九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 期中綜合檢測 （新版）北師大版

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期中綜合檢測 (時(shí)間:90分鐘　滿分:120分) 一、 選擇題(每小題3分,共30分) 1.(2015溫州中考)如圖所示,在△ABC中,∠C=90,AB=5,BC=3,則cos A的值是 (　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 2.式子2cos 30-tan 45-的值是 (　　) A.2-2 　　B.0 　C.2 　D.2 3.在Rt△ABC中,∠C=90,若AB=4,sin A=,則斜邊上的高等于 (　　) A. B. C. D. 4.已知函數(shù)y=(m2+m)x2+mx+4為二次函數(shù),則m的取值范圍是 (　　) A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠0且m≠-1 D.m=-1 5.函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,則二次函數(shù)y=ax2+bx的大致圖象是下圖中的 (　　) 6.將拋物線y=2(x-1)2+1向右平移1個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度,所得的拋物線解析式為 (　　) A.y=2(x-2)2 B.y=2(x-2)2+2 C.y=2x2+1 D.y=2x2 7.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90,AM是BC邊上的中線,sin∠CAM=,則tan B的值為 (　　) A. B. C. D. 8.(2014蘭州中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱軸是直線x=1,則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (　　) A.c>0 B.2a+b=0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0 9.如圖所示,在兩建筑物之間有一旗桿EG,高15米,從A點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn),且俯角α為60,又從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角β為30,若旗桿底點(diǎn)G為BC的中點(diǎn),則矮建筑物的高CD為 (　　) A.20米 B.10 米 C.15 米 D.5 米 10.如圖所示,Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2,4)在拋物線y=ax2上,將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到△OCD,邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (　　) A.(,) B.(2,2) C.(,2) D.(2,) 二、填空題(每小題4分,共24分) 11.如圖所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足是E,DE=6,sin A=,則菱形ABCD的周長是　　　　. 12.二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=bx+c的圖象不經(jīng)過第　　　　象限. 13.如圖所示,小明為了測量河的寬度,在河岸同側(cè)取了點(diǎn)C,B,A,在點(diǎn)C處測得對(duì)岸一棵樹P在正北方向,經(jīng)過測量得知∠PBC=45,∠PAC=30,AB=10米,由此小明計(jì)算出河的寬度為　　　　米(結(jié)果保留根號(hào)). 14.如圖所示,斜坡AC的坡度(坡高比水平距離)為1∶,AC=10米.坡頂有一豎直旗桿BC,旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)由一條彩帶AB相連,AB=14米.旗桿BC的高度是　　　　. 15.如圖所示,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和B(3,2),不等式x2+bx+c>x+m 的解集為　　　　. 16.如圖所示,在△ABC中,∠B=90,AB=12 mm,BC=24 mm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2 mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4 mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合).如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),那么經(jīng)過　　　　s四邊形APQC的面積最小. 三、解答題(共66分) 17.(6分)計(jì)算. (1)6tan230-sin 60-2sin 45; (2)sin 45+-(-1)0. 18.(6分)如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,AB=8,∠ABD=30,∠CAD=45,求BC的長. 19.(8分)如圖所示,拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),且經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B. (1)求拋物線的解析式; (2)求△AOB的面積. 20.(8分)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B(4,3). (1)求sin∠BOA; (2)若tan∠BAO=sin∠BOA,求點(diǎn)A的坐標(biāo). 21.(8分)已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(-2,0),B(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)C(2,8). (1)求該拋物線的解析式; (2)求該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo). 22.(8分)如圖所示,我國的一艘海監(jiān)船在釣魚島A附近沿正東方向航行,船在B點(diǎn)時(shí)測得釣魚島A在船的北偏東60方向,船以50海里/時(shí)的速度繼續(xù)航行2小時(shí)后到達(dá)C點(diǎn),此時(shí)釣魚島A在船的北偏東30方向,那么船繼續(xù)航行多少海里與釣魚島A的距離最近? 23.(10分)(2015梅州中考)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷量與售價(jià)的相關(guān)信息如下表. 售價(jià)/(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量/件 200 180 160 140 … 已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60元,設(shè)售價(jià)為x元. (1)請(qǐng)用含x的式子表示:①銷售該運(yùn)動(dòng)服每件的利潤是　　　　元,②月銷量是　　　　件;(直接寫出結(jié)果) (2)設(shè)銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤為y元,那么售價(jià)為多少時(shí),當(dāng)月的利潤最大?最大利潤是多少? 24.(12分)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1. (1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)時(shí),求二次函數(shù)的解析式; (2)如圖所示,當(dāng)m=2時(shí),該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,求C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo); (3)在(2)的條件下,x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得PC+PD最短?若P點(diǎn)存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若P點(diǎn)不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案與解析】 1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cos A==.故選D.) 2.B(解析:原式=2-1-(-1)=-1-+1=0.故選B.) 3.B(解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,在Rt△ABC中,AB=4,sin A=,∴BC=ABsin A=2.4,根據(jù)勾股定理,得AC==3.2,∵S△ABC=ACBC=ABCD,∴CD==.) 4.C(解析:由y=(m2+m)x2+mx+4為二次函數(shù),得m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.故選C.) 5.B(解析:∵函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,∴a>0,b>0,∵a>0時(shí),拋物線開口向上,排除D;∵a>0,b>0時(shí),對(duì)稱軸x=-<0,排除A,C.故選B.) 6.A(解析:拋物線y=2(x-1)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),而點(diǎn)(1,1)向右平移1個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度,所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),所以所求拋物線的解析式為y=2(x-2)2.故選A.) 7.B(解析:在Rt△ACM中,sin∠CAM==,設(shè)CM=3x,則AM=5x,根據(jù)勾股定理,得AC==4x,又M為BC的中點(diǎn),∴BC=2CM=6x,在Rt△ABC中,tan B===.故選B.) 8.D(解析:A.因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的上方,所以c>0,正確;B.由已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1=-,得2a+b=0,正確;C.由圖知二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),故有b2-4ac>0,正確;D.直線x=-1與拋物線交于x軸的下方,即當(dāng)x=-1時(shí),y<0,即y=ax2+bx+c=a-b+c<0,錯(cuò)誤.故選D.) 9.A(解析:∵點(diǎn)G是BC中點(diǎn),EG∥AB,∴EG是△ABC的中位線,∴AB=2EG=30米,在Rt△ABC中,∠CAB=30,則BC=ABtan∠BAC=30 =10(米).如圖所示,過點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F.在Rt△AFD中,AF=BC=10米,則FD=AFtan β=10=10(米).綜上可得CD=AB-FD=30-10=20(米).) 10.C(解析:∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2,4)在拋物線y=ax2上,∴4=a(-2)2,解得a=1,∴解析式為y=x2,∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2,4),∴OB=OD=2,∵Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到△OCD,∴CD∥x軸,∴點(diǎn)D和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)均為2,∴令y=2,得2=x2,解得x=,∵點(diǎn)P在第一象限,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,2).故選C.) 11.40 (解析:已知DE⊥AB,垂足是E,所以△AED為直角三角形,則得sin A=,即=,∴AD=10,∴菱形ABCD的周長為104=40.故填40.) 12.四 (解析:根據(jù)圖象得b>0,c>0,故一次函數(shù)y=bx+c的圖象不經(jīng)過第四象限.) 13.5+5 (解析:∵P在C的正北方向,∴PC⊥AC,∴∠PCA=90,設(shè)PC=x,∵∠PBC=45,∴∠CPB=45,∴PC=BC=x,∵∠PAC=30,∴∠CPA=60,∴tan 60==,解得x=5+5,∴河的寬度為(5+5)米.) 14.6米 (解析:如圖所示,延長BC交AD于E點(diǎn),則CE⊥AD.在Rt△AEC中,AC=10,由坡度為1∶,可知∠CAE=30,∴CE=ACsin 30=10=5,AE=ACcos 30=10=5.在Rt△ABE中,BE== =11.∵BE=BC+CE,∴BC=BE-CE=11-5=6(米).) 15.x<1或x>3 (解析:∵直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和B(3,2),∴根據(jù)圖象可知不等式x2+bx+c>x+m 的解集為x<1或x>3.) 16.3(解析:設(shè)P,Q同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過的時(shí)間為t s,四邊形APQC的面積為S mm2,則有S=S△ABC-S△PBQ=1224-4t(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.∵4>0,∴當(dāng)t=3時(shí),S取得最小值.) 17.解:(1)原式=6--2=-.　(2)原式=+2-1=+2-1=2+2-1=3. 18.解:∵AD⊥BC于點(diǎn)D,∴∠ADB=∠ADC=90.在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30,∴AD=AB=4,BD=AD=4.在Rt△ADC中,∵∠CAD=45,∠ADC=90,∴DC=AD=4,∴BC=BD+DC=4+4. 19.解:(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+1,將點(diǎn)O(0,0)的坐標(biāo)代入,得4a+1=0,解得a=-.所以二次函數(shù)的解析式為y=-(x-2)2+1.　(2)∵拋物線y=-(x-2)2+1的對(duì)稱軸為直線x=2,且經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0),∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),∴△AOB的面積=41=2. 20.解:(1)作BC⊥OA于C,如圖所示,∵B(4,3),∴OC=4,BC=3,∴BO==5,∴sin∠BOC==,即sin∠BOA=.　(2)∵tan∠BAO=sin∠BOA=,∴在Rt△ABC中,tan∠BAC==,∴AC=BC=5,∴OA=OC+AC=9,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9,0). 21.解:(1)∵拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(-2,0), B(1,0),∴根據(jù)題意設(shè)y=a(x+2)(x-1),把 C(2,8)代入y=a(x+2)(x-1),得4a=8,∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1),即y=2x2+2x-4.(2)由(1)可知y=2-,對(duì)稱軸為直線x=-,頂點(diǎn)坐標(biāo)為. 22.解:如圖所示,過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,根據(jù)題意得∠ABC=30,∠ACD=60,∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30,∴CA=CB.∵CB=502=100(海里),∴CA=100海里,在直角三角形ADC中,∠ACD=60,∴CD=AC=100=50(海里).故船繼續(xù)航行50海里與釣魚島A的距離最近. 23.解:(1)①x-60?、?2x+400　(2)由題意得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,∴售價(jià)為130元時(shí),當(dāng)月的利潤最大,最大利潤是9800元. 24.解:(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0),∴代入二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1中,得m2-1=0,解得m=1,∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x或y=x2+2x.　(2)∵m=2,∴二次函數(shù)為y=x2-2mx+m2-1=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴拋物線的頂點(diǎn)為D(2,-1),當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).　(3)如圖所示,當(dāng)P,C,D共線時(shí),PC+PD最短,過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,∵PO∥DE,∴=,∴=,解得PO=,∴PC+PD最短時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為.