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H型階段的三自由度柔性關節(jié)的優(yōu)化設計
1、摘要
三自由度H型階段，該階段使用柔性聯(lián)合完成了繞Z軸的旋轉運動。利用在H型階段Z軸的旋轉運動，一個1自由度的柔性聯(lián)合被提出來了。擬議中的H型階段的彎曲關節(jié)具有較高的離軸剛度，并且對高的對抗強度有足夠的耐久性。通過對板簧剛度進行分析，我們得到了撓曲聯(lián)合六自由度的剛度方程。為了滿足動力性能所需的要求，我們在進行幾何參數(shù)優(yōu)化設計的過程中使用了二次編程序列。而優(yōu)化設計的結果就是通過對實際彎曲關節(jié)的實驗驗證。
關鍵詞
H型階段；
彎曲關節(jié)；
6自由度分析的剛度方程；
優(yōu)化設計；
系統(tǒng)模式分析
2、介紹
因為電腦的出現(xiàn)，信息技術已在世界上有了顯著的發(fā)展。信息技術的發(fā)展需要大型和高分辨率的顯示器。遠距離精確定位需要是大型并且高分辨率的顯示器，如液晶顯示器，有機發(fā)光二極管和PDP。因此，長程階段所需的高推力的性能以及它的精確性和長期性，直接推動了顯示產(chǎn)業(yè)和半導體產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。
在H型階段已普遍采用了精密定位系統(tǒng)，實現(xiàn)了更大范圍，更精確的精度和更高的推力，特別是完成遠距離的定位。這種定位系統(tǒng)減小了因Z軸回轉誤差和X軸驅動主導位置誤差而引起的制造誤差和裝配誤差。
最近，該單片柔性鉸鏈結構已被用于指導高精密運動系統(tǒng)。該結構能再很大程度上補償Z軸的旋轉誤差。有人開發(fā)出了一種無冗余驅動并聯(lián)機構的旋轉軸移動平臺。它有差角精度因為它用軸承的旋轉接頭。至于他們提到的氯乙烯（聲音的電機）氣靜壓磁浮階段，旋轉運動中的8個氯乙烯單體模塊被用于納米加工過程中的定位，它有0.1個微弧度的精度。在本文中，我們提出了一個使用彎曲關節(jié)的旋轉誤差補償?shù)腍型階段。
柔性引導機制具有許多優(yōu)點：間隙和摩擦可以忽略不計；無限放大驅動輸出位移；內(nèi)在的無限分辨率。因此，彎曲關節(jié)已被用于很多方面，例如顯微系統(tǒng)，平板顯示器過程中的雙驅動系統(tǒng)。
在龍門階段，串聯(lián)直線電機中的柔性彎曲關節(jié)使θz軸旋轉。該柔性鉸鏈具有較高的剛度，以保證H型階段所需的范圍。由于低剛度組件的出現(xiàn)。為了在H型階段不引起不必要的爭議，所以意識到高離軸的彎曲關節(jié)的僵硬是很重要的。1旋轉自由度有許多彎曲關節(jié)，最基本的是柔性聯(lián)合缺口型柔性關節(jié)。由于應力集中圍繞中心支點，缺口型彎曲關節(jié)具有低的旋轉角度。交叉帶柔性關節(jié)，彎曲軸帶，車輪彎曲增加了柔性關節(jié)的運動。這些彎曲關節(jié)的離軸剛度不夠，承受不了高推力。然而，擬議的彎曲關節(jié)，是一個多約束的結構，可以給予較高的肯定。
帕羅和薇絲柏的模型計算了彈簧率單軸柔性鉸鏈機構，他們試了許多方法獲得剛度模型的柔性接頭，并且使用六自由度方程制定了一個剛度建模過程中的一個整體柔性系統(tǒng)的撓性接頭。這種方法可用于復雜的柔性系統(tǒng)。但是很難找到建模誤差，計算誤差產(chǎn)生的坐標轉換和建模誤差出現(xiàn)在剛度模型的柔性機制中。最近，一個以計算機為基礎的有限元方法已被用于分析彈性、自然頻率、動態(tài)特性于一體的全柔性自動機構。在本文中，我們是使用了一個簡單的方法分析了剛度的柔性接頭和剛度的計算方法。
我們對彎曲關節(jié)的改進滿足了所需規(guī)格的H型階段的優(yōu)化設計。使用MATLAB的序列二次編程，對Z軸彎曲關節(jié)的大小進行了優(yōu)化設計。進而也對彎曲關節(jié)的剛度方程和有限元計算結果進行了驗證。
H型階段的三自由度的系統(tǒng)配置
圖1顯示的是龍門階段的配置，包括串聯(lián)軸電機和滑塊。該柔性接頭之間的龍門階段和串聯(lián)軸電機使旋轉運動的龍門階段的軸。滑塊和串聯(lián)軸電機采用直線電機作為執(zhí)行機構和空氣軸承導軌，通常被用于精密定位系統(tǒng)。在串聯(lián)軸電機中，用磁鐵預機制加強剛度的空氣軸承滑塊作為該系統(tǒng)的指導機制。傳感器位置反饋的是×和Y軸光學線性編碼器與納米12位插補。
圖1三維建模的H型階段
串聯(lián)Y軸電機分為主動軸和從動軸，主軸（Y1）作為Y軸運動和Y軸運動誤差的參考標準。在X軸的平移運動方向上，龍門階段的旋轉是圍繞Z軸。圖2顯示了在H型為Z轉動自由度階段所需的自由。在主軸（Y1），龍門階段和主軸電機轉動關節(jié)之間實現(xiàn)了θZ自由度。在從動軸（Y2），一個旋轉彎曲關節(jié)允許X平移運動。沒有主軸（Y1）和龍門階段之間的平移運動。
圖2 H型階段的自由度分析示意圖
平移機構是使用直線運動作為指南。LM導軌，使從動軸電機（Y2）從龍門階段解耦。目的是為了防止旋轉時與空氣軸承階段的LM導軌接觸。
H型階段三自由度的柔性關節(jié)
曲聯(lián)合簡介
擬議的龍門階段的柔性關節(jié)是由Z軸的1R自由度旋轉運動來實施的。圖3顯示了彎曲關節(jié)的車輪形狀，盡管該關節(jié)是一種過約束結構，是由龍門階段中作旋轉運動的軸發(fā)生彈性變形而形成的彈簧結構
。
圖3彎曲關節(jié)的三維建模
柔性接頭的剛度對整個機構的剛度都會產(chǎn)生影響，它決定了整個動態(tài)的H型階段。重要的是，離軸剛度的柔性接頭做高精度運動。因此，該曲是適當?shù)膱?zhí)行型階段。由于有較高的離軸剛度，對六自由度的撓性接頭剛度模型進行的優(yōu)化設計滿足了H型階段所需的規(guī)格。
六自由度的撓性接頭剛度建模
擬議的柔性關節(jié)在X和Y軸是對稱的，所以彎曲關節(jié)遵守對角矩陣式。彎曲關節(jié)的6自由度的剛度方程減少到了四個方程。
該柔性接頭是由相同的八片彈簧組成，為了從每個葉片彈簧得出它的剛度模型，有必要分析一個六自由度多的鋼板彈簧。有許多研究確定剛度鋼板彈簧的精確建模，但很難獲得彎曲關節(jié)全運動范圍的剛度建模。
由于復雜的有限元行為。有人分析鋼板彈簧在理想的運動的剛度。導出夾緊鋼板彈簧的六剛度方程遵守矩陣的排列。
在上式中B、L和T是分別是板簧的高度、長度和厚度。 圖3中，E是楊氏模量，G是剪切模量，K2是建模系數(shù)（由B / T確定）。由六自由度彎曲關節(jié)方程，我們能通過分析推導出所有的鋼板彈簧的變形。在下一節(jié)中，我們提出了確定6自由度的柔性關節(jié)的剛度方程的方法。
圖4鋼板彈簧的參數(shù)和定義
X軸平移剛度方程
為了方便起見，柔性接頭可分為+形鋼板彈簧和×形鋼板彈簧，如圖5所示。式（3）和式（4）代表的是+形鋼板彈簧式平移剛度和×形片鋼板彈簧的方程。
(3)
(4)
其中E為楊氏模量，G是剪切模量，φ是鋼板彈簧和X軸之間的角度。在X方向平移剛度（DFX/ DX）的曲聯(lián)合如下面的公式：
圖5 +形鋼板彈簧及×形鋼板彈簧
Z軸的轉動剛度
當彎曲關節(jié)繞Z軸旋轉時，鋼板彈簧遇到繞Z軸的軸向力，正常的力和力矩如式6。由于所有的力量組件是取消的，正常的力量也為零，所以彎曲關節(jié)總的軸向力的總和是零，因此，關于Z軸的轉動剛度是所有鋼板彈簧在Z軸的總和。方程（6）是關于Z軸的彎曲關節(jié)的轉動剛度。
(6)
其中RI是內(nèi)部半徑。
圖6 MZ的柔性關節(jié)變形
Z軸的平移剛度
Z軸平移剛度鋼板彈簧是八軸平移運動的柔性接頭。因此，它可以模擬在下列方程式：
X軸轉動剛度
鋼板彈簧在平面旋轉運動中具有復雜的變形。圖7顯示了每個鋼板彈簧變形。
圖7 變形彎曲聯(lián)合下MX（一），彎曲聯(lián)合下一刻MX（二），鋼板彈簧自由體圖1，5（三），鋼板彈簧的自由體圖2，4，6，8（四）
X轉動剛度的柔性接頭是由三種類型的變形的鋼板彈簧組成。第一個變形是鋼板彈簧3，鋼板彈簧7的扭矩如圖7。第二個變形如1，5，兩個葉片彈簧的變形的時刻myl1和myl2。第三個變形如2，4，6，8四個鋼板彈簧，這是受了前兩個變形的影響。式（8）表示X軸彎曲關節(jié)的轉動剛度方程。
l是鋼板的有效長度
最大應力
彎曲關節(jié)最大應力發(fā)生在Z軸旋轉變形的鋼板彈簧的末端位置。方程（9）所示的是彎曲關節(jié)的最大應力。
(9)
σmax是彎曲關節(jié)的的最大應力，KT是由Peterson和同事提出來的應力集中系數(shù)
柔性建模的驗證
檢驗柔性關節(jié)的剛度方程的有效性，它是通過名為臨工程學的有限元程序驗證的。表1給出了驗證結果，柔性關節(jié)的參數(shù)RI =60毫米，L =40毫米，B =30毫米，t= 2.5毫米。
表1所示的是剛度模型驗證結果
Unit
Analytic model
FEM simulation
Error (%)
kx
N/μm
441.630
416.899
5.6
ky
N/μm
441.630
416.899
5.6
kz
N/μm
168.013
148.691
11.5
kθx
Nm/μrad
0.69294
0.60492
12.7
kθy
Nm/μrad
0.69294
0.60492
12.7
kθz
Nm/μrad
0.02497
0.02282
8.6
σmax
MPa
202.05
221.851
9.8
彎曲關節(jié)的模型顯示了一個合理的預測低于13％的錯誤的剛度建模。
參數(shù)分析
要創(chuàng)建的優(yōu)化設計，一個彎曲的設計是需要探討如何彎曲關節(jié)的設計參數(shù)影響的六自由度的剛度和彎曲關節(jié)的最大應力參數(shù)分析。參數(shù)分析結果將確保優(yōu)化設計的結果是合理的。
柔性關節(jié)的設計參數(shù)如下：
鋼板彈簧高度：B。
鋼板彈簧長度：L
厚度的鋼板彈簧：T。
體內(nèi)的半徑：R
我們通過分析可以推導出彎曲關節(jié)的靈敏度與設計參數(shù)的變化。參數(shù)分析的結果如圖 8所示。
圖8 彎曲關節(jié)的參數(shù)分析結果
在設計圖所示的彎曲關節(jié)中，柔性關節(jié)的長度L是最敏感的設計參數(shù)，如上圖8，它是關于Z軸的轉動剛度和最大應力圖。設計參數(shù)b不影響柔性關節(jié)的最大壓力如圖8B所示。它只影響有關Z軸的轉動剛度。
柔性接頭的優(yōu)化設計
柔性接頭是用來實現(xiàn)補償偏航誤差的運動型裝置，它是通過旋轉角度對H型階段實現(xiàn)補償?shù)摹Ｒ虼?，柔性接頭必須有足夠低的軸轉動剛度。
在H型階段，穩(wěn)定時間取決于系統(tǒng)的結構剛度。H型階段的彎曲聯(lián)合設計在H型階段占主要部分，為了獲得所需的柔性關節(jié)的剛度而不影響H型階段所需的規(guī)格，就需要有足夠的旋轉剛度和離軸剛度。柔性關節(jié)設計變量是L，B，T，和R。在上一節(jié)中我們對每個設計變量進行了討論。
確定優(yōu)化設計的成本函數(shù)，以盡量減少對Z軸的轉動剛度和離軸剛度的最大化。方程（10）顯示的是柔性關節(jié)優(yōu)化設計的成本函數(shù)。
(10)
其中C1，C2，C3，C4是使設計更優(yōu)化，降低成本，包括一些制約因素的變量系數(shù)。例如，軸的最大應力應小于屈服應力，系統(tǒng)的規(guī)模和離軸剛度也有限制。
(11)
S是安全系數(shù)，f1最大應力約束，σyield是彎曲關節(jié)的屈服強度，θzd是所需的Z軸旋轉角度。
(12)
θzd是轉角約束，Sf2是安全系數(shù)，Mz驅動力矩。
(14)
KX和kθx是X軸和旋轉X軸的剛度值。
設計結果
用拉格朗日函數(shù)，二次規(guī)劃序列完成的優(yōu)化設計，這種方法一般保證局部最小值。圖9顯示的是收斂輪廓的成本函數(shù)，成本函數(shù)值逐漸收斂到一定值。圖10表明，最終的代價函數(shù)值的各個初始點收斂到相同的值，這證明了優(yōu)化設計結果達到最低分。
圖9 收斂型成本函數(shù)
因此，初始點對優(yōu)化設計結果進行了檢查。表3顯示了優(yōu)化設計的設計變量集。然而，考慮到制造成本的影響以及對設計變量的選擇，表4、表5顯示了柔性關節(jié)模型的特點。
表3 設計變量集
Design variables
Start points
Optimum results
Unit
S1
S2
S3
S4
Sopt
l
mm
25
30
40
50
42.10
b
mm
20
25
30
40
40.00
t
mm
1.5
1.8
2.0
2.5
1.92
ri
mm
55
60
70
75
61.56
表4 設計變量的最終尺寸
Final dimension
l (mm)
b (mm)
t (mm)
ri (mm)
Value
42.0
40.00
1.90
61.60
表5 彎曲關節(jié)的模擬特性
Start points
Optimum value
S1
S2
S3
S4
Sopt
Sdesign
kx (N/μm)
282.631
353.288
353.232
470.976
428.571
426.093
ky (N/μm)
282.631
353.288
353.232
470.976
428.571
426.093
kz (N/μm)
115.615
150.098
134.410
192.691
208.451
207.721
kθx (Nm/μrad)
2.15736
3.03916
4.19534
7.12071
0.92082
0.91806
kθy (Nm/μrad)
2.15736
3.03916
4.19534
7.12071
0.92082
0.91806
kθz (Nm/μrad)
0.584890
0.907587
0.915776
1.52629
0.01373
0.01349
σyield (MPa)
279.723
221.456
129.044
96.353
103.053
102.838
Active design variable
All
All
All
All
b
Non
Active constraints
g1, g2
g1, g2
g1, g2
g1, g2
g2
Non
Violated constraints
g1, g2, g3
g1, g2, g3
g2, g3
g2
Non
Non
實驗
如圖11所示的柔性關節(jié)。Y軸直線電機的組裝與龍門階段的柔性關節(jié)固定在一起，彎曲關節(jié)的材料是鋁7075 T6，它有足夠的屈服強度，并且可加工性高。
為了檢查的柔性關節(jié)的特點，我們做了一個彎曲關節(jié)的模態(tài)分析的實驗。分析了系統(tǒng)的固有頻率，驗證了優(yōu)化設計的結果。
圖12顯示了實驗裝置的模態(tài)分析。移動體的柔性接頭是一個脈沖輸入的沖擊錘，再用加速度計與彎曲聯(lián)合的振動方向的脈沖輸入連接起來，通過把測量的加速度數(shù)據(jù)輸入動態(tài)信號分析儀即可得到動態(tài)信號的頻域。
圖12 實驗裝置的模態(tài)分析
彎曲關節(jié)的模態(tài)分析如圖13，圖13顯示的頻率響應是X方向彎曲關節(jié)的應用脈沖輸入。它有兩個高峰期,第一個高峰是在Z軸的轉動模式下產(chǎn)生的,柔性關節(jié)在Z軸轉動模式下的最低頻率是284赫茲；第二個最高峰是在X轉動模式下產(chǎn)生的，它的最高頻率是2516赫茲。圖13 b顯示的是X軸的彎曲關節(jié)的脈沖時刻，它的脈沖時刻發(fā)生在X旋轉模式下，那么我們很難運用X軸的脈沖時刻對Z軸進行分析。模態(tài)分析結果如下表：
Contents
Unit
Analytical model
Experiment
Error (%)
X, Y
Hz
2790
2516
10.8
Z
Hz
1745
1820
4.12
θx, θy
Hz
2357
2220
6.17
θz
Hz
276
284
2.8
表6 模態(tài)分析的結果
表6是仿真結果與實驗結果進行的比較。實驗和分析模型之間的最大誤差為10.8％，這是一個合理的結果。因此，優(yōu)化設計實驗的模態(tài)分析對結果進行了驗證。
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