《概率論》考研試題.pdf

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2 0 0 5 -2 0 1 2 年 全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試概率論與數(shù) 理統(tǒng)計(jì)部分 試題 2012考 研數(shù) 學(xué) (三 )一、選擇題 （ 7）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間 (0,1)上的均勻分布 ，則 +ΡΧ Υ≤ 2 2｛ 1｝ ( ) （ A） 14 （ B） 12 （ C） 8π （ D） 4π （ 8） 設(shè) 1 2 3 4X X X X， ， ， 為 來自總 體 N σ σ>2（ 1， ） （ 0） 的 簡單隨 機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 1 23 4| + -2|X XX X? 的分布 ( ) （ A） N（ 0， 1） （ B） (1)t （ C） 2(1)χ （ D） (1,1)F二、填空題 （ 14） 設(shè) , ,ABC是隨機(jī)事件 ， ,AC互不相容 ， 1 1( ) , ( ) ,2 3PAB PC= = 則 ( C)PΑΒ =_________.三、解答題 （ 22）已知隨機(jī)變量 X,Y以及 XY的分布律如下表所示： X 0 1 2 P 12 13 16 Y 0 1 2 P 13 13 13 XY 0 1 2 4 P 712 13 0 112 求（ 1） ( 2 )PX Y= ;（ 2） cov( , ) XYX YY? ρ與 .（ 23）設(shè)隨機(jī)變量 X和 Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為 1的指數(shù)分布 ， m in(, ), =m ax(, ).V XYU XY=求（ 1）隨機(jī)變量 V的概率密度 ； （ 2） ( )EUV+ . 2012數(shù) 學(xué)（ 一）一、 選擇題 （ 7） 設(shè)隨 機(jī) 變 量 X與 Y相 互獨(dú) 立 ， 且分 別 服從 參 數(shù) 為 1與 參數(shù) 為 4的指數(shù)分布，則 { } =σ 。設(shè) YXZ ?= (Ⅰ )求 1 2, ,...., nZZ Z的概率密度 ( )2,σzf(Ⅱ )設(shè) 1,z 為來自總體 Z的簡單隨機(jī)樣本，求 2σ的最大似然估計(jì)量 2σ(Ⅲ )證明 2σ 為 2σ的無偏估計(jì)量 . 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 年 考研 數(shù)學(xué) （一 ）一、 選擇題 (7)設(shè) ( ) ( )xFxF 21 , 為兩個(gè)分布函數(shù) ， 其相應(yīng)的概率密度函數(shù) ( ) ( )xfxf 21 , 是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是 (A) ( ) ( )xfxf 21 (B) ( ) ( )xFxf 122(C) ( ) ( ) xFxf 21 (D) ( ) ( ) ( ) ( )xFxfxFxf 1221 +(8)設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X與 Y相 互 獨(dú) 立 ， 且 EX與 EY存 在 ， 記 { }m ax ,U xy= ,{ } ,V xy= ,則 ( )EUV= YX (A)EUEV (B)EXEY (C)EUEY (D)EXEV三、解答題 (22) X 0 1 P 1/3 2/3 Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 ( ) 122 ==YXP ,求：(Ⅰ ) ),( YX 的分布；(Ⅱ ) XYZ= 的分布；(Ⅲ ) XYρ .(23)設(shè) nxxx ,,, 21?為來自正態(tài)總體 ( )20,σN 的簡單隨機(jī)樣本 ， 其中 0已知， 0 2 >σ 未知， x和 2S 分別表示樣本均值和樣本方差。 (Ⅰ )求參數(shù) 2σ的最大似然估計(jì) 2σ(Ⅱ )計(jì)算 2( )Eσ? 和 2( )Dσ? . 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 年數(shù)學(xué) （數(shù)三）一、選擇題 (7)設(shè) ( ) ( )xFxF 21 , 為兩個(gè)分布函數(shù) ， 其相應(yīng)的概率密度函數(shù) ( ) ( )xfxf 21 , 是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是 (A) ( ) ( )xfxf 21 (B) ( ) ( )xFxf 122(C) ( ) ( ) xFxf 21 (D) ( ) ( ) ( ) ( )xFxfxFxf 1221 +(8)設(shè)總體 X服從參數(shù) ( )0>λλ 的泊松分布 ， ( )2,,, 21 ≥nXXX n…為來自總 體的簡單隨機(jī)樣本，則對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 nni ini i XnXnTXnT 111,1 11211 +?== ∑∑ ?== (A) 2121 , DTDTETET >> (B) 2121 , DTDTETET (C) 2121 , DTDTETET >< (D) 2121 , DTDTETET <<二、填空題 (14)設(shè)二維隨機(jī)變量 ( )YX, 服從 ( )0;,;, 22 σσN ,則 ( )=2XYE三、解答題 (22) X 0 1 P 1/3 2/3 Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3 ( ) 122 ==YXP ,求 ： （ 1 ） ),( YX 的分布 ； （ 2 ） XYZ= 的分布 ； （ 3 ） XYρ .(23) ),( YX 在 G上服從均勻分布， G由 2,0 =+=? yxyx 與 0=y 圍成。（ 1 ）求邊緣密度 ( )xf X ； （ 2 ）求 ( )yxf YX . 2010年年年年數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(一一一一)一、選擇題 (7)設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 0 01( ) 121 2 x xFx x e x? ?? 則 { 1}PX= = (A)0 (B)1(C) 11 e2 ?? (D) 11 e?? (8)設(shè) 1( )f x 為 標(biāo)準(zhǔn) 正 態(tài) 分布 的 概率 密 度 2, ( )f x 為 [ 1,3]? 上 均勻 分 布 的概率密度 , 1 2 ( ) 0 ( ) ( 0, 0)( ) 0af x xf x a bbf x x ≤?= > >? >? 為概率密度 ,則 ,ab應(yīng)滿足(A) 2 3 4a b+ = (B)3 2 4a b+ =(C) 1a b+ = (D) 2a b+ =二、填空題 (14)設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 概 率 分 布 為 { } ( 0,1,2, ),!CPX k kk= = =?則 2EX= . 三、解答題（ 22） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( )X Y+ 的概率密度為 2 22 2( , ) e , , ,x xy yf xy A x y? + ?= ?∞< <∞?∞< <∞求常數(shù)及 A條件概率密度 | ( | ).YXf y x(23)設(shè)總體 X的概率分布為 X 1 2 3 P 1 θ? 2θ θ? 2θ其 中 (0,1)θ∈ 未 知 ,以 iN來 表 示 來 自 總 體 X的 簡 單 隨 機(jī) 樣 本 (樣 本 容 量 為 n)中等于 i的個(gè)數(shù) ( 1,2,3),i = 試求常數(shù) 1 2 3, , ,aa a 使 31 i iiT aN==∑ 為 θ的無偏 估計(jì)量 ,并求 T的方差 . 2009年 數(shù) 學(xué) （ 三）一、選擇題 （ 7）設(shè)事件 A與事件 B互不相容，則（）（ A） ( ) 0PAB= （ B） ( ) ( ) ( )PAB PAPB=（ C） ( ) 1 ( )PA PB= ? （ D） ( ) 1PA B∪ =（ 8） 設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 ， 且 X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 )1,0(N ,Y的概率分布為 { } { } 2110 ==== YPYP ，記 ( )zFz 為隨機(jī)變量 XYZ= 的分布函數(shù)，則函數(shù) ( ) zFz 的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 二、填空題 （ 14） 設(shè) 1 2, ,..., mXX X為來自二項(xiàng)分布總體 B(n,p)的簡單隨機(jī)樣本 ， ___X和 2S 分 別 為 樣 本 均 值 和 樣 本 方 差 。 記 統(tǒng) 計(jì) 量 2T X S= ? ， 則 ET=_________.三、解答題 （ 22） （本題滿分 1 1 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ),( YX 的概率密度為 ( , ) 0e y xf xy ? 0< <=? ?-x 其 他 （ I）求條件概率密度 | ( | )YXf y x（ II）求條件概率 [ 1| 1]P X Y= ≤ ≤（ 2 3 ） （本題滿分 1 1 分） 袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)有放回的從袋中取兩次 ，每次取一球，以 ZYX ,, 分別表示兩次取球的紅、黑、白球的個(gè)數(shù)。（ I）求 { } 01 ==ZXP（ II）求二維隨機(jī)變量 ),( YX 的概率分布 . 2008年一、選擇題 （ 7） 隨機(jī)變量 ,XY獨(dú)立同分布且 X分布函數(shù)為 ( )Fx ， 則 { }m ax ,Z XY=分布函數(shù)（ ） ( )A ( )2F x . ( )B ( ) ( )FxFy .( ) C ( ) 21 1 Fx? ?? ?? ? . ( )D ( ) ( )1 1Fx Fy? ?? ?? ?? ?? ?.（ 8）隨機(jī)變量 ( ) ~ 0,1X N ， ( )~ 1,4Y N 且相關(guān)系數(shù) 1XYρ = ，則（ ）( ) A { }2 1 1PY X=? ? =. ( )B { }2 1 1PY X= ? =.( ) C { }2 1 1PY X=? + = . ( )D { }2 1 1PY X= + = .二、填空題 (14)設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 服 從 參 數(shù) 為 1 的 泊 松 分 布 ， 則{ } 2PX EX= = . 三、解答題 (22)（本題滿分 1 1 分）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立， X概率分布為 { } ( )1 1,0,13PX i i= = =? ， Y的概率密度為 ( ) 1 0 10Y yf y ≤ ≤?=?? 其 它 ，記 Z X Y= + （ 1 ）求 1 02PZ X? ?≤ =? ?? ?. （ 2 ）求 Z的概率密度 .（ 23） （本題滿分 1 1 分） 1 2, , , nXX X?是總體為 2( , )Nσ 的簡單隨機(jī)樣本 .記 11n iiX Xn== ∑， 2 211 ( )1n iiS X Xn == ?? ∑ ， 2 21T X Sn= ? （ 1 ）證 T是 2的無偏估計(jì)量 .（ 2 ）當(dāng) 0, 1 σ= =時(shí) ，求 DT.2007年 一、選擇題 (9)某 人 向 同 一 目 標(biāo) 獨(dú) 立 的 重 復(fù) 射 擊 ， 每 次 射 擊 命 中 目 標(biāo) 的 概 率 為 p )10( <

（ B） ( ) ( ).PA B PB∪ >（ C） ( ) ( ).PA B PA∪ = （ D） ( ) ( ).PA B PB∪ =（ 14） 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X服 從 正 態(tài) 分 布 21 1( , )Nσ ， Y服 從 正 態(tài) 分 布 22 2( , )N σ ，且 1 2{| | 1} {| | 1},P X PY ? ? < 則（ ） （ A） 1 2.σ σ（ C） 1 2. 三、解答題 （ 22） 隨機(jī)變 量 x的概率 密度為 ( ) ( )2 1, 1 02 1,0 2 , ,4 0,x x f x x y x Fxy ? ?<

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