《一元函數(shù)積分學(xué)》PPT課件.ppt

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引言,第三章一元函數(shù)積分學(xué),積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問(wèn)題提出的，而定積分是作為微分的無(wú)限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計(jì)算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系,本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學(xué)核心定理（牛頓萊布尼茨式),解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡(jiǎn)單研究廣義積分,本章主要內(nèi)容：第一節(jié)不定積分第二節(jié)不定積分的計(jì)算第三節(jié)定積分第四節(jié)定積分的計(jì)算第五節(jié)廣義積分,3.1.1不定積分的概念,3.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則,第一節(jié)不定積分,在小學(xué)和中學(xué)我們學(xué)過(guò)逆運(yùn)算：如：加法的逆運(yùn)算為減法乘法的逆運(yùn)算為除法指數(shù)的逆運(yùn)算為對(duì)數(shù),3.1.1不定積分的概念,問(wèn)題提出,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,定義1若在某一區(qū)間上，F(xiàn)(x)f(x)，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)F（x）叫做函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)（primitivefunction）,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，而是有無(wú)窮多個(gè)比如，(sinx)cosx所以sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)，,而sinxC（C可以取任意多的常數(shù)）是cosx的無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),一般的，若F(x)f(x),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則等式F(x)+CF(x)f(x)成立（其中C為任意常數(shù)），從而一簇曲線方程F(x)C是f(x)無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),問(wèn)題提出,如果一個(gè)函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)存在，無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)是否都有一致的表達(dá)式F(x)C呢？,定理1:若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成F(x)C（C為任意常數(shù)）,思考：如何證明？,YES,定義2：若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)F(x)C稱為f(x)的不定積分（indefiniteintegral）,記為f（x）dxF（x）C,例1求函數(shù)f(x)x的不定積分,例2求函數(shù)f(x)/x的不定積分,由于函數(shù)f(x)的不定積分F(x)C中含有任意常數(shù)C，因此對(duì)于每一個(gè)給定的C，都有一個(gè)確定的原函數(shù)，在幾何上，相應(yīng)地就有一條確定的曲線，稱為f(x)的積分曲線因?yàn)镃可以取任意值，因此不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，即F(x)C,二、不定積分的幾何意義,因?yàn)镕(x)f(x)，這說(shuō)明，在積分曲線簇的每一條曲線中，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)橫坐標(biāo)xx點(diǎn)處有相同的斜率f(x)，所以對(duì)應(yīng)于這些點(diǎn)處，它們的切線互相平行，任意兩條曲線的縱坐標(biāo)之間相差一個(gè)常數(shù)因此，積分曲線簇yF(x)C中每一條曲線都可以由曲線yF(x)沿y軸方向上、下移動(dòng)而得到,二、不定積分的幾何意義,二、不定積分的幾何意義,例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，），且其切線的斜率為x的曲線方程,3.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則,一、不定積分的基本公式,由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算因此，有一個(gè)導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對(duì)應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式,基本積分表,(k為常數(shù)),例求,解:原式=,例求,解:原式=,關(guān)于不定積分，還有如下等式成立：f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx,F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C,二、不定積分的運(yùn)算法則,不為零的常數(shù)因子，可移動(dòng)到積分號(hào)前af(x)dxaf(x)dx（a）,兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx,例4求,解：原式=,例5求,解：原式,例6求,解：原式=,例7求,解：原式=,本節(jié)給出了不定積分的定義、幾何意義和基本公式及運(yùn)算法則。,3.1節(jié)課堂練習(xí),3.1節(jié)課堂思考,.不定積分的計(jì)算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計(jì)算不定積分，有時(shí)很困難，因此，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法:換元積分法與分部積分法,.不定積分的計(jì)算,3.2.1換元積分法,3.2.4*積分表的使用,3.2.3*有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介,3.2.2分部積分法,3.2.1換元積分法一、第一類換元積分法（湊微分法）有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行一定的變換后，積分表達(dá)式由于引進(jìn)中間變量而變?yōu)樾碌男问?，而新的積分表達(dá)式和新的積分變量可直接由基本積分公式求出不定積分來(lái).,例如,想到基本積分公式,若令ux，把x看成一個(gè)整體（新的積分變量），這個(gè)積分可利用基本積分公式算出來(lái),又如,第一類換元法,則有換元公式,例8求,解：原式=,推廣：,解：,例9求,解：原式=,例10求,解：原式=,例11求,解：原式=,類似可得,二、第二類換元積分法第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個(gè)較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時(shí)不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個(gè)代換x(t)，而積分f(x)dxf(t)(t)dt可用基本積分公式求解,定理2設(shè)f(x)連續(xù)，x(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)(t)，x(t)的反函數(shù)t-1(x)存在且可導(dǎo)，并且f(t)(t)dtF(t)C則f(x)dxF-1(x)C,例12求,解:令,則,原式,例13.求,解:令,則,原式,例14.求,解:,令,則,原式,令,于是,小結(jié):,被積函數(shù)含有,時(shí),或,可采用三角代換消去根式,例15求,解：設(shè),，則,從而原式,小結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)含有時(shí)，只需做代換，就可將根號(hào)去掉不定積分就變成容易的積分了。,上述第二類換元積分均是利用變換去掉被積函數(shù)中的根式，把積分轉(zhuǎn)化成容易積分,3.2.2分部積分法（integrationbyparts）如果uu(x)與vv(x)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)vduudv移項(xiàng)得udvd(uv)vdu從而udvuvvdu或udvuvvudx這個(gè)公式叫作分部積分公式，當(dāng)積分udv不易計(jì)算，而積分vdu比較容易計(jì)算時(shí)，就可以使用這個(gè)公式,例16.求,解:令,則,原式,在計(jì)算方法熟練后，分部積分法的替換過(guò)程可以省略,例17求不定積分,解：原式,例18.求,解:原式,移項(xiàng)整理可得,例19.求,解：原式,例20.求,解:原式=,思考：如何求,例21.求,解:令,則,原式,令,總結(jié):分部積分法主要解決被積函數(shù)是兩類不同類型的函數(shù)乘積形式的一類積分問(wèn)題，例如這些形式：P(x)eaxdxP(x)lnmxdxP(x)cosmxdxP(x)sinmxdxsinmxeaxdx其中m為正整數(shù)，a為常數(shù)，P（x）為多項(xiàng)式正確選取u(x)，v(x)，會(huì)使不定積分v(x)du(x)v(x)u(x)dx變得更加簡(jiǎn)單易求。,3.2.3*有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介有理函數(shù)總可以寫(xiě)成兩個(gè)多項(xiàng)式的比,其中n為正整數(shù)，m為非負(fù)整數(shù)，a，b，設(shè)分子與分母之間沒(méi)有公因子，當(dāng)nm時(shí)，叫做真分式；當(dāng)mn時(shí)，叫做假分式，假分式可以用除法把它化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和,多項(xiàng)式可以很容易地逐項(xiàng)積分，因此只需要討論真分式的積分，一般來(lái)講，先將真分式化成部分分式，部分分式的積分較容易，真分式的積分就會(huì)計(jì)算了,例22將分解成部分分式,解：由于真分式,可設(shè),右邊通分，再與左邊比較分子可得,從而,解得故,例23將分解成部分分式,右邊通分，再與左邊比較分子可得,從而,解：設(shè),因此,例24求,解：由例22結(jié)果,例25求,解：由例23結(jié)果,從而,例26求,解：設(shè),用待定系數(shù)法得：,從而,3.2.4*積分表的使用一般的積分表都是按照被積函數(shù)的類型進(jìn)行分類的，所以求不定積分時(shí)，首先找出被積函數(shù)所屬的類型，然后在積分表中查出相應(yīng)的公式有時(shí)，還需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，把被積函數(shù)化成積分表中所列出的形式，然后查積分表可看附錄,解：被積函數(shù)含abx，與附錄公式相同，其中a，b，于是,例27求,解：被積函數(shù)含有abxx2與附錄公式45相同，其中a3，b，c，b24ac，于是,例28求,說(shuō)明：積分運(yùn)算與微分運(yùn)算還有一個(gè)很不相同的地方，即任何一個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以根據(jù)基本導(dǎo)數(shù)公式和微分運(yùn)算法可求出來(lái)，并且仍然是初等函數(shù)但是，有許多初等函數(shù)卻“積不出來(lái)”，即這些函數(shù)的原函數(shù)存在，但這個(gè)原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表示，例如,積分計(jì)算困難嗎？想知道有什么數(shù)學(xué)軟件可以算積分嗎？上網(wǎng)查查看。,3.2節(jié)練習(xí),令,則原式,再利用例16做做看,3.2節(jié)思考:,怎么回事？,所以1=0,