《高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
1.會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的不等式及綜合問題.
2.了解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件,會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式.(難點)
[基礎(chǔ)初探]
教材整理 貝努利不等式定理
閱讀教材P38~P39“練習(xí)”以上部分,完成下列問題.
定理 對任何實數(shù)x≥-1和任何正整數(shù)n,有(1+x)n≥1+nx.
在貝努利不等式中當(dāng)x=0時,n為大于1的自然數(shù),不等式形式將有何變化?
【解】 當(dāng)x=0時,不等式將變成等式,即(1+x)n=1+nx.
[質(zhì)疑手記]
預(yù)習(xí)完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:
疑問1:
解惑:
疑問2:
解惑:
疑問3:
解惑:
[小組合作型]
貝努利不等式的簡單應(yīng)用
設(shè)b>a>0,n∈N+,證明:≥(b-a)+1.
【精彩點撥】 由b>a>0,令1+x=(x>0),利用貝努利不等式證明.
【自主解答】 由b>a>0,知>1,
令1+x=(x>0),
則x=-1,
由貝努利不等式(1+x)n≥1+nx,
∴=(1+x)n≥1+nx=1+n,
故≥(b-a)+1.
利用1+x=代換,為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.
[再練一題]
1.試證明>1-與>(n∈N+).
【證明】 由n∈N+,∴n+1≥2.
由貝努利不等式,得
(1)>1-=1-.
(2)由(1)得>1-,
故>==.
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
試證明:2n+2>n2(n∈N+).
【精彩點撥】 ―→
―→
【自主解答】 (1)當(dāng)n=1時,左邊=21+2=4,右邊=1,左邊>右邊;
當(dāng)n=2時,左邊=22+2=6,右邊=22=4,所以左邊>右邊;
當(dāng)n=3時,左邊=23+2=10,右邊=32=9,所以左邊>右邊.
因此當(dāng)n=1,2,3時,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3且k∈N)時,不等式成立.
當(dāng)n=k+1時,
2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-2>2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3
=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因k≥3,則k-3≥0,k+1>0)
≥k2+2k+1=(k+1)2.
所以2k+1+2>(k+1)2.
故當(dāng)n=k+1時,原不等式也成立.
根據(jù)(1)(2)知,原不等式對于任何n∈N+都成立.
通過本例可知,在證明n=k+1時命題成立的過程中,針對目標(biāo)k2+2k+1,采用縮小的手段,但是由于k的取值范圍(k≥1)太大,不便于縮小,因此,用增加奠基步驟(把驗證n=1擴大到驗證n=1,2,3)的方法,使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3,促使放縮成功,達到目標(biāo).
[再練一題]
2.已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N+),求證:S2n>1+(n≥2,n∈N+).
【導(dǎo)學(xué)號:94910039】
【證明】 (1)當(dāng)n=2時,S22=1+++=>1+,即n=2時命題成立.
(2)假設(shè)n=k時命題成立,即S2k=1+++…+>1+.
當(dāng)n=k+1時,
S2k+1=1+++…+++…+
>1++=1++=1+.
故當(dāng)n=k+1時,命題也成立.
由(1)(2)知,對n∈N+,n≥2,S2n>1+都成立.
探究性問題
設(shè)f(n)=1+++…+,由f(1)=1>,f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,….
(1)你能得到怎樣的結(jié)論?并證明;
(2)是否存在一個正數(shù)T,使對任意的正整數(shù)n,恒有f(n)
.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,f(21-1)=f(1)=1>,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時不等式成立,
即f(2k-1)>,
則f(2k+1-1)=f(2k-1)+++…++
>f(2k-1)++…+
>f(2k-1)+>+=.
∴當(dāng)n=k+1時不等式也成立.
據(jù)①②知,對任何n∈N+原不等式均成立.
(2)對任意給定的正數(shù)T,設(shè)它的整數(shù)部分為T′,記m=T′+1,則m>T.
由(1)知,f(22m-1)>m,∴f(22m-1)>T,這說明,對任意給定的正數(shù)T,總能找到正整數(shù)n(如可取假設(shè)中n為2m),使得f(n)≥T,∴不存在正數(shù)T,使得對任意的正整數(shù)n,總有f(n)對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論.
【解】 當(dāng)n=1時,++>,
則>,∴a<26,
又a∈N+,∴取a=25.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>.
(1)n=1時,已證.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,++…+>.
∴當(dāng)n=k+1時,
++…++++=+
>+.
∵+=>,
∴+->0,
∴++…+>也成立.
由(1),(2)可知,對一切n∈N+,都有++…+>,
∴a的最大值為25.
[構(gòu)建體系]
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立時第二步歸納假設(shè)的正確寫法是( )
A.假設(shè)n=k時命題成立
B.假設(shè)n=k(k∈N+)時命題成立
C.假設(shè)n=k(k≥5)時命題成立
D.假設(shè)n=k(k>5)時命題成立
【解析】 由題意知n≥5,n∈N+,
∴應(yīng)假設(shè)n=k(k≥5)時命題成立.
【答案】 C
2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+1)時,第一步即證明不等式__________成立.
【導(dǎo)學(xué)號:94910040】
【解析】 因為n>1,所以第一步n=2,即證明1++<2成立.
【答案】 1++<2
5.證明:1+++…+<2(n∈N+).
【證明】 (1)當(dāng)n=1時,不等式成立.
(2)假設(shè)n=k時,不等式成立,
即1+++…+<2.
那么n=k+1時,
+<2+
=<=2.
這就是說,n=k+1時,不等式也成立.
根據(jù)(1)(2)可知不等式對任意n∈N+成立.
我還有這些不足:
(1)
(2)
我的課下提升方案:
(1)
(2)
學(xué)業(yè)分層測評(十三)
(建議用時:45分鐘)
[學(xué)業(yè)達標(biāo)]
一、選擇題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>(n≥2)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊( )
A.增加了一項
B.增加了兩項和
C.增加了B中的兩項但減少了一項
D.以上均不正確
【解析】 由-=+-=-.故選C.
【答案】 C
2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“n2<2n對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時,n0應(yīng)取值為( )
A.1 B.3
C.5 D.7
【解析】 12<21,22=22,32>23,42=24,利用數(shù)學(xué)歸納法驗證n≥5,故n0的值為5.
【答案】 C
3.對于不等式對大于1的一切自然數(shù)n都成立,則自然數(shù)m的最大值為( )
A.12 B.13
C.14 D.不存在
【解析】 令f(n)=++…+,
易知f(n)是單調(diào)遞增的.
∴f(n)的最小值為f(2)=+=.
依題意>,∴m<14.
因此取m=13.
【答案】 B
二、填空題
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”時,第一步的驗證為__________.
【導(dǎo)學(xué)號:94910041】
【解析】 當(dāng)n=1時,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.
【答案】 21+1≥12+1+2
7.觀察式子:1+<,1++<,1+++<,…,則可歸納出__________.
【答案】 1+++…+<(n≥2,n∈N+)
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明≥ (a,b是非負(fù)實數(shù),n∈N+)時,假設(shè)n=k時不等式≥ (*)成立,再推證n=k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式同乘__________.
【解析】 要想辦法出現(xiàn),兩邊同乘以,右邊也出現(xiàn)了要求證的.
【答案】
三、解答題
9.設(shè)a,b為正實數(shù),證明:對任意n∈N+,有(a+b)n≥an+nan-1b.
【證明】 由(1+x)n≥1+nx(x≥-1,n∈N+),
∴n≥1+,
即≥1+,
∴(a+b)n≥an+n,
故(a+b)n≥an+nban-1.
10.設(shè)01,又a1=1+a<,
∴當(dāng)n=1時,命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題1(1-a)+a=1,
同時,ak+1=+a<1+a=<,
當(dāng)n=k+1時,命題也成立,
即1-,假設(shè)n=k時,不等式成立,則當(dāng)n=k+1時,應(yīng)推證的目標(biāo)是( )
A.++…+>-
B.++…+>-
C.++…+>-
D.++…+>-
【解析】 注意不等式兩邊含變量“n”的式子,因此當(dāng)n=k+1時,應(yīng)該是含“n”的式子發(fā)生變化,所以n=k+1時,應(yīng)為++…++>-.
【答案】 A
2.若k棱柱有f(k)個對角面,則(k+1)棱柱對角面的個數(shù)為( )
A.2f(k) B.k-1+f(k)
C.f(k)+k D.f(k)+2
【解析】 由n=k到n=k+1時增加的對角面的個數(shù)與底面上由n=k到n=k+1時增加的對角線一樣,設(shè)n=k時,底面為A1A2…Ak,n=k+1時底面為A1A2A3…AkAk+1,增加的對角線為A2Ak+1,A3Ak+1,A4Ak+1,…,Ak-1Ak+1,A1Ak,共有(k-1)條,因此對角面也增加了(k-1)個.
【答案】 B
3.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點,若用f(n)表示這n條直線的交點的個數(shù),則f(4)=______;當(dāng)n>4時,f(n)=____________________(用n表示).
【導(dǎo)學(xué)號:94910042】
【解析】 f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一條直線,交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù).
∴f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…,f(n)-f(n-1)=n-1.
累加,得
f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1)=(n-3),
∴f(n)=(n+1)(n-2).
【答案】 5 (n+1)(n-2)
4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N+).
(1)判斷是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(2)證明:S+S+…+S≤-.
【解】 (1)S1=a1=,
∴=2.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,
即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.
∴-=2,
故是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列.
(2)證明:①當(dāng)n=1時,S==-,成立.
②假設(shè)n=k(k≥1,且k∈N+)時,不等式成立,即S+S+…+S≤-成立,
則當(dāng)n=k+1時,S+S+…+S+S≤-+=-
=-
<-
=-.
即當(dāng)n=k+1時,不等式成立.
由①②可知對任意n∈N+不等式成立.
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