蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件橢圓.ppt

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掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì),第6課時(shí)橢圓,【命題預(yù)測(cè)】,1本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運(yùn)用，橢圓中各量的計(jì)算，關(guān)于離心率e的題目為熱點(diǎn)問題，各種題型均有考查，屬中檔題2考綱要求掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和運(yùn)用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系,3在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計(jì)高考題，是近年來高考中一個(gè)新的亮點(diǎn)，主要考查：(1)將向量作為工具解答橢圓問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設(shè)條件中4利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系來求解或證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,【應(yīng)試對(duì)策】,率e確定橢圓的形狀，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離p確定橢圓的大小注意焦點(diǎn)在x軸和y軸上對(duì)應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系涉及橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及橢圓上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用橢圓的第二定義對(duì)于后者，需要注意的是焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的正確對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò),1在運(yùn)用橢圓的兩種定義解題時(shí)，一定要注意隱含條件ac，離心,問題；準(zhǔn)確把握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標(biāo)準(zhǔn)”的含義；要能從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中讀出幾何性質(zhì)，能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題橢圓的幾何性質(zhì)是需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用其幾何性質(zhì)來分析和解決問題特別是橢圓的離心率，作為橢圓的幾何性質(zhì)之一，是高考的熱點(diǎn),2考綱要求掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，靈活運(yùn)用橢圓的定義來解決,得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再求判別式或應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系解題由判別式可以得到字母關(guān)系的范圍；利用根與系數(shù)關(guān)系、數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法可以解決中點(diǎn)弦或弦的垂直等問題橢圓在解答題的考查中計(jì)算量比較大，要有簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)：可先運(yùn)算字母關(guān)系，最后代入數(shù)值，這樣做可減少運(yùn)算錯(cuò)誤，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性,3解決直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯(lián)立、消元，,4由于平面向量具有“雙重性”，與平面解析幾何在本質(zhì)上有密切的聯(lián)，因此，在解答此類問題時(shí)，要充分抓住垂直、平行、長(zhǎng)度、夾角的關(guān)系，將向量的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式,【知識(shí)拓展】,焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形PF1F2稱作焦點(diǎn)三角形，如圖，F(xiàn)1PF2.(1)=arccos當(dāng)r1=r2時(shí)，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，且max=arccos(2)當(dāng)|y0|b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，SPF1F2最大，且最大值為bc.,2焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)AB為橢圓(abc)的焦點(diǎn)弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)則弦長(zhǎng)l2ae(x1x2)2a2ex0,通徑最短lmin,1橢圓的定義(1)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓必須滿足的兩個(gè)條件：到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的等于常數(shù)2a(a0)2aF1F2.(2)上述橢圓的焦點(diǎn)是，橢圓的焦距是.思考：當(dāng)2aF1F2時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？提示：當(dāng)2aF1F2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.,和,F1、F2,F1F2,2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),a,b,a,b,a,b,b,a,(a,0),(a,0),(0，b),(0，b),(0，a),(0，a),(b,0),(b,0),2c,(0,1),a2b2,探究：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示：離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越接近于圓,0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_答案：,1(2010東臺(tái)中學(xué)高三診斷)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足,2已知橢圓的方程是1(a5)，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，,且F1F28，弦AB過F1，則ABF2的周長(zhǎng)為_解析：a5，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上a22542，a.由橢圓的定義知ABF2的周長(zhǎng)為4a4答案：4,3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將,長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是_解析：2a18,2c2a6，a9，c3，b281972.答案：,4(揚(yáng)州市高三期末調(diào)研)已知F1、F2是橢圓,的左、右焦點(diǎn)，弦AB過F1，若ABF2的周長(zhǎng)為8，則橢圓的離心率為_解析：由題意知，ABF2的周長(zhǎng)為8，根據(jù)橢圓定義得4a8，即a2.又c2a2b21，所以橢圓的離心率e答案：,5橢圓上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為那么P到右焦點(diǎn)的距離為_,解析：a5，b3，c4，e答案：8,PF21028.,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時(shí)還可根據(jù)條件用代入法用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有能(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程(ab0)或(ab0)或mx2ny21.(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求,【例1】(江蘇南通調(diào)研題)一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程思路點(diǎn)撥：兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件,解：由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件，可知MO11R，MO29R.MO1MO210.由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3，b2a2c225916.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為,變式1：已知圓A：(x3)2y2100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0)，動(dòng)圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.,解：設(shè)|PB|r.圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，兩圓的圓心距PA10r，即PAPB10(大于AB)點(diǎn)P的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓2a10,2cAB6.a5，c3.b2a2c225916，即點(diǎn)P的軌跡方程為,1橢圓的性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如對(duì)橢圓(ab0)，,有axa，byb,0e0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1為其左焦點(diǎn),(1)求|PF1|的最小值和最大值；(2)在橢圓,上求一點(diǎn)P，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直,思路點(diǎn)撥：用x0，a，e表示PF1，(1)利用PF1與x0，a，e之間的關(guān)系求最值；(2)用PF1、PF2與x0，a，e之間的關(guān)系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求x0.,解：(1)對(duì)應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為xPF1aex0.又ax0a，當(dāng)x0a時(shí)，PF1mina當(dāng)x0a時(shí)，PF1maxa(2)a225，b25，c220，e2(aex0)2(aex0)24c2.將數(shù)據(jù)代入得25代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為,變式3：已知點(diǎn)P在橢圓1(ab0)上，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，,求PF1PF2的取值范圍解：設(shè)P(x0，y0)，橢圓的準(zhǔn)線方程為y不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)，則PF2aPF1PF2當(dāng)y00時(shí)，PF1PF2最大，最大值為a2；當(dāng)y0a時(shí)，PF1PF2最小，最小值為a2c2b2.因此，PF1PF2的取值范圍是b2，a2,y0a，,ay0a，,1直線與橢圓位置關(guān)系的判定把橢圓方程1(ab0)與直線方程ykxb聯(lián)立消去y，整理成形如Ax2BxC0的形式，對(duì)此一元二次方程有：(1)0，直線與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)0，直線與橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)(3)b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1F1F2，PF1(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過圓x2y24x2y0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程,思路點(diǎn)撥：(1)可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程；(2)解法一：設(shè)斜率為k，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；解法二：設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差變形，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率求解(即點(diǎn)差法),解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2aPF1PF26，a3.在RtPF1F2中，F(xiàn)1F2故橢圓的半焦距c從而b2a2c24，所以橢圓C的方程為(2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)已知圓的方程為(x2)2(y1)25，所以圓心M的坐標(biāo)為(2,1)，從而可設(shè)直線l的方程為：yk(x2)1，代入橢圓C的方程得：(49k2)x2(36k218k)x36k236k270.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以2，解得k,所以直線l的方程為y(x2)1，即8x9y250.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意),變式4：斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A、B兩點(diǎn)，則AB的最大值為_,解析：設(shè)橢圓截直線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由消去y，得5x28tx4(t21)0.則有x1x2t，x1x2.AB|x1x2|，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max,2(1)如果已知橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P，需要解決有關(guān)PF1F2的問題，由于在PF1F2中已知F1F22c，PF1PF22a，如果再給出一個(gè)條件，PF1F2可解(2)當(dāng)然如果涉及到橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也可考慮由和方程推出的結(jié)論焦半徑公式PF1aex0，PF2aex0.,【規(guī)律方法總結(jié)】,1求橢圓方程：(1)可通過對(duì)條件的“量化”根據(jù)兩個(gè)條件利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)可利用求軌跡方程的方法求橢圓方程,3在掌握橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對(duì)橢圓性質(zhì)有更多的了解，如(1)ac與ac分別為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值；(2)橢圓的通徑(過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)，是過橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值等,4求橢圓的離心率e，可根據(jù)已知條件列出一個(gè)關(guān)于a、b、c的齊次等式，再結(jié)合a2b2c2可得關(guān)于e的方程求解，求橢圓的離心率與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，比求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程少一個(gè)條件.,【例5】(2009重慶卷)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為_,分析：在PF1F2中根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式和已知條件比較尋找關(guān)于離心率e的不等式,【高考真題】,規(guī)范解答：根據(jù)已知條件PF1F2，PF2F1都不等于0，即點(diǎn)P不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，故P，F(xiàn)1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形在PF1F2中，由正弦定理得，則由已知得，即aPF1cPF2.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，由焦點(diǎn)半徑公式，得PF1aex0，PF2aex0，則a(aex0)c(aex0)得x0，由橢圓的幾何性質(zhì)知x0a，則a，,整理得e22e10，解得e1.又e(0,1)，故橢圓的離心率e(1,1)故填(1,1)答案：(1,1),【全解密】,本題考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，但試題的核心考查點(diǎn)是分析問題、解決問題的能力，試題給出的實(shí)際上是給出了這個(gè)橢圓上點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)的兩條焦半徑之間的一個(gè)等量關(guān)系，要求考生根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系建立關(guān)于離心率的不等式，對(duì)能力有較高的要求試題設(shè)計(jì)新穎，是一道值得仔細(xì)品味的試題,【命題探究】,橢圓的焦點(diǎn)半徑,果在橢圓C：1(ab0)中，點(diǎn)P(x0，y0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則PF1aex0，PF2aex0，F(xiàn)1F22c，e為橢圓的離心率，其證明過程如下：由于1，故，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式PF1=又由于ax0a，所以00，從而可求出離心率e的范圍,【誤點(diǎn)警示】,本題易出現(xiàn)的一個(gè)致命的錯(cuò)誤就是忽視了隱含條件“PF1F2，PF2F1都不能等于0”，這樣會(huì)導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于1.解答數(shù)學(xué)題目要注意對(duì)隱含條件的挖掘，確保答案準(zhǔn)確無誤，特別是解答選擇題和填空題尤為如此.,1已知橢圓x21和直線y2xm恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程,分析：解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，除利用根與系數(shù)關(guān)系外，也可以運(yùn)用點(diǎn)差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法,解：設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有,設(shè)MN的中點(diǎn)P(x，y)，則x1x22x，y1y22y.又2，24，即2xy0為所求軌跡方程(軌跡為已知橢圓內(nèi)的部分),2已知橢圓C：1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，問：能否在橢圓C上找到一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是|MF1|和|MF2|的等比中項(xiàng)(如圖)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由分析：對(duì)于探索性問題，可以先假設(shè)結(jié)論成立，尋找這個(gè)假設(shè)成立的等價(jià)條件，并與題設(shè)條件進(jìn)行對(duì)照，從而使問題得到解決在解本題的過程中，應(yīng)考慮到橢圓的第一定義、第二定義、橢圓的幾何性質(zhì)和基本不等式等知識(shí),解：解法一：設(shè)M點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(x0，y0)，則.|MN|x04|，|MF1|，|MF2|.代入等式|MN|2|MF1|MF2|，整理，得(x04)2.2x02，(x04)2(16x)，解得x04或xo.當(dāng)點(diǎn)M存在時(shí)，xo2,2，符合題設(shè)條件的點(diǎn)M不存在,解法二：由已知，得橢圓的半長(zhǎng)軸a2，半短軸b，半焦距c1，離心率e.又焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(1,0)和(1,0)，左準(zhǔn)線l的方程為x4.設(shè)|MN|t0，由橢圓的第二定義，|MF1|e|MN|et.,又由橢圓的第一定義，得|MF1|MF2|2a，|MF2|2aet.設(shè)M點(diǎn)存在，則|MN|2|MF1|MF2|，得t2et(2aet)t0，t.由于橢圓C上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的最短距離是橢圓左頂點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離，即a422.而|MN|t2，符合題設(shè)條件的點(diǎn)M不存在,