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計算機(jī)與運籌學(xué)研究一種最佳切割方式的確定算法
席林，邁克爾喬治艾迪斯*?汽巴精化公司的CH - 1870 Monthey，瑞士?研究與技術(shù)中心 - 海拉斯，化工過程工程研究所，寶盒361?熱敏電阻57001，希臘塞薩洛尼基
摘要
???本文提出了在確定問題的一個新的數(shù)學(xué)規(guī)劃的制定，最佳的方式，給定大小的幾個產(chǎn)品輥要切出一個或多個標(biāo)準(zhǔn)件，標(biāo)準(zhǔn)類型。其目的是執(zhí)行這項任務(wù)，從而最大限度地考慮到從銷售收入，原卷??成本，改變切削模式的成本和費用。出售的裝飾。一個混合整數(shù)線性規(guī)劃（混合整數(shù)線性規(guī)劃）模型提出了一種解決的全局最優(yōu)使用標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。有不少的例子，包括工業(yè)界的實際，研究中，被提出來驗證電子$ ciency和該模型的適用性。
范圍和宗旨
???一維下料（修剪虧損）生產(chǎn)項目時出現(xiàn)問題，有可能在物理上，成片的大小分成了一維的多樣性（例如，當(dāng)主人的紙分切卷成卷筒，寬度窄）。這些問題發(fā)生時，有規(guī)模沒有與相關(guān)經(jīng)濟(jì)，生產(chǎn)規(guī)模較大的原材料（主）卷。一般來說，在解決這些問題的目的有如下5點：
1.?盡量減少修剪損失;
2.??避免生產(chǎn)過度運行和/或;
3.避免不必要的分切機(jī)設(shè)置。
4.上述問題，尤其是在紙張加工工業(yè)的重要一卷紙時，需要一套要削減從原料紙卷。由于產(chǎn)品的寬度是充分的原紙寬度無關(guān)，一個高度組合問題出現(xiàn)了。一般來說，切割產(chǎn)生的必然過程始終修剪損，已被燒毀或在某些廢物處理廠處理。在造紙行業(yè)的修剪，丟失問題，在最近幾年，主要是解決了采用啟發(fā)式規(guī)則。實際問題的表述。因此，在大多數(shù)情況下被事實限制了解決的方法應(yīng)該能夠處理
整個問題。因此，只有次優(yōu)解到原來的問題，并已取得
5.通訊作者。電話：＃30-31-498-143，傳真：＃。30-31-498-180。
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席林1042克，M.C.喬治艾迪斯/計算機(jī)與運籌學(xué)研究29（2002）1041} 1058
很多時候，這個不能離開經(jīng)濟(jì)的問題留給了制造業(yè)。這項工作提出，為電子新算法的確定的文件轉(zhuǎn)換過程最佳切割方式。一個混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，提出這是解決全球最優(yōu)利用現(xiàn)有計算機(jī)工具。大量的問題，包括工業(yè)為例，提出說明該算法的適用性。 2002年Elsevier科學(xué)有限公司保留所有權(quán)利。
關(guān)鍵詞：整數(shù)規(guī)劃;優(yōu)化;修剪損耗問題;紙加工行業(yè)
1。簡介
???一個重要的問題，這是經(jīng)常遇到的，如造紙行業(yè)與有關(guān)最經(jīng)濟(jì)的方式，給定大小的幾個產(chǎn)品推出要產(chǎn)生，切割在一個或多個標(biāo)準(zhǔn)寬度更廣的一個或多個可用的原始卷。這種解決方案
問題涉及幾個交互決定：
?其各項尺寸的產(chǎn)品數(shù)量，生產(chǎn)卷。?這可能是由于允許各不相同下限和上限。?在訂單室目前突出，而后者則對應(yīng)的最大市場容量。但是，一定的折扣哦，可能要到銷售超過定單，以上數(shù)量為其中訂單可室。?每間標(biāo)準(zhǔn)寬度原始輥數(shù)量將會被削減。
???勞斯萊斯，可在一個或多個標(biāo)準(zhǔn)寬度，對一臺直噴！erent單位單價。??針對每個原始滾切模式。切割發(fā)生在一個雇用一個在并行操作上一卷刀號機(jī)的地方，?標(biāo)準(zhǔn)寬度。雖然刀的位置可能會更改從一個滾動到下一個，這樣的變化可能會產(chǎn)生一定的費用。此外，可能有一定的技術(shù)的限制，?刀位置可實現(xiàn)任何特定的切割機(jī)。
???上述問題的最優(yōu)解往往與最小化的`trima廢物一般是不可避免的，因為標(biāo)準(zhǔn)寬度輥使用。然而，修剪丟失最小化，并不一定意味著對原材料的成本最小化（卷）特別是如果正在使用的幾種標(biāo)準(zhǔn)卷筒尺寸可供選擇。一個更直接的經(jīng)濟(jì)標(biāo)準(zhǔn)是同時考慮到經(jīng)營噸最大化：??從產(chǎn)品銷售輥，
包括任何批量折扣常態(tài)收入;
該卷的實際使用成本;?的費用，如果有的話，換在切割機(jī)刀職位;
?廢物的處置費用的削減。
???以上是一個高度組合的問題，這并不奇怪，傳統(tǒng)的解決方案往往是對人體進(jìn)行手動的專業(yè)知識為基礎(chǔ)。這個問題類似于切割下料問題在行動，研究文獻(xiàn)中，凡訂購件數(shù)需要削減噢！更大的存儲塊以最經(jīng)濟(jì)時尚。在60年代和70年代，一些文章對這一問題盡量減少修剪損失，例如[1,2]。 Hinxman [3]提出了一種可用的解決方案，很好地概括修剪方法損益和各種各樣的問題。?Gilmore和戈莫里[1]提出了一個基本的線性規(guī)劃的方法來削減庫存問題，同時放寬一些問題整數(shù)字符。 Gilmore和戈莫里[2]去scribed迭代求解方法，是非常大的訂單數(shù)量適當(dāng)，計算便宜，但對于削減模式的數(shù)量所產(chǎn)生的值會用于非整數(shù)，這是無法證明的最優(yōu)性或指示的優(yōu)選保證金。這些切割方式。因此，四舍五入值，得到由吉爾摩和算法戈莫里[2]可能很可能導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)不佳。 Wascher [4]提出線性規(guī)劃方法下料問題考慮到多重目標(biāo)，如原料成本，倉儲成本的生產(chǎn)過剩，修剪損耗搬遷費等。斯維尼[5]提出了求解一維下料問題的啟發(fā)式程序多個質(zhì)量等級。費雷拉等。 [6]認(rèn)為兩階段滾切問題，基于啟發(fā)式的方法。 Gradisar等。 [7]提出一個電子序列啟發(fā)式$古程序以及為在服裝行業(yè)的最優(yōu)化軟件工具推出。后來，Gradisar等。 [8]開發(fā)了一個改進(jìn)方案的戰(zhàn)略基礎(chǔ)上的近似組合，系統(tǒng)蒸發(fā)散和啟發(fā)式領(lǐng)先的一維下料幾乎最優(yōu)解問題。一種軟件工具，還制定。
?? 近年來，整數(shù)規(guī)劃技術(shù)已用于裁切損耗的解決方案和生產(chǎn)在造紙行業(yè)的優(yōu)化問題。和工作的韋斯特倫德在一博Akademi大學(xué)是芬蘭的同事在這方面的重要貢獻(xiàn)。 Harjunkoski[9]考慮到修剪損耗問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，提出了兩個制定erent的類型。這對需要在使用和切割模式對輥切而必須根據(jù)每個這樣的模式處理數(shù)為未知數(shù)。在整數(shù)非線性數(shù)學(xué)問題，這結(jié)果（INLP）涉及雙線性問題每次切割的變量描述模式和相應(yīng)數(shù)量的本卷切方式。兩地！的線性化INLP獲得一個混合整數(shù)線性規(guī)劃erent方式（混合整數(shù)規(guī)劃）模式進(jìn)行了介紹。然而，這些linearizations往往導(dǎo)致signi“不能增加變量和約束數(shù)量，以及作為一個大型的完整性的差距。第二種類型，由Harjunkoski [9]提出的制定是基于采用“xed切割模式集是先天決定。在一個混合整數(shù)規(guī)劃，有一個比一個更小的差距，這結(jié)果的完整性從INLP制定線性造成上述。然而，解決的辦法獲得的最佳保證只有當(dāng)所有非劣切削模式是鑒定出“ED和考慮。這種模式的數(shù)量可能相當(dāng)龐大的現(xiàn)實工業(yè)問題。上述工作的延伸，Harjunkoski [10]提出的線性和凸配方解決非凸修剪丟失的問題。韋斯特倫德[11]考慮了二維修剪損耗在轉(zhuǎn)換文件的問題。阿非凸優(yōu)化模型，同時提出在寬度和長度的原紙被視為變量。兩步求解過程是用在所有可行的切割模式是生成一個混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，然后解決了。在一個類似的方式，生產(chǎn)中的紙張加工工業(yè)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題已解決的韋斯特倫德[12]。調(diào)度紙張加工方面的切割機(jī)，同步了CON -sidered與由韋斯特倫德[13]修剪丟失的問題。最近，Harjunkoski [14]成立成一個總體框架的環(huán)境影響因素的修剪丟失最小化。
?本文提出了一種替代的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的直接結(jié)果在小的差距混合整數(shù)線性規(guī)劃的完整性。這一模式的突出特點是，它不需要所有可能的切割方式先驗枚舉。接下來的部分介紹了正式聲明正在審議的問題和符號使用。第3節(jié)認(rèn)為數(shù)學(xué)制定的目標(biāo)函數(shù)和業(yè)務(wù)限制。其次是一些例如工業(yè)問題，其中包括一個案例研究說明了適用性和計算，周志武行為的建議制定。
2。問題陳述和數(shù)據(jù)
??正在考慮的任務(wù)是向他們出示我公司產(chǎn)品輥迪類型，類型寬度我被記為B，我我從一個或多個標(biāo)準(zhǔn)卷。所有原料及輥的長度該產(chǎn)品由他們造成的軋輥被認(rèn)為是相同的。這是超越這項工作的范圍，考慮二維的問題，即無論是寬度和長度
原紙卷和切割模式被認(rèn)為是變量。軋輥生產(chǎn)的產(chǎn)品大多是命令。最低訂購數(shù)量為卷筒產(chǎn)品我記的寬度授予，所以是對應(yīng)的單位價格p。然而，客戶可能會愿意購買額外卷I型最多以數(shù)量n主題的每超出一般最低人數(shù)全產(chǎn)品推出折扣，在這種方式出售額外的輥數(shù)量往往是由于主要誘因，而從小生產(chǎn)廠家的角度來看這樣的折扣僅僅是為了減少損失通過修剪。?該產(chǎn)品將被卷從erent標(biāo)準(zhǔn)類型的原始輥切。單位價格一噸的原料輥式記為C的標(biāo)稱寬度的B.然而，有用的寬度T類型是由輥切割機(jī)使用。特別是，每個原始輥式，T“的一，1的特點是最大可能的總的參與，所有產(chǎn)品的總寬度可以從這種類型的原料輥切卷。也可能有最低需要這種類型的總接觸輥乙。在一般最大卷數(shù)N的產(chǎn)品可切割的原始類型T將推出一般是由刀和可用機(jī)器等特點。此外，在某些情況下，有可能在給定數(shù)目的原始輥Jh的限制T型?針對每個原始滾切模式，是由刀的位置。頻繁在這些位置的變化一般都不可取。因此，每一個這樣的變化可能相關(guān)聯(lián)與非零成本角作者從可用原料輥輥生產(chǎn)所需的產(chǎn)品可能會導(dǎo)致修剪廢物可能需要處置。這種處理單位修剪寬度成本記在給定的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，我們獲得的原始輥數(shù)量的上限j的可能需要削減。這是假設(shè)得到數(shù)N的最大的軋輥產(chǎn)品每種類型我會產(chǎn)生，這類型噸原料卷，允許的最小最小參與B將被使用;并且每個原始卷將被用來生產(chǎn)產(chǎn)品的軋輥只有一個單一類型?？傮w而言，這將導(dǎo)致以下上界原卷數(shù)
? 我們還可以計算其對原卷數(shù)最低下限?要滿足現(xiàn)有訂單的最低需求。我們通過這個假設(shè)輥類型噸，允許最大可能參與B的使用，是沒有修剪生產(chǎn)。然而，我們還必須采取的數(shù)目可能的局限刀。總體而言，這會導(dǎo)致較低的軋輥，可能次數(shù)的上限以下須：
3。數(shù)學(xué)公式
??該數(shù)學(xué)公式的目的是確定每個原始輥型的T J被削減和每種類型的卷數(shù)我的產(chǎn)品要生產(chǎn)如此。
3.1。關(guān)鍵變量
??下面的整數(shù)變量的條件為：
I型產(chǎn)品的數(shù)量，減少軋輥原始推出?第i種類型的產(chǎn)品生產(chǎn)了數(shù)卷和高于最低數(shù)量排序。
??
我們注意到，n不能超過：?數(shù)N的最大的I型，可銷售的產(chǎn)品輥;在寬度為B產(chǎn)品，可容納在一個卷的最大數(shù)量最多，??對于類型T的原料輥達(dá)到最佳的參與B組;?數(shù)N的最大的可應(yīng)用到原始類型的輥刀噸這導(dǎo)致對n以下范圍：
??????我們注意到，必須包含在模型中僅當(dāng)N'全我們還介紹了以下這些二進(jìn)制變量：
?1，如果第j個滾被削減的類型噸，如果為?紙卷切割模式是不同的軋輥j的！1
??然而，制將提交??將只分配一個類型T的原始輥j的實際使用。因此，總輥子的數(shù)目，也將削減了優(yōu)化問題的解決決定。這將成為下一小節(jié)清楚。
3.2。輥式?jīng)Q心限制
??每個原始輥切必須是一個獨特的類型T在以下的限制這樣的結(jié)果：請注意，對于j'J號，它可能是y“后，所有類型T 0，這僅僅意味著它不要削減滾因子。
??此外，給定類型的軋輥有限噸原料可表示在以下方面約束
3.3。切割的限制
??我們必須確保，如果一個rollj要切斷，然后在最低和最高的局限性參與得到遵守。這是實現(xiàn)通過的限制，我們注意到，數(shù)量乙n表示所有產(chǎn)品卷筒總寬度被削減了生滾因子。如果y“對于一些輥式T，那么約束確保另一方面， 這體現(xiàn)了明顯的事實是，如果rollj實際上不是削減，那么沒有任何類型的產(chǎn)品可以滾動從它產(chǎn)生。?我們還需要確保產(chǎn)品的數(shù)量削減任何輥輥型的T J不出來超過可以在部署這種類型的卷數(shù)刀。
???3.4。生產(chǎn)的制約因素
??每種類型的是我生產(chǎn)的產(chǎn)品包括卷筒總數(shù)最低訂購此加上產(chǎn)能過剩的數(shù)量：
再加上這些限制的界限，確保輥型產(chǎn)品數(shù)量我公司生產(chǎn)之間的最小和最大邊界N和N，分別所在。
?????????????????????????????????????????????????????????????
3.5。轉(zhuǎn)換限制
??如果更改裁剪招致非零成本C 0，我們需要確定這樣的變化會發(fā)生。為此，我們包括以下約束：請注意，這將使Z到僅當(dāng)n是零“為我所有產(chǎn)物N卷，也就是說，如果rollsj andj！1在完全相同的方式削減。在這里，M是n個常數(shù)的上限（見3.1節(jié)）。
3.6。目標(biāo)函數(shù)
??該優(yōu)化目標(biāo)是最大化的經(jīng)營噸同時考慮到 ??從各類型產(chǎn)品的銷售收入這包括從銷售收入的最低訂購數(shù)量?價格p，加上額外數(shù)量的銷售單價在貼現(xiàn)收該卷的費用被削減。一般來說，每卷成本取決于它的類型?？偝杀究蓪憺镃Y。
?我們注意到，對于每個rollj，最多一個長期的內(nèi)在總和不為零。??改變了刀具的位置的費用。?一般來說，刀位置必須改變，如果切割為給定的模式所使用的軋輥erent為上個季度。這是由變量z和在成本結(jié)果??那里的總和等于變化所必需的總數(shù)。?在處置成本的任何削減生修剪產(chǎn)生的寬度原rollj給出了由迪！erence輥之間的寬度和所有產(chǎn)品的總寬度卷筒切斷它。前者的數(shù)量取決于類型軋輥，可表示為通過;再次，在這個總和最多的詞匯之一。
??????在下面的成本削減長期處理結(jié)果，?以上條款現(xiàn)在可以收集在下面的目標(biāo)函數(shù)。
3.7。簡并減少和限制收緊
??在一般情況下，上面介紹的基本配方是高度退化：由于任何可行點，人們可以簡單地生成所有可能的選擇形成要削減軋輥訂貨等等。此外，提供了同一類型所有原料連續(xù)輥切，所有這些將可行點內(nèi)容對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值相同。上述財產(chǎn)可能產(chǎn)生不利e!在E美元的搜索過程ciency常態(tài)。因此，為了減少損失沒有任何解決方案的最優(yōu)性退化，我們引入下列順序限制：
這確保了產(chǎn)品的總?cè)藬?shù)輥切生肉rollj！一出永遠(yuǎn)不會比低?相應(yīng)數(shù)量的軋輥，所有完全未使用的原料輥左上次在這個順序。
?另一種做法是為了在不增加用電秩序的原始卷。
?然而，我們的實踐經(jīng)驗表明，這是不是作為約束。我們還注意到，約束（7）隱式征收較低的總?cè)藬?shù)的約束產(chǎn)品卷筒n剪切出原始輥因子。一個強(qiáng)有力的約束有時可能會得到考慮T類型的軋輥使用在最低可能的最廣泛的接觸，以產(chǎn)生可能的產(chǎn)品名單。這導(dǎo)致了約束
3.8。評論
??目標(biāo)函數(shù)和在本節(jié)所介紹的所有約束是線性的。由于所有的變數(shù)是整數(shù)重視，制定頒發(fā)對應(yīng)一個整數(shù)線性規(guī)劃（指令級并行）問題。然而，限制（9）確保變量將自動承擔(dān)整數(shù)提供的值變量n這樣做。因此，可視為連續(xù)的數(shù)量，這留下一個混合整數(shù)線性規(guī)劃（混合整數(shù)規(guī)劃）問題我們。原則上，后者可解決了使用標(biāo)準(zhǔn)的混合整數(shù)線性規(guī)劃求解。
4。例題
??在本節(jié)中，我們考慮四個問題日益復(fù)雜的例子，以研究了我們的配方計算的行為。另外一個工業(yè)案例研究。還介紹了。在所有情況下，我們認(rèn)為最大的原料輥接觸乙等于相應(yīng)的輥寬度B的GAMS本身/ CPLEX求解器比6.0已經(jīng)解決方案中使用[15]?和所有的計算，進(jìn)行了一個Alpha服務(wù)器4100。為0.1％，完整性差距承擔(dān)了所有問題的解決。
4.1。例1
??我們的“rst例子是根據(jù)Harjunkoski [9]給出的。一些不同的翻譯成本安科$ cients是為輕微迪要帳號！erences中所用的目標(biāo)函數(shù)兩種制劑。還要注意，這些作家使用的目標(biāo)是成本最小化為反對噸的最大化，因此，他們的目標(biāo)函數(shù)符號相反對我們的。
表1
例如1原料的滾動輥式寬度B最高。灑乙！B最高。削減成本c ?
?1 1900毫米200毫米5一千九英鎊
表2
例如1生產(chǎn)數(shù)據(jù)
產(chǎn)品幅寬乙分鐘。數(shù)量最多。數(shù)量價格折扣I型（毫米）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電腦，?這個問題的目的是確定生產(chǎn)四迪！的erent類型的最佳切削模式從原始單一類型產(chǎn)品的軋輥輥。后者的特點見表1。生產(chǎn)要求如表2總結(jié)。為改變切削模式的成本
是1英鎊，而招致的任何費用修剪處理。Harjunkoski [9]假設(shè)一??家四迪！erent最大切割圖案，從而導(dǎo)致一個模型的規(guī)?？s小。在我們的情況下，這種模式的數(shù)量是由解決方案。同時，從表現(xiàn)形式（1）及（2），我們確定J“的10和J”8。???解決方案，我們得到的是相同的，報告由Harjunkoski [9]涉及生產(chǎn)最低訂購量的產(chǎn)品輥加一額外的2型3型輥和另一個。形象地提出了解決方案圖。 1，對應(yīng)于目標(biāo)函數(shù)值！1622.0英鎊，因此給定的操作招致的損失的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)。?最佳的解決方案（在一個最優(yōu)利潤率為0.1％）被發(fā)現(xiàn)在不到1個CPU的s在節(jié)點分支定界算法49使用廣度“rst搜索策略。必須指出，我們制定的完整性差距媲美的配方，為一由Harjunkoski [9]提出的事實，盡管它不使用任何先驗的枚舉切割模式。我們還研究制定，以少量的節(jié)點檢測最佳點（見表3）。
???每個豎條對應(yīng)一個DI！erent輥被削減。相應(yīng)的輥式顯示上方?每個酒吧。每個酒吧分為相應(yīng)的部分指定類型的張數(shù)。黑暗的陰影在酒吧上段是修剪損耗，其寬度為百分比顯示在底部的數(shù)值
例如1計算統(tǒng)計
充分放松的最佳節(jié)點變量約束的完整性客觀的客觀差距（％）在B＆B酒店（斌/詮釋/續(xù)）（?。?622.0（！）1619.4 0.18 49 60（13/44/3）115
4.2。例2
???對這個問題的數(shù)據(jù)載于表4和5。沒有改變的成本削減用于裝飾圖案或處置。使用表達(dá)式（1）及（2），它可以計算出一個先驗的所需將于11至15號原卷。?雖然這個問題涉及的產(chǎn)品，只有9卷類型，有一個3971直接投資總！erent切割方式，所有這些都是相對于最小和最大允許總可行聘用軋輥，該可應(yīng)用于輥和刀的最大數(shù)量最大的紙張數(shù)量排序。因此，任何制定明確的模式，依賴于枚舉就必須涉及到大量的離散變量。這是，當(dāng)然，與傳統(tǒng)的方法來削減庫存問題人所共知的問題。?我們的算法獲得關(guān)于這個問題，準(zhǔn)確的（0％的最優(yōu)利潤率）的最佳解決方案在不到1個CPU秒提出這個解決方案是在圖。 2。計算性能統(tǒng)計資料載于表6。
例如2卷原始特征
輥式寬度B最高。灑乙！B最高。削減成本c ?
1 1900毫米200毫米5一六〇〇英鎊
例2和3的生產(chǎn)數(shù)據(jù)產(chǎn)品幅寬乙分鐘。數(shù)量最多。數(shù)量價格折扣
I型（毫米）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電腦
對例2，第3和第4計算統(tǒng)計
充分放松的最佳配方節(jié)點變量約束的完整性?客觀的客觀差距。
例如3卷原始特征輥式寬度B最高。灑乙！B最高。削減成本c ?
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4.3。范例3
???這個例子是類似的實例2中，只有迪！erence是，高達(dá)6成卷的迪生！erent
一種是現(xiàn)在也可被削減（見表7）。由于現(xiàn)在可以更廣泛地輥，最低所需卷數(shù)減少到9 J是（從11例2），但最??高數(shù)量軋輥?保持不變，即15。?準(zhǔn)確的（0％的最優(yōu)保證金），獲得最佳的解決方案，在不到1個CPU秒該圖提出的解決方案。 3計算性能如表6所示的統(tǒng)計數(shù)字。該最高2型原料輥數(shù)量是使用。有趣的是，提及的是，如果沒有對2型原料輥數(shù)量的上限是強(qiáng)加的，只有這種類型的軋輥實際從事。在更高的親“的C三千三百八十噸這就結(jié)果。
4.4。范例4
???這個例子是類似的實例2中，只有迪！erence正科的成本為$ cients變廢為裝飾，?切割處理模式，C和等于10和1，分別。在計算性能見表6。我們注意到，有相當(dāng)數(shù)量較大的節(jié)點分支定界樹是需要比較例2。然而，完整性差距相對較小。
4.5。例5
???一justi“與我們制定教育署關(guān)注的是何種方式計算成本可能隨著訂單要令人滿意“版人數(shù)有所增加。這是因為更多的訂貨會
例如5計算統(tǒng)計
例2中的節(jié)點的CPU全面優(yōu)化變量約束的數(shù)目軋輥
通常意味著更多的原料輥不得不被切割考慮，（例如，更高的J）。的數(shù)量變量和約束在我們的配方與后者呈線性增加。為了研究如何制訂了該計算性能隨對訂購產(chǎn)品的軋輥的數(shù)目，我們進(jìn)行了三次另外的實驗中使用原始例2，但數(shù)據(jù)乘以2，4，10和15的訂購數(shù)量的因素（見附表8），分別。結(jié)果如表8總結(jié)。正如預(yù)期的更大的訂購產(chǎn)品的數(shù)量軋輥，造成較大的數(shù)學(xué)問題和DI美元的解決方案culty。例如，問題的最優(yōu)解的兩倍的訂單數(shù)量使得25迪使用！erent
這是自動切割的算法確定模式。然而，即使有了?最大的問題（涉及1340產(chǎn)品從268張卷筒生產(chǎn)原料），但仍可能確定在不到1分鐘計算在桌面上的最優(yōu)解工作站。整體性的差距也仍然在所有的例子非常小。同樣的問題還解決了的情況下有兩個迪！erent輥可用的類型（如例3）以及訂單總數(shù)超過600張。該解決方案對應(yīng)一個目標(biāo)函數(shù)的C 31550零完整性的差距。所生產(chǎn)的總數(shù)為660張來自120個原始卷。這個問題涉及到1823整數(shù)變量和解決方案，得到43秒的CPU
4.6。工業(yè)個案研究
???這是一個工業(yè)為例，每天修剪損設(shè)在馬其頓優(yōu)化問題造紙廠（梅爾）在希臘北部S.A.公司。褪黑素是主要的造紙生產(chǎn)企業(yè)之一在希臘超過年產(chǎn)10萬噸。通常包括每日秩序5} 15迪！輥erent類型的產(chǎn)品以10}總重量100噸。到目前為止，盡量減少修剪的損耗，目前已進(jìn)行采用啟發(fā)式為基礎(chǔ)的技術(shù)和人力的專業(yè)知識與修剪平均損耗4} 7％的順序而定。對這個問題的所有數(shù)據(jù)都依從表9和10，對應(yīng)于近似的值。?假設(shè)的廢物處置修剪以及改變切削模式的解決方案不花錢
被描繪圖。 4。請注意，9原始輥滿足生產(chǎn)需要。阿總數(shù)1100節(jié)點審查了分支定界樹，需要的計算時間少。
表9
工業(yè)原料的滾動個案研究
輥式寬度B最高。灑乙！B最高。削減成本c ?
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1三百六十厘米40厘米515 9 ?
表10
為工業(yè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)為例
產(chǎn)品幅寬乙（厘米）最小。數(shù)量最多。數(shù)量價格折扣I型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電腦???????????????圖。 4。解無廢物處置和變化的成本削減工業(yè)為例。
5。解決方案與廢物處置和變化的成本削減工業(yè)為例。超過5秒的CPU該目標(biāo)函數(shù)代表親“噸最優(yōu)值是C3105.8它等于完全放松的目的。修剪的平均損耗是1.126％，并代表大約55％的改善比較，現(xiàn)時的做法基于純粹的人
專業(yè)知識。?同樣的問題也解決了假設(shè)美元的成本安科廢物處置cients
為改變切削模式是等于0.39和58.8，分別為（見圖4）。該最優(yōu)值噸，而現(xiàn)在C2842的完全松弛問題的價值是C3044。大約9000點被認(rèn)為需要1分鐘的CPU計算時間。這是值得注意的是，既然改變裁剪成本考慮在內(nèi)，只有三這樣的變化，而平均修剪損耗仍然與前面的情況相同。然而，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，在削減節(jié)省的時間，由于同時minimiz -改變切割圖案，通報BULLETIN已signi植物tability“親上不能影響”。這是由于生產(chǎn)速度增長比例幾乎與總切削減少時間。
5。結(jié)論
???本文介紹了優(yōu)化確定為一個新的數(shù)學(xué)公式切一維問題的圖案。在前面的配方，其主要優(yōu)勢在于它的小的差距，其完整性變量和約束較少。為達(dá)到這個目的，而不需要訴諸先天生成的切割方式，并在問題規(guī)模增加而組合
從這樣一種做法。
???在中等大小混合整數(shù)規(guī)劃問題的結(jié)果，在制訂目前的范圍提供商業(yè)解決者。配方的完整性差距普遍偏小，雖然迪的解決方案增加$ culty，涉及轉(zhuǎn)換和廢物處置費用的問題。?無論是這里提出的制定和審查了本文前面的大部分主要是與確保各項訂單ful關(guān)注“l(fā)led。只有韋斯特爾工作隆德[13]其實認(rèn)為倍，由于此類訂單。一個有趣的方面提出制定明確的特點是，它的卷已被削減順序兩個條款的類型的每種原料輥和裁剪為它用。這將打開的可能性引進(jìn)更多的變量和約束特征的時間點是每卷切斷，從而確定最佳切割調(diào)度。
致謝
???致謝感謝博士Iiro Harjunkoski有關(guān)問題的一些有益的討論本文研究。筆者也感謝議員Sotiris Kiourtsides，生產(chǎn)經(jīng)理馬其頓造紙廠薩，為工業(yè)提供了個案研究和討論，對一些有價值的在修剪損耗問題的實際問題。
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???邁克爾喬治艾迪斯，博士是在化工過程工程研究所專職研究員
希臘塞薩洛尼基。他獲得薩洛尼卡亞里斯多德大學(xué)和他的化學(xué)工程文憑
收到他的碩士和博士學(xué)位在過程系統(tǒng)工程帝國學(xué)院，倫敦。他的研究興趣在于為＃在制造過程工業(yè)領(lǐng)域exible混合整數(shù)和計算機(jī)輔助優(yōu)化技術(shù)，生產(chǎn)調(diào)度，規(guī)劃和動態(tài)建模和仿真。他是雜志的作者和超過15會議出版物。?難解的席林，博士，是一個過程，發(fā)展的汽巴精化公司在瑞士的化學(xué)工程師。他獲得了來自聯(lián)邦理工學(xué)院，蘇黎世他的文憑，并獲得工程博士學(xué)位從過程系統(tǒng)工程中倫敦帝國學(xué)院。