高中數學 4_4 參數方程 11 直線的參數方程的應用學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 4.4 參數方程 11 直線的參數方程的應用學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 1．已知直線l經過點P(1，－3)，傾斜角為，求直線l與直線l′：y＝x－2的交點Q與點P的距離|PQ|. 【解】　∵l過點P(1，－3)，傾斜角為， ∴l(xiāng)的參數方程為(t為參數)，即(t為參數)． 代入y＝x－2，得－3＋t＝1＋t－2， 解得t＝4＋2， 即t＝2＋4為直線l與l′的交點Q所對應的參數值，根據參數t的幾何意義，可知|t|＝PQ，∴PQ＝4＋2. 2．求直線(t為參數)被圓x2＋y2＝9截得的弦長． 【解】　將代入圓的方程x2＋y2＝9，得5t2＋8t－4＝0，t1＋t2＝－，t1t2＝－. |t1－t2|2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝＋＝， 所以弦長＝|t1－t2|＝＝. 3．已知橢圓＋＝1和點P(2,1)，過P作橢圓的弦，并使點P為弦的中點，求弦所在的直線方程． 【解】　設弦所在直線的參數方程為(t為參數)，代入橢圓方程＋＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋4(cosα＋2sin α)t－8＝0，所以t1＋t2＝－，因為P是弦的中點，所以t1＋t2＝0， 即－＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－.又P(2,1)在橢圓內，所以弦所在的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 4．過拋物線y2＝2px(p>0)的頂點作兩條互相垂直的弦OA，OB，求線段AB中點M的軌跡的普通方程． 【解】　由題意知，兩弦所在直線的斜率存在且不為0，所以設直線OA的方程為y＝kx， 則OB的方程為y＝－x，解得或所以A點坐標為(，)．同理可求得B點坐標為(2pk2，－2pk)．設AB中點M的坐標為(x，y)， 則消去k得y2＝px－2p2.所以點M的軌跡方程為y2＝px－2p2. 5．(湖南高考改編)在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數)與曲線C2：(θ為參數，a>0)有一個公共點在x軸上，試求a的值． 【導學號：98990034】 【解】　∵消去參數t得2x＋y－3＝0. 又消去參數θ得＋＝1. 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，將(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝. 6．已知直線l經過點P(1,0)，傾斜角為α＝. (1)寫出直線l的參數方程； (2)設直線l與橢圓x2＋4y2＝4相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積． 【解】　(1)直線l的參數方程為 即(t為參數)． (2)聯立直線與圓的方程得 (1＋t)2＋4()2＝4，∴t2＋t－3＝0， 所以t1t2＝－，即|t1||t2|＝. 所以P到A、B兩點的距離之積為. 7．已知拋物線y2＝8x的焦點為F，過F且斜率為2的直線交拋物線于A、B兩點． (1)求AB；(2)求AB的中點M的坐標及FM. 【解】　拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)， 依題意，設直線AB的參數方程為 (t為參數)， 其中tan α＝2，cos α＝，sin α＝，α為直線AB的傾斜角，代入y2＝8x整理得t2－2t－20＝0. 則t1＋t2＝2，t1t2＝－20. (1)AB＝|t2－t1|＝ ＝＝10. (2)由于AB的中點為M， 故點M對應的參數為＝， ∴M(3,2)，FM＝||＝. 能力提升] 8．如圖446所示，已知直線l過點P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求： 圖446 (1)P，M間的距離PM； (2)點M的坐標； (3)線段AB的長． 【解】　(1)∵直線l過點P(2,0)，斜率為，設直線l的傾斜角為α，則 tan α＝，cos α＝，sin α＝， ∴直線l的參數方程的標準形式為 (t為參數)．(*) ∵直線l和拋物線相交，∴將直線l的參數方程代入拋物線方程y2＝2x中， 整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4850＞0. 設這個二次方程的兩個根為t1，t2，由根與系數的關系得t1＋t2＝，t1t2＝－. 由M為線段AB的中點，根據t的幾何意義，得 PM＝＝. (2)因為中點M所對應的參數為tM＝， 將此值代入直線l的參數方程的標準形式(*)， 得 即M(，)． (3)AB＝|t1－t2|＝ ＝.