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用常規(guī)銑床制造準光鏡
Daniel Boucher, Jean Burie, Robin Bocquet, and Weidong Chen
龔仁華譯
摘 要：這里描述了一種加工鏡子的改進方法，仔細的選擇機器的參數(shù)和運行的表面參數(shù)可以生產(chǎn)出具有足夠的λ>15的精度。大量的焦距在50毫米到900毫米之間的球形,拋物線形及橢圓形鏡子是使用這種方法加工的。埃里克森已經(jīng)研究出來了怎么把焦距比提到最高的方法。而這些光學(xué)儀器,基本上是用于研制我們的遠紅外光譜儀。使用相當?shù)偷脑磩恿涂梢栽谶@類儀器上完成最精確的光線設(shè)計。整個系統(tǒng)將被描述成為一個獨立的部分，人們將看到,光束傳播時的功率損耗已經(jīng)達到非常低的絕對水平,基本上不會超過1 - 2%。
關(guān)鍵詞：銑床：離軸角
1.介紹
在亞毫米波或者是遠紅外領(lǐng)域，光線的傳遞比光線的反射的損耗要高出很多。主要是由于傳播的介質(zhì)材料具有較高的吸收作用和制造增透層要求較高。從高斯光束轉(zhuǎn)換方面來說，使用金屬反射鏡通常是一個很好的解決辦法。反射聚焦鏡在大功率處理的能力和寬頻帶操作上有額外的優(yōu)勢。
N.R·埃里克森在若干年前提出了一個很科學(xué)解決方法，他只用一臺傳統(tǒng)銑床來加工離軸鏡。這種方法已經(jīng)被許多工人在遠紅外領(lǐng)域中使用，至今仍然很受歡迎。它使光學(xué)器件的生產(chǎn)成本適中,而且不影響銑削過程中相關(guān)步驟中固有的數(shù)值。在本文中,我們應(yīng)用拋物線原理和橢圓球面鏡檢查的細節(jié)對原來N.R·埃里克森的方法提出了一些調(diào)整和改進。通過仔細估算誤差函數(shù)再加以修改得到的結(jié)果表明：大尺寸衍射限制的鏡子(即焦距比小的鏡子)可以比原來工作預(yù)期的更容易制造。
2.完成圓錐曲線
使用N.R·埃里克森的方法,確定圓錐曲線銑床的制造的表達式：
r(z)=(ztanθ+S)+{[R-(z/cosθ)]±d} ( 1 )
下圖表示銑床的配置。銑頭與常規(guī)垂直軸的夾角為（90°－θ）。回轉(zhuǎn)臺的軸線被稱為Z軸，在Z=0的平面上，平面上測得的S長度就是刀具和回轉(zhuǎn)臺軸線的距離。d的長度就是在垂直面上銑削軸線與回轉(zhuǎn)臺手臂的軸線之間的距離，R表示刀具切削軌道的半徑。在任何情況下焦點都位于Z軸上的Z=0點。
俯視圖
光軸投影
旋轉(zhuǎn)臺軸線
旋轉(zhuǎn)臺手臂
部分切削
刀具
側(cè)視視圖
光軸
圖Ⅰ：銑床機構(gòu)原理圖
方程(1)得到的是雙重值,但我們可以看到下面只有“-d” 對應(yīng)一個真正的圓錐形函數(shù)。z級數(shù)展開大概為零，那么我們要解決的問就是：
r(z)=[S+(R-d)]+(2Stane)z+[(d/Rcose)-l]z+(d/4 Rcosθ)z+(d/8 Rcosθ)z+ ....+ e1n2{[k(Rcose)] }z ( 2 )
其中e=d/(Rcosθ)，K=1,2,3…..n
下面這個函數(shù)可以與在（2）表達式中圓錐函數(shù)的一般表達式相比較：
r(z)=eh+(2eh)z+(e-1)z ( 3 )
這個表達式用來證實前面提到由N.R·埃里克森得出的關(guān)于d的表達式的觀點。
在(3)中，e就是所謂偏心距參數(shù),它的作用為：
e=1的時候是拋物線
e<1的時候是橢圓
e>1的時候是雙曲線
h確定圓錐曲線準線的位置。
式中清楚地表明一個旋轉(zhuǎn)曲面可以被分為一個確定的數(shù)和發(fā)散函數(shù)高次項的總和E。即：
E= （ 4 ）
其中En=e1n2{[n( Rcosθ)]}z
誤差函數(shù)的收斂性就可以很容易地表示為z < Rcoseθ。因此適當?shù)倪x擇參數(shù)R,e、D(鏡子尺寸)可以減少加工中的誤差問題。
方程(2)可以用來表示機械參數(shù)中所有的圓錐曲線?？梢杂萌齻€同步的非線性方程解決。
e=d/(Rcos2θ) ( 5 )
h=Stanθ/e ( 6 )
eh=S+(R-d) ( 7 )
這可以說明這個方法并不只適用于一種解決方案。
為了確定E函數(shù)的臨界值也可以添加一些額外的約束。在簡單考慮的基礎(chǔ)上可以獲得一個理論上的估計值。
對于衍射限制的聚焦鏡，表面粗糙度的均方值的不得超過λ/ 50。最大的表面誤差要求小于λ/17，這樣才能更好的達到其理想的性能。雖然這個問題不同于目前所說這種情況,表面誤差并不是隨機分布的，在衍射限制的條件下，可以用等效限制的方法來進行合理的運算。其中最大誤差用△r來表示。
△r =∣r(true conic curve)-r(actual generated curve)∣ ( 8 )
屈服于
△r= E/2r = Ez/2r 其中 E=d/(4Rcosθ) ( 9 )
根據(jù)衍射限制的條件我們可以得到：
△r< k/17 或者 E < 2λf/D （10）
其中D是指鏡子的直徑。
(5),(6),(7)和(9)給出了四個方程式，結(jié)合機械參數(shù)和鏡子的參數(shù)可以得出：
4Eh=[( 1 +tanθ-e)tanθ/(1 +tanθ)(tanθ-e) ] ( 11)
S=eh/tanθ (12)
R=e/(2coseθE) (12)
d=Recosθ (14)
這個問題就可以被精確地解決了。
由給定的方程式可以確定Eo，e和h，θ的值。同樣也可以得到S，R和d的值。
方程(13)可以看出，R的值是越大越好。但是在實際情況下它的數(shù)值是有限制的,它受到機械本身和機械振動的約束。一般在我們使用的機械系統(tǒng)中R = 100毫米是一個最大的值。
在這方面還有另外一點需要留意。我們注意到在當Z=0的時候會獲得一個無效的廓形誤差,相應(yīng)的,對于一個拋物線,就是90°的離軸鏡。
假如橢圓表面的無效誤差明顯的符合相同的值Z=0。我們將會在下面看到更多在這種情況下的詳細說明，這代表一個特定的離軸的情況。偏心距參數(shù)e用來確定離軸角。在90°離軸的情況下不能達到。
在他的原著中對于任何加工型材任何離軸的情況的可能性，N.R·埃里克森都做出了結(jié)論。這項結(jié)論并不適用需要達到最高的輪廓精度的情況。
3.軸偏離90°的拋物面鏡子
作為第一個例子,我們將討論拋物面鏡子，100毫米90°焦距的時候,長軸固定,有限衍射為2500千兆赫。可接受的峰值錯誤是k / 17,接近6微米。
對于拋物面：
e=1
h=f(1+cosφ)
其中f是鏡子的實際焦距，φ是離軸角。
對于f / 5拋物面約束(10)得到：
E<1.2510
由方程(11)可得, θ可以取47.5°。S，R，d的值就可以通過求解非線性方程(12)，(13)，(14)來確定，可以得到：
S=91.5mm，R=74.1mm,d=34.0mm
使用這些值可以得到一個誤差函數(shù)(8)的圖.II。這樣我們就可以得出結(jié)論：這個裝置在直徑20為毫米，對應(yīng)f / D = 5的時候?qū)⑦_到衍射極限。
△r(um)
Z(mm)
圖 II 100毫米拋物面鏡子焦距的誤差函數(shù)
4.橢球面鏡
從ABCD定律來看橢圓球面鏡子可以看作是一個簡單聚焦元件，其等效焦距f由下面得到：
f=f1f2/(f1+f2)
fl、f2分別是焦點和橢球面截面的中心點。(圖.III)。
焦點是總是位于鏡子截面的中心。所以對離軸角小于90°。偏心距由廈門可以得到：
e=sinφ/(1+cosφ)
這樣正如上文所言。fl-f2這對參數(shù)完全確定了離軸角φ的值。
參數(shù)可表示為：
f1=f(1+cosφ),h=f1/sinφ
E<2λf1/D
現(xiàn)在我討論橢圓球面鏡子的例子。相關(guān)的參數(shù)：等效焦距f= 100毫米,離軸角近似等于70°(即f1 = 134毫米)和f / 5，有限的衍射達到2500千兆赫,如：E< 1.6710。
求解非線性方程(11),(12),(13),(14)我們可以得到：
θ=35.9° R=43.6 mm, S=130.7 mm, d=14.3 mm
圖.III橢圓球面鏡子
對于有給定的焦距和相同有限的衍射條件的情況，一個橢圓球面鏡子比拋物面鏡子的R要短。這意味著，一個R = 100毫米f / 5的橢圓球面鏡子有限的衍射的波長將短于15微米或有限衍射在2500千兆赫時系統(tǒng)的衍射極限將為f / d = 2.9。
因此,在相同的機械約束的條件下,橢圓系統(tǒng)等效焦距的制造精度將高于拋物面形。在這兩種情況下,離軸角有一個特定值，90°在之前，φ = cos(fl / f2)在之后。
5球形鏡子
作為一個眾所周知的特例，當d = 0時方程(1)就是一個球形鏡子。對機械參數(shù)的選擇可以用下面這種方法：
d=0, 0=0, S=(4f-R)
其中R是翼型刀的半徑，它的選取一般為2R>D。
6討論
性能受到扭曲影響的離軸鏡(Ld)或者受到正交偏振影響的離軸鏡(Lc):
Ld=ωmtan(φ/2)/8f
Lc=ωmtan(φ/2)/4f
其中ωm是鏡面的光束半徑,φ是鏡子離軸角?？紤]到鏡子光圈和光線截斷的影像,要得到耦合效率約99%的一個基本高斯光束需要鏡面的直徑至少大于光束半徑的三倍。我們接下來可以得到：
Ld=tan(φ/2)/128(f/D)
Lc=tan(φ/2)/64(f/D)
對于由90°的離軸面鏡產(chǎn)生的基本高斯光束其離軸損失與焦距比的關(guān)系在下面的圖.IV中表示。這些損失在f / D>3的時候明顯可以忽略不計。
損失(%)
f/D
圖.IV鏡子離軸損失和f/ D的變化關(guān)系
7.結(jié)論
這里描述了一種加工鏡子的改進方法，仔細的選擇機器的參數(shù)和運行的表面參數(shù)可以生產(chǎn)出具有足夠的λ>15的精度。大量的焦距在50毫米到900毫米之間的球形,拋物線形及橢圓形鏡子是使用這種方法加工的。埃里克森已經(jīng)研究出來了怎么把焦距比提到最高的方法。而這些光學(xué)儀器,基本上是用于研制我們的遠紅外光譜儀。使用相當?shù)偷脑磩恿涂梢栽谶@類儀器完成最精確的光線設(shè)計。整個系統(tǒng)將被描述成為一個獨立的部分，人們將看到,光束傳播時的功率損耗已經(jīng)達到非常低的絕對水平,基本上不會超過1 - 2%。
8.參考文獻：
[1].N.R.ERICKSON, "Off-axis mirror made using a conventional milling machine", Appl. Opt.,18,956-957,1979
[2].G.GIRARD and A. LENTIN, "G~om~trie/M~canique", Hachette, 1964
[3].P.F.GOLDSMITH,"Quasi-optical techniques at millimeter and submillimeter wavelengths",Infrared and millimeter waves,6,ch.5,1982
[4].J.RUZE, "Antenna tolerance theory-A review",IEEE Prec.,54, 633-640,1966
[5].J.A.MURPHY,"Distortion of a simple Gaussian beam on reflection from off-axis ellipsoidal mirrors",Int.J.Infrared and Millimeter Waves,8,1165-1187,1987
[6].J.LESURF,"Millimetre-Wave Optics,Devices & Systems",Adam Hilger, Bristol and New York,1990
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