八年級數學上冊 15 分式教案 （新版）新人教版 (2)

《八年級數學上冊 15 分式教案 （新版）新人教版 (2)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《八年級數學上冊 15 分式教案 （新版）新人教版 (2)（21頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第十五章　分式 15．1　分　　式 15．1.1　從分數到分式 1．以描述實際問題中的數量關系為背景抽象出分式的概念，建立數學模型，并理解分式的概念． 2．能夠通過分式的定義理解和掌握分式有意義的條件． 重點 理解分式有意義的條件及分式的值為零的條件． 難點 能熟練地求出分式有意義的條件及分式的值為零的條件． 一、復習引入 1．什么是整式？什么是單項式？什么是多項式？ 2．判斷下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①；②1＋x＋y2；③；④；⑤；⑥；⑦. 二、探究新知 1．分式的定義 (1)學生看教材的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時，它沿江以最大航速順流航行90千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用的時間相等，江水的流速為多少？ 分析：設江水的流速為v千米/時． 輪船順流航行90千米所用的時間為小時，逆流航行60千米所用時間為小時，所以＝. (2)學生完成教材第127頁“思考”中的題． 觀察：以上的式子，，，，有什么共同點？它們與分數有什么相同點和不同點？ 可以發(fā)現，這些式子都像分數一樣都是(即AB)的形式．分數的分子A與分母B都是整數，而這些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母． 歸納：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 鞏固練習：教材第129頁練習第2題． 2．自學教材第128頁思考：要使分式有意義，分式中的分母應滿足什么條件？ 分式的分母表示除數，由于除數不能為0，所以分式的分母不能為0，即當B≠0時，分式才有意義． 學生自學例1. 例1　下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？ (1)；(2)；(3)；(4). 解：(1)要使分式有意義，則分母3x≠0，即x≠0； (2)要使分式有意義，則分母x－1≠0，即x≠1； (3)要使分式有意義，則分母5－3b≠0，即b≠； (4)要使分式有意義，則分母x－y≠0，即x≠y. 思考：如果題目為：當x為何值時，分式無意義．你知道怎么解題嗎？ 鞏固練習：教材第129頁練習第3題． 3．補充例題：當m為何值時，分式的值為0? (1)；(2)；(3). 思考：當分式為0時，分式的分子、分母各滿足什么條件？ 分析：分式的值為0時，必須同時滿足兩個條件：(1)分母不能為零；(2)分子為零． 答案：(1)m＝0；(2)m＝2；(3)m＝1. 三、歸納總結 1．分式的概念． 2．分式的分母不為0時，分式有意義；分式的分母為0時，分式無意義． 3．分式的值為零的條件：(1)分母不能為零；(2)分子為零． 四、布置作業(yè) 教材第133頁習題15.1第2，3題． 在引入分式這個概念之前先復習分數的概念，通過類比來自主探究分式的概念，分式有意義的條件，分式值為零的條件，從而更好更快地掌握這些知識點，同時也培養(yǎng)學生利用類比轉化的數學思想方法解決問題的能力． 15．1.2　分式的基本性質(2課時) 第1課時　分式的基本性質 1．了解分式的基本性質，靈活運用分式的基本性質進行分式的變形． 2．會用分式的基本性質求分式變形中的符號法則． 重點 理解并掌握分式的基本性質． 難點 靈活運用分式的基本性質進行分式變形． 一、類比引新 1．計算： (1)；(2). 思考：在運算過程中運用了什么性質？ 教師出示問題．學生獨立計算后回答：運用了分數的基本性質． 2．你能說出分數的基本性質嗎？ 分數的分子與分母都乘(或除以)同一個不為零的數，分數的值不變． 3．嘗試用字母表示分數的基本性質： 小組討論交流如何用字母表示分數的基本性質，然后寫出分數的基本性質的字母表達式． ＝，＝.(其中a，b，c是實數，且c≠0) 二、探究新知 1．分式與分數也有類似的性質，你能說出分式的基本性質嗎？ 分式的基本性質：分式的分子與分母乘(或除以)同一個不為零的整式，分式的值不變． 你能用式子表示這個性質嗎？ ＝，＝.(其中A，B，C是整式，且C≠0) 如＝，＝，你還能舉幾個例子嗎？ 回顧分數的基本性質，讓學生類比寫出分式的基本性質，這是從具體到抽象的過程． 學生嘗試著用式子表示分式的性質，加強對學生的抽象表達能力的培養(yǎng)． 2．想一想 下列等式成立嗎？為什么？ ＝；＝＝－. 教師出示問題．學生小組討論、交流、總結． 例1　不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含“－”號： (1)；(2)；(3)－. 例2　不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數都化為正數： (1)；(2)；(3). 引導學生在完成習題的基礎上進行歸納，使學生掌握分式的變號法則． 例3　填空： (1)＝，＝； (2)＝，＝.(b≠0) 解：(1)因為的分母xy除以x才能化為y ，為保證分式的值不變，根據分式的基本性質，分子也需除以x，即 ＝＝. 同樣地，因為的分子3x2＋3xy除以3x才能化為x＋y，所以分母也需除以3x，即 ＝＝. 所以，括號中應分別填入x2和2x. (2)因為的分母ab乘a才能化為a2b，為保證分式的值不變，根據分式的基本性質，分子也需乘a，即 ＝＝. 同樣地，因為的分母a2乘b才能化為a2b，所以分子也需乘b，即 ＝＝. 所以，括號中應分別填a和2ab－b2. 在解決例題1，2的第(2)小題時，教師可以引導學生觀察等式兩邊的分母發(fā)生的變化，再思考分式的分子如何變化；在解決例2的第(1)小題時，教師引導學生觀察等式兩邊的分子發(fā)生的變化，再思考分式的分母隨之應該如何變化． 三、課堂小結 1．分式的基本性質是什么？ 2．分式的變號法則是什么？ 3．如何利用分式的基本性質進行分式的變形？ 學生在教師的引導下整理知識、理順思維． 四、布置作業(yè) 教材第133頁習題15.1第4，5題． 通過算數中分數的基本性質，用類比的方法給出分式的基本性質，學生接受起來并不感到困難，但要重點強調分子分母同乘(或除)的整式不能為零，讓學生養(yǎng)成嚴謹的態(tài)度和習慣． 第2課時　分式的約分、通分 1．類比分數的約分、通分，理解分式約分、通分的意義，理解最簡公分母的概念． 2．類比分數的約分、通分，掌握分式約分、通分的方法與步驟． 重點 運用分式的基本性質正確地進行分式的約分與通分． 難點 通分時最簡分分母的確定；運用通分法則將分式進行變形． 一、類比引新 1．在計算時，我們采用了“約分”的方法，分數的約分約去的是什么？分式，相等嗎？為什么？ 利用分式的基本性質，分式約去分子與分母的公因式a，并不改變分式的值，可以得到. 教師點撥：分式可以化為，我們把這樣的分式變形叫做__分式的約分__． 2．怎樣計算＋？怎樣把，通分？ 類似的，你能把分式，變成同分母的分式嗎？ 利用分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，我們把這樣的分式變形叫做__分式的通分__． 二、探究新知 1．約分：(1)；(2)； (3). 分析：為約分，要先找出分子和分母的公因式． 解：(1)＝－＝－； (2)＝＝； (3)＝＝2(x－y)． 若分子和分母都是多項式，則往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘積的形式)，然后才能進行約分．約分后，分子與分母沒有公因式，我們把這樣的分式稱為__最簡分式__．(不能再化簡的分式) 2．練習： 約分：；；；；；. 學生先獨立完成，再小組交流，集體訂正． 3．討論：分式，，的最簡公分母是什么？ 提出最簡公分母概念． 一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，它叫做最簡公分母． 學生討論、小組交流、總結得出求最簡公分母的步驟： (1)系數取各分式的分母中系數最小公倍數； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的冪取指數最大的； (4)所得的系數的最小公倍數與各字母(或因式)的最高次冪的積(其中系數都取正數)即為最簡公分母． 4．通分：(1)與；(2)與 . 分析：為通分，要先確定各分式的公分母． 解：(1)最簡公分母是2a2b2c. ＝＝， ＝＝. (2)最簡公分母是(x－5)(x＋5)． ＝＝， ＝＝. 5．練習： 通分：(1)與；(2)與；(3)與. 教師引導：通分的關鍵是先確定最簡公分母；如果分式的分母是多項式則應先將分母分解因式，再按上述的方法確定分式的最簡公分母． 學生板演并互批及時糾錯． 6．思考：分數和分式在約分和通分的做法上有什么共同點？這些做法的根據是什么？ 教師讓學生討論、交流，師生共同作以小結． 三、課堂小結 1．什么是分式的約分？ 怎樣進行分式的約分？ 什么是最簡分式？ 2．什么是分式的通分？ 怎樣進行分式的通分？ 什么是最簡公分母？ 3．本節(jié)課你還有哪些疑惑？ 四、布置作業(yè) 教材第133頁習題15.1第6，7題． 本節(jié)課是在學習了分式的基本性質后學的，重點是運用分式的基本性質正確的約分和通分，約分時要注意一定要約成最簡分式，熟練運用因式分解；通分時要將分式變形后再確定最簡公分母． 15．2　分式的運算 15．2.1　分式的乘除(2課時) 第1課時　分式的乘除法 1．理解并掌握分式的乘除法則． 2．運用法則進行運算，能解決一些與分式有關的實際問題． 重點 掌握分式的乘除運算． 難點 分子、分母為多項式的分式乘除法運算． 一、復習導入 1．分數的乘除法的法則是什么？ 2．計算：；. 由分數的運算法則知＝；＝＝. 3．什么是倒數？ 我們在小學學習了分數的乘除法，對于分式如何進行計算呢？這就是我們這節(jié)要學習的內容． 二、探究新知 問題1：一個水平放置的長方體容器，其容積為V，底面的長為a，寬為b時，當容器的水占容積的時，水面的高度是多少？ 問題2：大拖拉機m天耕地a hm2，小拖拉機n天耕地b hm2，大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍？ 問題1求容積的高，問題2求大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的倍． 根據上面的計算，請同學們總結一下對分式的乘除法的法則是什么？ 分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母． 分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘． ＝；＝＝. 三、舉例分析 例1　計算： (1)；(2). 分析：這道例題就是直接應用分式的乘除法法則進行運算．應該注意的是運算結果應約分到最簡，還應注意在計算時跟整式運算一樣，先判斷運算符號，再計算結果． 解：(1)＝＝； (2)＝＝－＝－. 例2　計算： (1)； (2). 分析：這兩題是分子與分母是多項式的情況，首先要因式分解，然后運用法則． 解：(1)原式＝； (2)原式 ＝＝－. 例3　“豐收1號”小麥試驗田邊長為a米(a＞1)的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a－1)米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500千克． (1)哪種小麥的單位面積產量高？ (2)高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？ 分析：本題的實質是分式的乘除法的運用． 解：(1)略． (2)＝＝. “豐收2號”小麥的單位面積產量是“豐收1號”小麥的單位面積產量的倍． 四、隨堂練習 1．計算：(1)；(2)－；(3)(－)； (4)－8xy；(5)－； (6)(3－y)． 答案：(1)abc；(2)－；(3)－；(4)－20x2；(5)－；(6). 2．教材第137頁練習1，2，3題． 五、課堂小結 (1)分式的乘除法法則； (2)運用法則時注意符號的變化； (3)因式分解在分式乘除法中的應用； (4)步驟要完整，結果要最簡．最后結果中的分子、分母既可保持乘積的形式，也可以寫成一個多項式，如或. 六、布置作業(yè) 教材第146頁習題15.2第1，2題． 本節(jié)課從兩個具有實際背景的問題出發(fā)，使學生在解決問題的過程中認識到分式的乘除法是由實際需要產生的，進而激發(fā)他們學習的興趣，接著，從分數的乘除法則的角度引導學生通過觀察、探究、歸納總結出分式的乘法法則．有利于學生接受新知識，而且能體現由數到式的發(fā)展過程． 第2課時　分式的乘方及乘方與乘除的混合運算 1．進一步熟練分式的乘除法法則，會進行分式的乘、除法的混合運算． 2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運用乘方規(guī)律進行分式的乘方運算． 重點 分式的乘方運算，分式的乘除法、乘方混合運算． 難點 分式的乘除法、乘方混合運算，以及分式乘法、除法、乘方運算中符號的確定． 一、復習引入 1．分式的乘除法法則． 分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，用分母的積作為積的分母． 分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘． 2．乘方的意義： an＝aaa…a(n為正整數)． 二、探究新知 例1(教材例4)　計算. 解： ＝　(先把除法統一成乘法運算) ＝.(約分到最簡公式) 分式乘除運算的一般步驟： (1)先把除法統一成乘法運算； (2)分子、分母中能分解因式的多項式分解因式； (3)確定分式的符號，然后約分； (4)結果應是最簡分式． 1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引導學生進行歸納． (1)()2＝＝； 　　　　　 ↑　　　↑ 　由乘方的意義　 由分式的乘法法則 (2)同理： ()3＝＝； ()n＝…n個＝＝. 2．分式乘方法則： 分式：()n＝.(n為正整數) 文字敘述：分式乘方是把分子、分母分別乘方． 3．目前為止，正整數指數冪的運算法則都有什么？ (1)anan＝am＋n；(2)aman＝am－n； (3)(am)n＝amn；(4)(ab)n＝anbn； (5)()n＝. 三、舉例分析 例2　計算： (1)()2； (2)()3()2. (3)(－)2(－)3(－)4； (4)()2. 解：(1)原式＝＝； (2)原式＝＝－； (3)原式＝(－)＝－x5； (4)原式＝＝. 學生板演、糾錯并及時總結做題方法及應注意的地方：①對于乘、除和乘方的混合運算，應注意運算順序，但在做乘方運算的同時，可將除變乘；②做乘方運算要先確定符號． 例3　計算： (1)； (2)(xy－x2)； (3)()2()2. 解：(1)原式＝＝； (2)原式＝－＝－y； (3)原式＝＝. 本例題是本節(jié)課運算題目的拓展，對于(1)指數為字母，不過方法不變；(2)(3)是較復雜的乘除乘方混合運算，要進一步讓學生熟悉運算順序，注意做題步驟． 四、鞏固練習 教材第139頁練習第1，2題． 五、課堂小結 1．分式的乘方法則． 2．運算中的注意事項． 六、布置作業(yè) 教材第146頁習題15.2第3題． 分式的乘方運算這一課的教學先讓學生回憶以前學過的分數的乘方的運算方法，然后采用類比的方法讓學生得出分式的乘方法則．在講解例題和練習時充分調動學生的積極性，使大家都參與進來，提高學習效率． 15．2.2　分式的加減(2課時) 第1課時　分式的加減 理解并掌握分式的加減法則，并會運用它們進行分式的加減運算． 重點 運用分式的加減運算法則進行運算． 難點 異分母分式的加減運算． 一、復習提問 1．什么叫通分？ 2．通分的關鍵是什么？ 3．什么叫最簡公分母？ 4．通分的作用是什么？(引出新課) 二、探究新知 1．出示教材第139頁問題3和問題4. 教材第140頁“思考”． 分式的加減法與分數的加減法類似，它們的實質相同．觀察下列分數加減運算的式子：＋＝，－＝－，＋＝＋＝，－＝－＝.你能將它們推廣，得出分式的加減法法則嗎？ 教師提出問題，讓學生列出算式，得到分式的加減法法則． 學生討論：組內交流，教師點撥． 2．同分母的分式加減法． 公式：＝. 文字敘述：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減． 3．異分母的分式加減法． 分式：＝＝. 文字敘述：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減． 三、典型例題 例1(教材例6)　計算： (1)－；(2)＋. 解：(1)－ ?。剑剑?； (2)＋ ?。剑? 　＝＝. 小結： (1)注意分數線有括號的作用，分子相加減時，要注意添括號． (2)把分子相加減后，如果所得結果不是最簡分式，要約分． 例2　計算： ＋－. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化為相同的？(3)注意符號問題． 解：原式＝－－ 　＝ ?。? ?。?. 四、課堂練習 1．教材第141頁練習1，2題． 2．計算：(1)－＋； (2)＋； (3)a＋2－； (4)－. 五、課堂小結 1．同分母分式相加減，分母不變，只需將分子作加減運算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號． 2．對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分． 3．異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否為最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化． 4．作為最后結果，如果是分式則應該是最簡分式． 六、布置作業(yè) 教材第146頁習題15.2第4，5題． 從直觀的分數加減運算開始，先介紹同分母分式的加減運算的具體方法，通過類比的思想方法，由數的運算引出式的運算規(guī)律，體現了數學知識間具體與抽象、從特殊到一般的內在聯系．而后，利用同樣的類比方法，安排學習異分母的分式加減運算，這樣由簡到繁、由易到難，符合學生認知的發(fā)展規(guī)律，有助于知識的層層落實與掌握． 第2課時　分式的混合運算 1．明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運算． 2．能靈活運用運算律簡便運算． 重點 熟練地進行分式的混合運算． 難點 熟練地進行分式的混合運算． 一、復習引入 回憶：我們已經學習了分式的哪些運算？ 1．分式的乘除運算主要是通過(　　　　)進行的，分式的加減運算主要是通過(　　　　)進行的． 2．分數的混合運算法則是(　　　　)，類似的，分式的混合運算法則是先算(　　　　)，再算(　　　　)，最后算(　　　　)，有括號的先算(　　　　)里面的． 二、探究新知 1．典型例題 例1　計算： (＋). 分析：應先算括號里的． 例2　計算： x＋2y＋－. 分析：(1)本題應采用逐步通分的方法依次進行； (2)x＋2y可以看作. 例3　計算： －(－x－y)． 分析：本題可用分配律簡便計算． 例4　[－](－)． 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再約分． 例5(教材例7)　計算()2－. 解：()2－ ＝－ ＝－＝－ ＝＝ ＝. 點撥：式與數有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減． 例6(教材例8)　計算： (1)(m＋2＋)； (2)(－). 解：(1)(m＋2＋) ＝ ＝ ＝ ＝－2(m＋3)； (2)(－) ＝[－] ＝ ＝ ＝. 分式的加、減、乘、除混合運算要注意以下幾點： (1)一般按分式的運算順序法則進行計算，但恰當地使用運算律會使運算簡便． (2)要隨時注意分子、分母可進行因式分解的式子，以備約分或通分時用，可避免運算煩瑣． (3)注意括號的“添”或“去”、“變大”與“變小”． (4)結果要化為最簡分式． 強化練習，引導學生及時糾正在例題中出現的錯誤，進一步提高運算能力． 三、鞏固練習 1．(1)－x－1； (2)(1－)2； (3)＋； (4)(＋). 2．教材第142頁第1，2題． 四、課堂小結 1．分式的混合運算法則是先算(　　　　)，再算(　　　　)，最后算(　　　　)，有括號先算(　　　　)里的． 2．一些題應用運算律、公式能簡便運算． 五、布置作業(yè) 1．教材第146頁習題15.2第6題． 2．先化簡再求值－，其中x＝－1. 分式的混合運算是分式這一章的重點和難點，涉及到因式分解和通分這兩個較難的知識點，可根據學生的具體情況，適當增加例題、習題，讓學生熟練掌握分式的運算法則并提高運算能力． 15．2.3　整數指數冪 1．知道負整數指數冪a－n＝.(a≠0，n是正整數) 2．掌握整數指數冪的運算性質． 3．會用科學記數法表示絕對值小于1的數． 重點 掌握整數指數冪的運算性質，會有科學記數法表示絕對值小于1的數． 難點 負整數指數冪的性質的理解和應用． 一、復習引入 1．回憶正整數指數冪的運算性質： (1)同底數的冪的乘法：aman＝am＋n(m，n是正整數)； (2)冪的乘方：(am)n＝amn(m，n是正整數)； (3)積的乘方：(ab)n＝anbn(n是正整數)； (4)同底數的冪的除法：am an＝am－n(a≠0，m，n是正整數，m＞n)； (5)分式的乘方：()n＝(n是正整數)． 2．回憶0指數冪的規(guī)定，即當a≠0時，a0＝1. 二、探究新知 (一)1.計算當a≠0時，a3a5＝＝＝，再假設正整數指數冪的運算性質aman＝am－n(a≠0，m，n是正整數，m＞n)中的m＞n這個條件去掉，那么a3a5＝a3－5＝a－2.于是得到a－2＝(a≠0)． 總結：負整數指數冪的運算性質： 一般的，我們規(guī)定：當n是正整數時，a－n＝(a≠0)． 2．練習鞏固： 填空： (1)－22＝________，　　　　(2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________， (4)20＝________， (5)2－3＝________， (5)(－2)－3＝________． 3．例1　(教材例9) 計算： (1)a－2a5；(2)()－2； (3)(a－1b2)3；(4)a－2b2(a2b－2)－3. 解：(1)a－2a5＝a－2－5＝a－7＝； (2)()－2＝＝a4b－6＝； (3)(a－1b2)3＝a－3b6＝； (4)a－2b2(a2b－2)－3＝a－2b2a－6b6＝a－8b8＝. [分析]　本例題是應用推廣后的整數指數冪的運算性質進行計算，與用正整數指數冪的運算性質進行計算一樣，但計算結果有負指數冪時，要寫成分式形式． 4．練習： 計算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2(x－2y)3； (3)(3x2y－2)2(x－2y)3. 5．例2　判斷下列等式是否正確？ (1)aman＝ama－n；(2)()n＝anb－n. [分析]　類比負數的引入使減法轉化為加法，得到負指數冪的引入可以使除法轉化為冪的乘法這個結論，從而使分式的運算與整式的運算統一起來，然后再判斷等式是否正確． (二)1.用科學記數法表示值較小的數 因為0.1＝＝10－1；0.01＝________＝________； 0．001＝________＝________…… 所以0.000 025＝2.50.000 01＝2.510－5. 我們可以利用10的負整數次冪，用科學記數法表示一些絕對值較小的數，即將它們表示成a10－n的形式，其中n是正整數，1≤|a|＜10. 2．例3(教材例10)　納米是非常小的長度單位，1納米＝10－9米，把1納米的物體放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空間可以放多少個1立方納米的物體？(物體之間的間隙忽略不計) [分析]　這是一個介紹納米的應用題，是應用科學記數法表示小于1的數． 3．用科學記數法表示下列各數： 0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009. 4．計算： (1)(310－8)(4103)；(2)(210－3)2(10－3)3. 三、課堂小結 1．引進了零指數冪和負整數冪，指數的范圍擴大到了全體整數，冪的性質仍然成立． 2．科學記數法不僅可以表示一個值大于10的數，也可以表示一些絕對值較小的數，在應用中，要注意a必須滿足1≤|a|＜10，其中n是正整數． 四、布置作業(yè) 教材第147頁習題15.2第7，8，9題． 本節(jié)課教學的主要內容是整數指數冪，將以前所學的有關知識進行了擴充．在本節(jié)的教學設計上，教師重點挖掘學生的潛在能力，讓學生在課堂上通過觀察、驗證、探究等活動，加深對新知識的理解． 15．3　分式方程(2課時) 第1課時　分式方程的解法 1．理解分式方程的意義． 2．理解解分式方程的基本思路和解法． 3．理解解分式方程時可能無解的原因，并掌握解分式方程的驗根方法． 重點 解分式方程的基本思路和解法． 難點 理解解分式方程時可能無解的原因． 一、復習引入 問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h，它以最大航速沿江順流航行90 km所用時間，與以最大航速逆流航行60 km所用的時間相等，江水的流速為多少？ [分析]設江水的流速為x千米/時，根據題意，得＝.① 方程①有何特點？ [概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知數，像這樣的方程叫做分式方程． 提問：你還能舉出一個分式方程的例子嗎？ 辨析：判斷下列各式哪個是分式方程． (1)x＋y＝5；(2)＝；(3)；(4)＝0；(5)＋2x＝5. 根據定義可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知 1．思考：怎樣解分式方程呢？ 為了解決本問題，請同學們先思考并回答以下問題： (1)回顧一下解一元一次方程時是怎么去分母的，從中能否得到一點啟發(fā)？ (2)有沒有辦法可以去掉分式方程的分母把它轉化為整式方程呢？ [可先放手讓學生自主探索，合作學習并進行總結] 方程①可以解答如下： 方程兩邊同乘以(30＋v)(30－v)，約去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解這個整式方程，得v＝6. 所以江水的流度為6千米/時． [概括]上述解分式方程的過程，實質上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程轉化為整式方程來解．所乘的整式通常取方程中出現的各分式的最簡公分母． 2．例1　解方程：＝.② 解：方程兩邊同乘(x2－25)，約去分母，得x＋5＝10. 解這個整式方程，得x＝5.事實上，當x＝5時，原分式方程左邊和右邊的分母(x－5)與(x2－25)都是0，方程中出現的兩個分式都沒有意義，因此，x＝5不是分式方程的根，應當舍去，所以原分式方程無解． 解分式方程的步驟： 在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘一個含未知數的整式，并約去了分母，有時可能產生不適合原分式方程的解(或根)，這種根通常稱為增根．因此，在解分式方程時必須進行檢驗． 3．那么，可能產生“增根”的原因在哪里呢？ 解分式方程去分母時，方程兩邊要乘同一個含未知數的式子(最簡公分母)．方程①兩邊乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v＝6.當v＝6時，(30＋v)(30－v)≠0，這就是說，去分母時，①兩邊乘了同一個不為0的式子，因此所得整式方程的解與①的解相同． 方程②兩邊乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5.當x＝5時，(x－5)(x＋5)＝0，這就是說，去分母時，②兩邊乘了同一個等于0的式子，這時所得整式方程的解使②出現分母為0的現象，因此這樣的解不是②的解． 4．驗根的方法： 解分式方程進行檢驗的關鍵是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母為零．有時為了簡便起見，也可將它代入所乘的整式(即最簡公分母)，看它的值是否為零．如果為零，即為增根． 如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方程的增根． 三、舉例分析 例2(教材例1)　解方程＝. 解：方程兩邊乘x(x－3)，得2x＝3x－9. 解得x＝9. 檢驗：當x＝9時，x(x－3)≠0. 所以，原分式方程的解為x＝9. 例3(教材例2)　解方程－1＝. 解：方程兩邊乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得x＝1. 檢驗：當x＝1時，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程無解． 四、課堂小結 1．分式方程：分母中含有未知數的方程． 2．解分式方程的一般步驟如下： 五、布置作業(yè) 教材第154頁習題15.3第1題． 本節(jié)課的重點是探究分式方程的解法，我首先舉一道一元一次方程復習其解法，然后通過解一道分式方程，啟發(fā)引導學生參照一元一次方程的解法，由學生自己探索、歸納分式方程的解法，使學生的思維得到發(fā)揮，但要提醒學生注意對增根的理解． 第2課時　分式方程的應用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．進一步熟練地解可化為一元一次方程的分式方程． 2．使學生能較熟練地列可化為一元一次方程的分式方程解應用題． 重點 在不同的實際問題中審明題意設未知數，列分式方程，解決實際問題． 難點 在不同的實際問題中，設未知數列分式方程． 一、復習引入 1．解下列方程： (1)＝－2；(2)＋＝. 2．列方程解應用題的一般步驟： (1)審；(2)設；(3)列；(4)解；(5)答． [概括]　這些解題方法與步驟，對于解分式方程應用題也適用．這節(jié)課，我們將學習列分式方程解應用題． 二、探究新知 例1　某校招生錄取時，為了防止數據輸入出錯，2 640名學生的成績數據分別由兩位程序操作員各向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致．已知甲的輸入速度是乙的2倍，結果甲比乙少用了2小時輸完．問這兩個操作員每分鐘各能輸入多少名學生的成績？ [分析]　(1)如何設元？(2)題目中有幾個相等關系？(3)怎樣列方程？ 本題有兩個相等關系： (1)甲速＝2乙速 (2)甲時＋120＝乙時 其中(1)用來設，(2)用來列方程． [概括]　列分式方程解應用題的一般步驟： (1)審清題意； (2)設未知數(要有單位)； (3)根據題目中的數量關系列出式子，找出相等關系，列出方程； (4)解方程，并驗根，還要看方程的解是否符合題意； (5)寫出答案(要有單位)． 例2　A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車的速度之比為5∶2，求兩車的速度． 練習：(1)甲乙兩人同時從A地出發(fā)，騎自行車到B地，已知AB兩地的距離為30 km，甲每小時比乙多走3 km，并且比乙先到40分鐘．設乙每小時走x km，則可列方程為(　　) A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝ (2)我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執(zhí)行任務，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必須是原計劃的1.5倍，才能按要求提前2小時到達，求急行軍的速度． 例3(教材例3)　兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．哪個隊的施工速度快？ 分析：甲隊1個月完成工程的，設乙隊單獨施工1個月能完成總工程的，那么甲隊半個月完成總工程的________，乙隊半個月完成總工程的________，兩隊半個月完成總工程的________． 本題是工程問題，注意基本公式是：工作量＝工時工效． 等量關系為：甲、乙兩個工程總量總工程量． 列方程：＋＋＝1. 例4(教材例4)　某次列車平均提速v km/h，用相同的時間，列車提速前行駛s km，提速后比提速前多行駛50 km，提速前列車的平均速度為多少？ 分析：這里的字母v，s表示已知數據，設提速前列車的平均速度為x km/h，那么提速前列車行駛s km所用時間為________h，提速后列車的平均速度為________km/h，提速后列車運行(s＋50)km所用時間為________h. 本題是列含字母系數的分式方程，解這個方程并且檢驗是難點，在解題過程中注意把s，v當作已知數． 等量關系：提速前行駛50 km所用的時間＝提速后行駛(s＋50) km所用的時間． 列方程：＝. 練習：教材第154頁練習第1，2題． 三、課堂小結 1．列分式方程解應用題的一般步驟： (1)審：審清題意； (2)設：設未知數(要有單位)； (3)列：根據題目中的數量關系找出相等關系，列出方程； (4)解：解方程，并驗根，還要看方程的解是否符合題意； (5)答：寫出答案(要有單位)． 2．幾種基本題型： (1)行程問題； (2)數字問題； (3)工程問題； (4)順水逆水問題； (5)利潤問題． 四、布置作業(yè) 教材第154～155頁習題15.3第3，4，5題． 本節(jié)課結合具體的數學內容采用“問題情境——建立數學模型——解釋應用與拓展”的模式展開，選擇有現實意義的，對學生具有一定挑戰(zhàn)性的內容，使學生在自主探索和合作交流的過程中建立數學模型，讓學生能夠自覺的用數學的眼光觀察世界，提高發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力．