水星、金星、火星、木星、土星近乎直線排列的“五星連珠”的奇觀．假設(shè)火星和木星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期分別是T1和T2，而且火星離太陽較近，它們繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道基本上在同一平面內(nèi)，若某一時(shí)刻火星和木星都在太陽的同一側(cè)，三者在一條直線上排列，那么再經(jīng)過多長(zhǎng)的時(shí)間將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象(　　) A. B. C. D. 5．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用．已知雙星系統(tǒng)中星體1的質(zhì)量為m，星體2的質(zhì)量為2m，兩星體相距為L(zhǎng)，同時(shí)繞它們連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G.求該雙星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期． 6．宇宙中存在質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，這些系統(tǒng)一般離其他恒星較遠(yuǎn)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．四星系統(tǒng)通常有兩種構(gòu)成形式：一是三顆星繞另一顆中心星運(yùn)動(dòng)(三繞一)，二是四顆星穩(wěn)定地分布在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)．若每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，引力常量為G. (1)分析說明三繞一應(yīng)該具有怎樣的空間結(jié)構(gòu)模式． (2)若相鄰星球的最小距離為a，求兩種構(gòu)成形式下天體運(yùn)動(dòng)的周期之比． 答案解析 1．BC　[對(duì)m1有：G＝m1R1，解得m2＝，同理可得m1＝，故兩者質(zhì)量不相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將兩者質(zhì)量相加得m1＋m2＝，故選項(xiàng)B正確；m1∶m2＝R2∶R1，故選項(xiàng)C正確；兩者質(zhì)量之和為，則不可能其中一個(gè)的質(zhì)量為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．] 2．C　[ 任意兩星間的萬有引力F＝G，對(duì)任一星受力分析，如圖所示．由圖中幾何關(guān)系和牛頓第二定律可得：F＝ma＝mω2，聯(lián)立可得：ω＝ ，a＝ω2＝，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由周期公式可得：T＝＝2π ，當(dāng)L和m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期T′＝2T，選項(xiàng)C正確；由速度公式可得：v＝ω＝ ，當(dāng)L和m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度v′＝v，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．] 3．AD　[由星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝a，每顆星體在其他三個(gè)星體萬有引力的合力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力定律和向心力公式得：G＋2Gcos 45＝m，解得v＝，角速度為ω＝＝ ，周期為T＝＝2π，加速度a＝＝，故選項(xiàng)A、D正確，B、C錯(cuò)誤．] 4．C　[根據(jù)萬有引力提供向心力得：＝，解得T＝2π ，火星離太陽較近，即軌道半徑小，所以周期?。O(shè)再經(jīng)過時(shí)間t將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象，此為兩個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體追及相遇的問題，雖然不在同一軌道上，但是當(dāng)它們相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)較快的物體比運(yùn)動(dòng)較慢的物體多運(yùn)行2π弧度．所以t－t＝2π，解得t＝，選項(xiàng)C正確．] 5．2πL 解析　雙星系統(tǒng)圍繞兩星體間連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)該點(diǎn)距星體1為R，距星體2為r 對(duì)星體1，有G＝mR 對(duì)星體2，有G＝2mr 根據(jù)題意有R＋r＝L，由以上各式解得T＝2πL 6．(1)見解析　(2) 解析　(1)三顆星繞另一顆中心星運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中任意一個(gè)繞行的星球受到的另三個(gè)星球的萬有引力的合力提供向心力，三個(gè)繞行星球的向心力一定指向同一點(diǎn)，且中心星受力平衡，由于星球質(zhì)量相等，具有對(duì)稱關(guān)系，因此向心力一定指向中心星，繞行星一定分布在以中心星為中心的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，如圖甲所示． (2)對(duì)三繞一模式，三顆星繞行軌道半徑均為a，所受合力等于向心力，因此有 2Gcos 30＋G＝ma 解得T＝ 對(duì)正方形模式，如圖乙所示，四星的軌道半徑均為a，同理有 2Gcos 45＋G＝ma 解得T＝ 故＝