高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)3 合情推理 新人教A版選修1-2
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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)3 合情推理 新人教A版選修1-2 (建議用時(shí):45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.(2016鄭州高二檢測(cè))下列說(shuō)法正確的是( ) A.由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的 B.合情推理必須有前提有結(jié)論 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的結(jié)論無(wú)法判定正誤 【解析】 合情推理得出的結(jié)論不一定正確,故A錯(cuò);合情推理必須有前提有結(jié)論,故B對(duì);合情推理中類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同,從而推出它們的其他屬性也相同的推理,可進(jìn)行猜想,故C錯(cuò);合情推理得出的結(jié)論可以進(jìn)行判定正誤,故D錯(cuò). 【答案】 B 2.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖? ) A.“若a3=b3,則a=b”類比推出“若a0=b0,則a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“(ab)c=acbc” C.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“=+(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”類比推出“(a+b)n=an+bn” 【解析】 由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確. 【答案】 C 3.(2016大連高二檢測(cè))用火柴棒擺“金魚”,如圖217所示, 圖217 按照上面的規(guī)律,第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為( ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 【解析】 從①②③可以看出,從第②個(gè)圖開始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根,故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列,第一個(gè)圖中火柴棒為8根,故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n+2. 【答案】 C 4.對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想:正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的( ) A.一條中線上的點(diǎn),但不是中心 B.一條垂線上的點(diǎn),但不是垂心 C.一條角平分線上的點(diǎn),但不是內(nèi)心 D.中心 【解析】 由正四面體的內(nèi)切球可知,內(nèi)切球切于四個(gè)面的中心. 【答案】 D 5.(2016南昌調(diào)研)已知整數(shù)對(duì)的序列為(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,則第57個(gè)數(shù)對(duì)是( ) A.(2,10) B.(10,2) C.(3,5) D.(5,3) 【解析】 由題意,發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對(duì)有如下規(guī)律: (1,1)的和為2,共1個(gè); (1,2),(2,1)的和為3,共2個(gè); (1,3),(2,2),(3,1)的和為4,共3個(gè); (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和為5,共4個(gè); (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和為6,共5個(gè). 由此可知,當(dāng)數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字之和為n時(shí),有n-1個(gè)數(shù)對(duì).易知第57個(gè)數(shù)對(duì)中兩數(shù)之和為12,且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對(duì)中的第2個(gè)數(shù)對(duì),故為(2,10). 【答案】 A 二、填空題 6.把正數(shù)排列成如圖218甲的三角形數(shù)陣,然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù),得到如圖218乙的三角形數(shù)陣,現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列,得到一個(gè)數(shù)列{an},若an=2 017,則n=__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):19220014】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 乙 圖218 【解析】 圖乙中第k行有k個(gè)數(shù),第k行最后的一個(gè)數(shù)為k2,前k行共有個(gè)數(shù),由4444=1 936,4545=2 025知an=2 017出現(xiàn)在第45行,第45行第一個(gè)數(shù)為1 937,第+1=41個(gè)數(shù)為2 017,所以n=+41=1 031. 【答案】 1 031 7.(2016日照高二檢測(cè))二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2πr,二維測(cè)度(面積)S=πr2,觀察發(fā)現(xiàn)S′=l;三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2,三維測(cè)度(體積)V=πr3,觀察發(fā)現(xiàn)V′=S.已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度V=8πr3,猜想其四維測(cè)度W=________. 【解析】 因?yàn)閂=8πr3,所以W=2πr4,滿足W′=V. 【答案】 2πr4 8.已知{bn}為等比數(shù)列,b5=2,則b1b2b3…b9=29.若{an}為等差數(shù)列,a5=2,則{an}的類似結(jié)論為________. 【解析】 結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn),類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9=29可得,在{an}中,若a5=2,則有a1+a2+a3+…+a9=29. 【答案】 a1+a2+a3+…+a9=29 三、解答題 9.已知數(shù)列,,…,,…,Sn為其前n項(xiàng)和,計(jì)算S1,S2,S3,S4,觀察計(jì)算結(jié)果,并歸納出Sn的公式. 【解】 S1====, S2=+===, S3=+===, S4=+===, 由此歸納猜想Sn=. 10.(2016咸陽(yáng)高二檢測(cè))在平面幾何中,研究正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí),我們有真命題:邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值a.類比上述命題,請(qǐng)你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題,并給出簡(jiǎn)要的證明. 【解】 類比所得的真命題是:棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是定值a. 證明:設(shè)M是正四面體PABC內(nèi)任一點(diǎn),M到平面ABC,平面PAB,平面PAC,平面PBC的距離分別為d1,d2,d3,d4.由于正四面體四個(gè)面的面積相等,故有: VPABC=VMABC+VMPAB+VMPAC+VMPBC=S△ABC(d1+d2+d3+d4),而S△ABC=a2,VPABC=a3,故d1+d2+d3+d4=a(定值). [能力提升] 1.根據(jù)給出的數(shù)塔,猜測(cè)123 4569+7等于( ) 19+2=11; 129+3=111; 1239+4=1 111; 1 2349+5=11 111; 12 3459+6=111 111; A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113 【解析】 由前5個(gè)等式知,右邊各位數(shù)字均為1,位數(shù)比前一個(gè)等式依次多1位,所以123 4569+7=1 111 111,故選B. 【答案】 B 2.已知結(jié)論:“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn),G是三角形ABC的重心,則=2”.若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”,則=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 如圖,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,即易知其高AM=,此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心,設(shè)其半徑為r,利用等體積法有4r=?r=,故AO=AM-MO=-=,故AO∶OM=∶=3∶1. 【答案】 C 3.(2016溫州高二檢測(cè))如圖219所示,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為左焦點(diǎn),當(dāng)⊥時(shí),其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_________________________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):19220015】 圖219 【解析】 如圖所示,設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0), 則F(-c,0),B(0,b),A(a,0), 所以=(c,b),=(-a,b). 又因?yàn)椤停? 所以=b2-ac=0, 所以c2-a2-ac=0,所以e2-e-1=0, 所以e=或e=(舍去). 【答案】 4.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213+cos217-sin 13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin 18cos 12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 【解】 (1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=. (2)三角恒等式為sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =sin2α+(cos 30cos α+sin 30sin α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α) =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α =sin2α+cos2α=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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