高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ) 第33課時 冪函數(shù)練習(xí) 新人教B版必修1

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第33課時　冪函數(shù) 課時目標(biāo) 1.通過實例，了解冪函數(shù)的概念． 2．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的變化情況及簡單性質(zhì)． 3．會用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡單問題． 識記強(qiáng)化 1．一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 2．冪函數(shù)隨著α的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)： (1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)； (2)如果α＞0，則冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)． (3)如果α＜0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸，當(dāng)x趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸． (4)如果冪函數(shù)的圖象過第三象限，則一定過點(diǎn)(－1，－1)． 課時作業(yè) (時間：45分鐘，滿分：90分) 　　　　　　　　　 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．在函數(shù)①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是冪函數(shù)的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 答案：C 解析：冪函數(shù)是形如y＝xα(α∈R，α為常數(shù))的函數(shù)，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù)．所以只有①②⑥是冪函數(shù)． 2．已知函數(shù)f(x)＝(a2－a－1)x為冪函數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．－1或2 B．－2或1 C．－1 D．1 答案：C 解析：因為f(x)＝(a2－a－1)x為冪函數(shù)，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1. 3．冪函數(shù)f(x)＝x的大致圖象為(　　) 答案：B 解析：由于f(0)＝0，所以排除C，D選項，而f(－x)＝(－x) ＝＝＝x＝f(x)，且f(x)的定義域為R，所以f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．故選B. 4．設(shè)a＝()，b＝()，c＝()，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 答案：B 解析：∵f(x)＝()x在R上為減函數(shù)，∴()＜()，即a＜b；∵f(x)＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴()＞()，即a＞c.∴b＞a＞c. 5．函數(shù)f(x)＝x＋的定義域為(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(0，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：由已知，得??0＜x＜1或x＞1，所以f(x)的定義域為(0,1)∪(1，＋∞)． 6．當(dāng)x∈(1，＋∞)時，函數(shù)y＝xa的圖象恒在直線y＝x的下方，則a的取值范圍是(　　) A．0＜a＜1 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)＜1，且a≠0 D．a(chǎn)＞1 答案：C 解析：如圖(1)所示，當(dāng)0＜a＜1時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xa的圖象恒在直線y＝x的下方；如圖(2)所示，當(dāng)a＜0時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xa的圖象也符合條件． 二、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分) 7．若α∈R，函數(shù)f(x)＝(x－1)α＋3的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 答案：(2,4) 解析：令x－1＝1，得x＝2，∴f(2)＝1α＋3＝4，所以f(x)＝(x－1)α＋3的圖象恒過定點(diǎn)(2,4)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)． 8．已知冪函數(shù)f(x)＝x (m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 答案：f(x)＝x4 解析：因為冪函數(shù)f(x)＝x (m∈Z)為偶函數(shù)，所以－m2＋2m＋3為偶數(shù)．又f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3為偶數(shù)，所以m＝1，故所求解析式為f(x)＝x4. 9．函數(shù)y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定義域是全體實數(shù)，則m的取值范圍是________． 答案：m＞2 解析：要使y＝(mx2＋4x＋2) ＋(x2－mx＋1)的定義域是全體實數(shù)，則需mx2＋4x＋2＞0對一切實數(shù)都成立，即所以解得m＞2. 故m的取值范圍是m＞2. 三、解答題(本大題共4小題，共45分) 10．(12分)將下列各組數(shù)從小到大排列起來． (1)2.5，(－1.4) ，(－)； (2)4.5，3.8，(－1.9)； (3)0.16，0.5，6.25. 解：(1)∵(－1.4) ＝1.4＞0，(－)＜0， 又y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴(－)＜(－1.4) ＜2.5. (2)∵4.5＞1,0＜3.8＜1，(－1.9) ＜0， ∴(－1.9) ＜3.8＜4.5. (3)0.16＝0.4，6.25＝2.5＝()， 又∵y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且＞0.5＞0.4， ∴6.25＜0.5＜0.16. 11．(13分)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(8，)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的值域； (3)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性． 解：(1)設(shè)f(x)＝xα. ∵f(x)的圖象過點(diǎn)P(8，)， ∴8α＝，即23α＝2－1， ∴3α＝－1，即a＝－， ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x (x≠0)． (2)∵f(x)＝x＝，x≠0，∴y≠0， ∴f(x)的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)． (3)∵f(－x)＝(－x) ＝＝－＝－f(x)， 又f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f(x)是奇函數(shù)． 能力提升 12．(5分)已知冪函數(shù)y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在第一象限內(nèi)的圖象分別是圖中的C1、C2、C3、C4，則n1、n2、n3、n4的大小關(guān)系是(　　) A．n1＞n2＞1，n3＜n4＜0 B．n1＞n2＞1，n4＜n3＜0 C．n1＞1＞n2＞0＞n4＞n3 D．n1＞1＞n2＞0＞n3＞n4 答案：D 解析：直接根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果，也可過(1,1)點(diǎn)作垂直于x軸的直線，在該直線的右側(cè)，自上而下冪函數(shù)的指數(shù)依次減?。? 13．(15分)已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)當(dāng)x∈[1,2]時，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A，求實數(shù)k的取值范圍． 解：(1)依題意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2. 當(dāng)m＝2時，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)，可知f(x)＝x2. 當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)，g(x)均為單調(diào)遞增， ∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]． ∵A∪B＝A，∴B?A， ∴?0≤k≤1. ∴實數(shù)k的取值范圍是[0,1]．