有限元法緒論(已排).ppt

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1,第2部分有限元分析及應用FiniteElementAnalysisandApplications,2,第6章有限元法的基本概念,3,在工程技術領域內(nèi)，經(jīng)常會遇到兩類典型的問題。第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續(xù)梁、建筑結構框架和桁架結構。這類問題稱為離散系統(tǒng)。如下圖所示平面桁架結構，是由6個承受軸向力的“桿單元”組成。,6.1工程和科學中典型問題,4,第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜裱幕痉匠?，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題等。由于建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元，這類問題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場問題。,盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡單問題的精確解答。對于許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答。為解決這個困難，工程師們和數(shù)學家們提出了許多近似方法。,6.1工程和科學中典型問題,5,6.2場問題的一般描述,實例：二維熱傳導（穩(wěn)態(tài)）問題,原理：從兩個方向傳入微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量Q平衡,基本方程：邊界條件：,6,6.3場問題的求解策略及方法,6.3.1求解策略1、直接法：求解基本方程和相應定解條件的解；2、間接法：基于變分原理，構造基本方程及相應定解條件的泛函形式，通過求解泛函的極值來獲得原問題的近似解。即將微分形式轉化與其等價的泛函變分的積分形式。6.3.2求解方法1、解析或半解析法：2、數(shù)值法：A）基于直接法的數(shù)值法，如差分法；B）基于間接法的數(shù)值法，如等效積分法（如里茲法）、有限元法等。,7,數(shù)值計算方法分類,8,先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節(jié)點相互連接；-即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集合近似代替每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示-通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即單元剛度方程）借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。,6.4有限元法基本思想,9,有限元法基本思想,10,節(jié)點位移向量表示：節(jié)點力向量表示：節(jié)點1沿x方向的位移、其余節(jié)點位移全為0時軸向壓力為：,實例1:(1)求右圖離散結構2的點位移,11,同理，節(jié)點2作用于單元1上的力，其大小與之相等，方向相反，x和y方向的分量分別記為：,注：表示第e個單元的第j個自由度產(chǎn)生單位位移，而其它自由度上的位移為零時，第i個自由度上所受的力。常稱其為單元的剛度系數(shù)。,實例1:(2)單元分析,節(jié)點1作用于單元1上的力，在x和y方向的分量分別為：,12,單元2節(jié)點力平衡方程,實例1:(2)單元分析,同理可求分別作單位位移時相應的剛度系數(shù)，考慮到節(jié)點的實際受力為和實際位移為，則據(jù)各個節(jié)點節(jié)點力平衡得：,13,結合前式推導得：,實例1:(3)整體分析,整體分析：作用于每個節(jié)點上的節(jié)點力平衡，即,14,整體矩陣記為：,求解上述整體方程，可得問題的節(jié)點位移。,實例1:(4)引入約束求解,將代入可得整體方程,15,實例2連續(xù)問題,例：求等截面直桿在自重作用下的拉伸。圖(a)中單位桿長重量為q，桿長為L，截面面積為A，彈性模數(shù)為E。,16,實例2,材料力學方法求解直桿拉伸：考慮微段dx，內(nèi)力N=q(L-x)dx的伸長為：x截面上的位移：根據(jù)幾何方程求應變，物理方程求應力。這里應變：應力：,17,i,L,1,i,L,+,圖2-3,i+1,i,i-1,2,),L,L,(,q,1,i,i,+,+,1、離散化,2、外載荷集中到結點上，即把陰影部分的重量作用在結點i上,實例2（1）結構離散,有限單元法求解直桿拉伸：直接公式法,18,實例2（2）單元分析,3、假設線單元上的位移為線性函數(shù),19,4、以i結點為對象，列力的平衡方程令將位移和內(nèi)力的關系代入得,用結點位移表示的平衡方程，其中i=1，2，n有n個方程未知數(shù)也有n個，解方程組，得出結點位移，進而計算應力。,實例2（2）單元分析,20,假設線單元數(shù)為3個的情況，平衡方程有3個：i=1時，i=2時,i=3時，聯(lián)立解得：,與材料力學的精確解答在結點處完全相同。,實例2（3）整體分析與求解,21,6.5有限元法的基本步驟,所研究問題的數(shù)學建模(問題分析)結構離散單元分析(位移函數(shù)、單剛方程)整體分析與求解(總剛方程與求解)結果分析及后處理,22,在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師和數(shù)學家從兩種不同的路線得到了相同的結果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源于固體力學中矩陣結構法的發(fā)展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結構等標準離散系統(tǒng)與人為分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結構上存在相似性。1956年，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與節(jié)點位移關系的單元剛度矩陣。1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術語。,6.6有限單元法的發(fā)展,23,數(shù)學家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權余量法。在1963年前后，經(jīng)過J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權余量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。,有限單元法的發(fā)展,24,我國的力學工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應用于結構分析，還能解決歸結為場問題的工程問題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設計和優(yōu)化提供了有力的工具。有限元法是一種數(shù)值計算方法?？蓮V泛應用于各種微分方程描述的場問題的求解。,有限單元法的發(fā)展,25,結構力學有限元法的力學基礎是彈性力學，而方程求解的原理是泛函極值原理，實現(xiàn)的方法是數(shù)值離散技術，最后的技術載體是有限元分析軟件。因此學習時，必須掌握的基本內(nèi)容應包括：1、基本變量和力學方程（即彈性力學的基本概念）;2、數(shù)學求解原理（即能量原理）;3、離散結構和連續(xù)結構的有限元分析實現(xiàn)（即有限元法的基本步驟）;4、有限元法的應用（即有限元法的應用領域或工程問題研究）;5、各種分析建模技巧及計算結果的評判;6、典型分析軟件的使用。注意：會使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具,6.7有限元法的基本內(nèi)容,26,在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，F(xiàn)EA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。,6.8有限元法的應用,27,應用實例：制動器數(shù)字模型及FEA網(wǎng)格,28,應用實例：制動器性能分析,29,30,亞洲第一，世界第二起重船高70米起重3500噸,應用實例：東海大橋和杭州灣大橋用起重船,31,應用實例：起重機和扁擔梁模型,32,面板剛度提高2.8倍,質(zhì)量減少35%,整體厚度下降,應用實例：面板剛性增強設計,33,34,35,結構離散（有限元建模）內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分-即把結構按一定規(guī)則分割成有限單元2）邊界處理-即把作用于結構邊界上約束和載荷處理為節(jié)點約束和節(jié)點載荷。要求：1）離散結構必須與原始結構保形-單元的幾何特性；2）一個單元內(nèi)的物理特性必須相同-單元的物理特性。,6.9有限元法的幾個基本概念,36,節(jié)點載荷,節(jié)點力,單元：即原始結構離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結構域。節(jié)點：單元與單元間的連接點。節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力。節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載。注意：1)節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結構與實際結構的重大差別；2）節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別。,單元與節(jié)點,37,典型單元類型,38,用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場）的近似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點物理量值插值構成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。選擇位移函數(shù)的一般原則：1）位移函數(shù)在單元節(jié)點的值應等于節(jié)點位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。為了便于微積分運算，位移函數(shù)一般采用多項式形式，在單元內(nèi)選取適當階次的多項式可得到與真實解接近的近似解,6.10插值函數(shù)（或位移函數(shù)）,39,6.11位移函數(shù)的構造方法,(1)廣義坐標法:一維單元位移函數(shù)：為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標,40,如一維單元:二維單元:注：Ni可為Lagrange、Hamiton多項式或形函數(shù)，在+1-1間變化,(2)插值函數(shù)法:即將位移函數(shù)表示為各個節(jié)點位移與已知插值基函數(shù)積的和。,6.12位移函數(shù)的構造方法,41,影響有限元解的誤差：1）離散誤差2）位移函數(shù)誤差收斂準則：1）位移函數(shù)必須包括常量應變（即線形項）；2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項）；3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；4）位移函數(shù)應使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）。注：上述四個條件稱為有限元解收斂于真實解的充分條件；前三個條件稱為必要條件。滿足四個條件的位移函數(shù)構成的單元稱為協(xié)調(diào)元；滿足前三個條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個條件的單元稱為完備元。,6.13有限元法的收斂準則,