高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步單元測試五 圓與圓的方程 北師大版必修2

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單元測試五　圓與圓的方程 本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘． 　 　　　　　　　　 　　　 　　　 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的． 1．過點(diǎn)A(1,2)，且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25 B．(x－1)2＋(y－3)2＝2 C．(x－5)2＋(y－5)2＝25 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1 答案：A 解析：由圖形易知滿足此條件的圓有兩個(gè)． 2．兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切 答案：B 解析：4－3<5<4＋3. 3．過圓x2＋y2＝25上一點(diǎn)P(－4，－3)的圓的切線方程為(　　) A．4x－3y－25＝0 B．4x＋3y＋25＝0 C．3x＋4y－25＝0 D．3x－4y－25＝0 答案：B 解析：k＝＝，則切線的斜率為－，且經(jīng)過(－4，－3)這一點(diǎn)，直線方程為4x＋3y＋25＝0. 4．若圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋1＝0對稱，則a＋b等于(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案：C 解析：∵圓心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝. 5．以A(－1,2)，B(5，－6)為直徑兩端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋2)2＝25 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝25 C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x＋2)2＋(y－2)2＝25 答案：A 解析：A(－1,2)，B(5，－6)兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)為圓心，其圓心坐標(biāo)為(2，－2)，可知選A. 6．若直線ax＋by－1＝0與圓x2＋y2＝1相切，則點(diǎn)P(a，b)的位置是(　　) A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上皆有可能 答案：A 解析：∵直線與圓相切， ∴＝1， P(a，b)到圓心的距離d＝＝1， ∴點(diǎn)P在圓上． 7．圓心為A(1，－2)且與直線x－3y＋3＝0相切的圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝ B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝ D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10 答案：B 解析：圓半徑r＝＝，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝10. 8．直線x＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長等于2 ，則a的值等于(　　) A．1或3 B.或－ C. D．－1或3 答案：A 解析：由題意|a－2|2＋()2＝22，解得a＝1或3. 9．若直線－2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)始終平分圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0的周長，則＋的最小值是(　　) A．4 B．2 C. D. 答案：A 解析：由題意可知，直線過圓心得a＋b＝1. ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4. 10．直線y＝－x＋b與曲線y＝有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A．2＜b＜2 B．2≤b＜2 C．2≤b≤2 D．2＜b≤2 答案：B 解析：由圖可知，2≤b<2. 二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上． 11．以點(diǎn)C(－3,4)為圓心，2 為半徑的圓的方程是________． 答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝12. 12．點(diǎn)P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓x2＋y2＋4x＋2y＝4上，則|PQ|的最小值是________． 答案：3 －6 解析：P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圓心O1(4,2)，半徑為3. Q在圓x2＋y2＋4x＋2y＝4上，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，圓心O2(－2，－1)，半徑為3， ∴|O1O2|＝ ＝＝3 . ∴|PQ|min＝|O1O2|－R1－R2＝3 －6. 13．直線mx＋ny＝1與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)為整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))，這樣的直線的條數(shù)是________條． 答案：8 解析：圓上的點(diǎn)為整點(diǎn)的有四個(gè)(2,0)，(0，2)，顯然直線mx＋ny＝1不能過原點(diǎn)．若直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有4條；若直線與圓相切，則這樣的直線也有4條，故8條直線． 三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 14．求過點(diǎn)A(1,6)和B(5,6)且與直線2x－3y＋16＝0相切的圓的方程． 解：顯然圓心在線段AB的垂直平分線x＝3上 設(shè)圓心為(3，b)，半徑為r，則(x－3)2＋(y－b)2＝r2，得(1－3)2＋(6－b)2＝r2，而r＝， ∴b＝3，r＝， ∴(x－3)4＋(y－3)4＝13. 15．已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圓C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0. (1)求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線的方程； (2)求它們的公共弦長． 解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②； ②－①得：2x＋y－5＝0為公共弦所在直線的方程； (2)弦長的一半為＝，公共弦長為2. 16．求以兩圓C1：x2＋y2＋2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x－5＝0的交點(diǎn)為直徑的圓的方程． 解：設(shè)過C1、C2交點(diǎn)的圓的方程為： x2＋y2＋2x－3＋λ(x2＋y2－4x－5)＝0， 整理即得圓心為(－，0)． 又∵兩圓公共弦為3x＋1＝0，圓心在公共弦上， ∴－3＋1＝0，∴λ＝. ∴所求圓的方程為9x2＋9y2＋6x－31＝0. 即x2＋y2＋x－＝0. 17．已知曲線C：x＝ 與直線y＝k(x－1)＋3只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：曲線C的方程可化為x2＋y2＝4，x≥0，∴曲線C表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓的右半部分，直線過定點(diǎn)M(1,3)．如圖所示． 由圖可得kAM＝1，kBM＝5，∴1≤k＜5. 又＝2，化簡得3k2＋6k－5＝0， 解得k＝－1(舍去正根)． 綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是1≤k＜5或k＝－1－. 18．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程； (2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知， 圓心為(－1,2)，半徑為. 當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx， 則＝. 所以k＝2，即切線方程為y＝(2)x. 當(dāng)切線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為x＋y＝a， 則＝.所以a＝－1或a＝3， 即切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 所以切線方程為y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)設(shè)P(x1，y1)．∵|PO|2＋r2＝|PC|2， ∴x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2， 即2x1－4y1＋3＝0. 要使|PM|最小，只要|PO|最小即可． 當(dāng)直線PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時(shí)， 即直線PO的方程為2x＋y＝0時(shí)，|PM|最小， 此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn)，得P點(diǎn)坐標(biāo)(－，)．