《大學(xué)數(shù)學(xué)》習(xí)題.doc
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大學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題 第一章 微積分的基礎(chǔ)和研究對象 1 微積分的基礎(chǔ)——集合、實數(shù)和極限 一．論述第二次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的背景和解決方法。 二．?dāng)⑹鰳O限，實數(shù)和集合在微積分中的作用。 二．?dāng)⑹鰧崝?shù)系的演變和性質(zhì)，寫出鄰域的概念。 2 微積分的研究對象——函數(shù) 一．填空題 1．函數(shù)的定義域 . 2．設(shè)函數(shù)f (x) = 則函數(shù)f[f(x)]= . 3．函數(shù)y =的反函數(shù)為 . 4．設(shè)是奇函數(shù),且(x)=.() , 則(x) 是___________函數(shù). 5．函數(shù)f (x) = sinxsin3x的周期T= . 二．求下列函數(shù)定義域 1．y = 4 + . 2．y = + . 三．設(shè) , 求. 四．設(shè)函數(shù)f (x) = , g (x) = ln x ， 求f [ g(x) ] , g [ f(x) ]. 五．已知f (sin) = cos x + 1 , 求f (cos). 六．證明題：設(shè)f(x)為定義在(-L,L)內(nèi)的奇函數(shù)，若f(x)在(0,L)內(nèi)單調(diào)增加，證明f(x)在(-L,0)內(nèi)也單調(diào)增加. 第二章 微積分的直接基礎(chǔ)——極限 1 數(shù)列的極限 一、 判斷題 1．?dāng)?shù)列中去掉或增加有限項，不影響數(shù)列的極限；（ ） 2．?dāng)?shù)列極限存在，則與極限均存在；（ ） 3．若，存在無限多個滿足，則有.（ ） 二．填空題 1．?dāng)?shù)列有界是數(shù)列收斂的 條件； 2． ； 3． ； 4． . 三．用極限定義證明 1．. 2．. 3．. 四．證明：若，則有，并舉例說明其逆命題不成立. 五．證明數(shù)列極限不存在. 2 函數(shù)的極限 一．填空題 1．設(shè)函數(shù)，則＝ ，＝ . 2． . 3．設(shè)，則 ， ，當(dāng) 時，. 二．判斷題 1. 若，，則有不存在；（ ） 2. ；（ ） 3. 若，，且，則；（ ） 4. ；（ ） 5. 若存在， 且則.（ ） 6．； （ ） 7．；（ ） 8．當(dāng)時，與是等價無窮小量，則； （ ） 9．無窮小量的代數(shù)和還是無窮小量 ；（ ） 10．當(dāng)時，無窮小量是關(guān)于的4階無窮小量； （ ） 11．因為時～～，所以有.（ ） 三．利用定義證明下列函數(shù)的極限 1．； 2．。 四．利用極限四則運算求下列極限 1． . 2． . 3．. 4． . 5．. 五．1．討論時，的極限. 2．討論函數(shù)在處的極限. 3．討論極限是否存在. 六．計算題 1．. 2．. 3．. 4．. 5．. 6．. 7．. 七．已知時，，求A與n . 八．已知是多項式，并且，又，求. 九．已知，試確定的值. 3 連續(xù)函數(shù) 一．填空題 1．若是(－∞,＋∞)上的連續(xù)函數(shù),則a=_________. 2．若有無窮間斷點x=0及可去間斷點x=1,則a=____________. 二．判斷題 1．若在均不連續(xù)，則在也不連續(xù) ；（ ） 2．若在均不連續(xù)，則在也不連續(xù)；（ ） 3．區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界 ；（ ） 4．若在點連續(xù)，則；（ ） 5．在內(nèi)單調(diào)，則在內(nèi)之多有一個零點.（ ） 三．求下列極限 1． ； 2．； 3． ； 4．. 四．設(shè)討論在處的連續(xù)性. 五．證明方程在區(qū)間內(nèi)有一實根. 六．設(shè)在上連續(xù)，且，證明：必存在使得 . 七．在連續(xù)，且存在，證明函數(shù)在有界. 第二章 復(fù)習(xí)題 一．填空題 1．的定義域是__________. 2．設(shè)f(x)的定義域是[1,2],則的定義域是_____________. 3．若當(dāng)x→x0時,α(x)與r(x)是等價無窮小,β(x)是比α(x)高階的無窮小, 則當(dāng)x→x0時,函數(shù)的極限是______________. 4．要使函數(shù)是無窮大, 則要求x趨向于值____________. 5．若在x=0處連續(xù), 則要a=______________. 二．單選題 1．f(x)=x()在其定義域(－∞,＋∞)是 (A)有界函數(shù); (B)單調(diào)增函數(shù); (C)偶函數(shù); (D)奇函數(shù). 2．設(shè). 則此函數(shù)是 (A)有界函數(shù); (B)奇函數(shù); (C)偶函數(shù); (D)周期函數(shù). 3．函數(shù)時的極限值是 (A) (B) (C)0, (D)不存在. 4．設(shè) 則x=0是f(x)的 (A)可去間斷點; (B)跳躍間斷點; (C)無窮間斷點; (D)振蕩間斷點. 5．設(shè) 則x=1是f(x)的 (A)連續(xù)點; (B)跳躍間斷點; (C)無窮間斷點; (D)振蕩間斷點. 三．求下列極限 1．； 2．； 3．； 4．； 5．. 五．證明：方程x2x=1至少有一個小于1的正根. 六．設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，a下載提示(請認真閱讀)
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