經濟數學基礎——定積分在經濟學中的應用

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. 河北省高等教育自學考試 定積分在經濟學中的應用 ——定積分在經濟學中的應用 地 市：滄州市 專業(yè)：投資管理 姓名：郭夢帆 準考證號：091815100011 身份證號：131122199504140213 聯(lián)系電話：15531766187 內容摘要 經濟數學基礎本著基礎教學為專業(yè)服務及注重應用、培養(yǎng)能力的原則，根據微積分、線性代數、概率統(tǒng)計的基本知識邏輯，以知識介紹為重點，詳略得當；敘述上力求簡明、通俗，又不失科學性。 關鍵詞： 定積分 微分 經濟學 邊際函數 投資 經濟數學基礎知識點 1.一元函數極值 設函數f（x）在X0的一個鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于X0的X恒有:f(x)f(X0)，則f(X0)稱為函數的極小值，稱X0為極小值點．函數的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數的極值．極大值點、極小值點統(tǒng)稱為函數的極值點。 極值反映函數的局部性態(tài)，是一個局部概念．極大值不一定大于極小值，極大（?。┲挡灰欢ㄊ菂^(qū)間上的最大（?。┲担蜆O值點附近的范圍來說極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?；區(qū)間上的極值點可能有若干個。 2.二元函數極值 設函數Z=f(x, y)在點(x0,y0)的鄰域內有定義，對于該鄰域內異于(x0,y0)的點，如果都有f(x, y)f(x0,y0)，則稱f(x, y)為函數Z=f(x, y)的極小值；極大值和極小值統(tǒng)稱為二元函數Z=(x, y)的極值；使二元函數Z=（x, y）取得極大值的點或者極小值的點f(x0,y0)，稱為極大值點或者極小值點；極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點． 求多元函數的極值，一般可以利用偏導數來解決．與一元函數類似，可以利用函數的極大值、極小值求解函數的最大值、最小值，但是由于自變量個數的增加，應特別注意概念中的一些變化和計算．對于二元以上的函數極值問題可類似的加以解決，如可以將二元函數極值問題的理論推廣到多元函數的情形，以及利用泰勒公式推導出判斷多元函數極值存在的充分條件、極值不存在的必要條件等。 3. 定積分 定積分就是求函數f(X)在區(qū)間[a, b]中圖線下包圍的面積。即由 y=0,x=a, x=b, y=f(X)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。 設函數f(x) 在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，將區(qū)間[a, b]分成n個子區(qū)間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，x n=b。可知各區(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=xn-xn-1。在每個子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點 ξ I （1,2,...,n），作和式 設λ=max{△x1, △x2, …, △ x n}（即λ是最大的區(qū)間長度），則當λ→0時，該和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x) 在區(qū)間[a, b]的定積分，記為 定理1：設f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則f(x)在[a, b]上可積。 定理2：設f(x)區(qū)間[a, b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a, b]上可積。 定理3：設f(x)在區(qū)間[a, b]上單調，則f(x)在[a, b]上可積。 4.概率模型 概率模型是基于以下理論：給定一個用戶的查詢串和集合中的文檔 概率模型來估計用戶查詢串與文檔 相關的概率。概率模型假設這種概率只決定于查詢串和文檔。更進一步說，該模型假定存在一個所有文檔的集合，即相對于查詢串 的結果文檔子集，這種理想的集合用R表示，集合中的文檔是被預料與查詢串相關的。 下面將具體討論一種簡單的算法。 在查詢的開始間段只定義了查詢串，還沒有得到結果文檔集。我們不得不作一些簡單的假設，例如：（a）假定 對所有的索引術語 來說是常數（一般等于0.5）；（b）假定索引術語在非相關文檔中的分布可以由索引術語在集合中所有文檔中的分布來近似表示。這兩種假設用公式表示如下： 表示出現(xiàn)索引術語 的文檔的數目，N是集合中總的文檔的數目。在上面的假設下，我們可以得到部分包含查詢串的文檔，并為他們提供一個初始的相關概率。 5．期望 離散隨機變量的一切可能值與其對應的概率P的乘積之和稱為數學期望，決定可靠性的因素常規(guī)的安全系數是根據經驗而選取的,即取材料的強度極限均值(概率理論中稱為數學期望)與工作應力均值(數學期望)之比。 定積分在經濟中的應用 一直以來，定積分都是大學數學中的重要內容，它是解決實際問題的重要工具，在經濟學中有著廣泛的應用，所以本文對定積分的概念以及它在經濟學上的應用做了重點研究，并利用一些例題對定積分在經濟學上的應用進行了舉例分析。 1.定積分在邊際函數中的應用 積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數求出總函數. 設總量函數P(x)在區(qū)間I 上可導，其邊際函數為P′(x)，[a, x]∈ I ，則總有函數 當 x 從a 變到b 時，P(x)的改變量為 將 x 改為產量Q，且a=0 時，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤L(Q)， 可得 其中即為固定成本，為可變成本． （ 因為） 例 1. 已知某公司獨家生產某產品，銷售Q 單位商品時，邊際收入函數為 （元/單位）（a>0,b>0,c>0） 求：(1)公司的總收入函數；(2)該產品的需求函數. 解 ：(1)總收入函數為 === (2)設產品的價格為P，則，得需求函數為 2 .利用定積分由變化率求總量問題 如果求總函數在某個范圍的改變量, 則直接采用定積分來解決。 例2．已知某產品總產量的變化率為 ( 件/天) , 求從第5 天到第10 天產品的總產量。 解 所求的總產量為 (件) 3 .利用定積分求經濟函數的最大值和最小值 例3．設生產x 個產品的邊際成本C = 100+ 2x , 其固定成本為元,產品單價規(guī)定為500元。假設生產出的產品能完全銷售,問生產量為多少時利潤最大? 并求出最大利潤。 解：總成本函數為 = 總收益函數為R( x ) = 500x 總利潤函數為L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = = 400- 2x 令= 0, 得x= 200 因為 ( 200) < 0 所以, 生產量為200 單位時, 利潤最大。最大利潤為L( 200)=400 200--1000=39000( 元) 。 4． 利用定積分求消費者剩余與生產者剩余 在經濟管理中, 一般說來, 商品價格低, 需求就大; 反之, 商品價格高, 需求就小, 因此需求函數Q = f( P)是價格P的單調遞減函數。 同時商品價格低, 生產者就不愿生產, 因而供給就少; 反之, 商品價格高, 供給就多, 因此供給函數Q= g( P)是價格P的單調遞增函數。 由于函數Q = f( P)與Q = g( P)都是單調函數, 所以分別存在反函數P=與P= , 此時函數P=也稱為需求函數, 而P=也稱為供給函數。 需求曲線(函數) P=與供給曲線(函數) P=的交點A( P* , Q* )稱為均衡點。在此點供需達到均衡。均衡點的價格P* 稱為均衡價格, 即對某商品而言, 顧客愿買、生產者愿賣的價格。如果消費者以比他們原來預期的價格低的價格(如均衡價格)購得某種商品, 由此而節(jié)省下來的錢的總數稱它為消費者剩余。 假設消費者以較高價格P= 購買某商品并情愿支付, Q* 為均衡商品量, 則在[ Q, Q+]內消費者消費量近似為, 故消費者的總消費量為,它是需求曲線P=在與 Q*之間的曲邊梯形OQ*的面積, 如圖 如果商品是以均衡價格P* 出售, 那么消費者實際銷售量為P* Q* , 因此, 消費者剩余為 它是曲邊三角形的面積。 如果生產者以均衡價格P* 出售某商品, 而沒有以他們本來計劃的以較低的售價出售該商品, 由此所獲得的額外收入, 稱它為生產者剩余。 同理分析可知: P* Q* 是生產者實際出售商品的收入總額, 是生產者按原計劃以較低價格售出商品所獲得的收入總額, 故生產者剩余為 它是曲邊三角形的面積。 例4. 設某產品的需求函數是P=。 如果價格固定在每件10元, 試計算消費者剩余。 解：已知需求函數P=, 首先求出對應于P* = 10 的Q*值, 令 = 10, 得Q* = 10000。 于是消費者剩余為 = =(30Q- =66666.67(元)。 例5.　設需求函數Q＝8-，供給函數Q＝，求消費者剩余和生產者剩余. 解:　首先求出均衡價格與供需量. 得 ＝15，＝3. 令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得 CS＝， PS＝. 5. 利用定積分計算資本現(xiàn)值和投資 對于一個正常運營的企業(yè)而言，其資金的收入與支出往往是分散地在一定時期發(fā)生的，比如購買一批原料后支出費用，售出產品后得到貨款等等.但這種資金的流轉在企業(yè)經營過程中經常發(fā)生，特別對大型企業(yè)，其收入和支出更是頻繁的進行著.在實際分析過程中為了計算的方便，我們將它近似地看做是連續(xù)地發(fā)生的，并稱之為收入流(或支出流).若已知在t時刻收入流的變化率為f(t)(單位：元/年、元/月等)，那么如何計算收入流的終值和現(xiàn)值呢? 企業(yè)在［0，T］這一段時間內的收入流的變化率為f(t)，連續(xù)復利的年利率為r.為了能夠利用計算單筆款項現(xiàn)值的方法計算收入流的現(xiàn)值，將收入流分成許多小收入段，相應地將區(qū)間［0，T］平均分割成長度為Δt的小區(qū)間.當Δt很小時，f(t)在每一子區(qū)間內的變化很小，可看做常數，在t與t+Δt之間收入的近似值為f(t)Δt，相應收入的現(xiàn)值為f(t)e-rtΔt，再將各小時間段內收入的現(xiàn)值相加并取極限，可求總收入的現(xiàn)值為 現(xiàn)值＝，　　 類似地可求得總收入的終值為終值＝.　 例6．現(xiàn)對某企業(yè)給予一筆投資A, 經測算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤為r, 試求: ( 1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值; ( 2) 收回該筆投資的時間為多少? 解 ：( 1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值: 因收入率為a, 年利潤為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為 Y= 從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為 ( 2) 求收回投資的時間: 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資。由得T = 即收回投資的時間為T= 總結 定積分在數學中占重要地位。同時，它和經濟學也有很大的聯(lián)系，以上幾個方面的應用也只是定積分在經濟學中應用的一部分, 定積分還有很多在經濟學中的應用之處。只要勤于學習, 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感受到定積分的無窮魅力, 同時也能提高應用數學知識解決實際問題的能力。 .