高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第十二篇 第3講 數(shù)學歸納法

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第3講 數(shù)學歸納法A級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分) 1用數(shù)學歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應取() A7 B8 C9 D10解析左邊12，代入驗證可知n的最小值是8.答案B2用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，在第二步時，正確的證法是()A假設nk(kN)，證明nk1命題成立B假設nk(k是正奇數(shù))，證明nk1命題成立C假設n2k1(kN)，證明nk1命題成立D假設nk(k是正奇數(shù))，證明nk2命題成立解析A、B、C中，k1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k2為奇數(shù)答案D3用數(shù)學歸納法證明1，則當nk1時，左端應在nk的基礎上加上()A. BC. D.解析當nk時，左側(cè)1，當nk1時，左側(cè)1.答案C4對于不等式n1(nN*)，某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kN*且k1)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，1，nN*)，求證：S2n1(n2，nN*)證明(1)當n2時，S2nS411，即n2時命題成立；(2)假設當nk(k2，kN*)時命題成立，即S2k11，則當nk1時，S2k111111，故當nk1時，命題成立由(1)和(2)可知，對n2，nN*.不等式S2n1都成立8(13分)已知數(shù)列an：a11，a22，a3r，an3an2(nN*)，與數(shù)列bn：b11，b20，b31，b40，bn4bn(nN*)記Tnb1a1b2a2b3a3bnan.(1)若a1a2a3a1264，求r的值；(2)求證：T12n4n(nN*)(1)解a1a2a3a1212r34(r2)56(r4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)證明用數(shù)學歸納法證明：當nN*時，T12n4n.當n1時，T12a1a3a5a7a9a114，故等式成立假設nk時等式成立，即T12k4k，那么當nk1時，T12(k1)T12ka12k1a12k3a12k5a12k7a12k9a12k114k(8k1)(8kr)(8k4)(8k5)(8kr4)(8k8)4k44(k1)，等式也成立根據(jù)和可以斷定：當nN*時，T12n4n.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1用數(shù)學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析當nk時，左側(cè)123k2，當nk1時，左側(cè)123k2(k21)(k1)2當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D2(2013廣州一模)已知123332433n3n13n(nab)c對一切nN*都成立，則a、b、c的值為()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在這樣的a、b、c解析等式對一切nN*均成立，n1,2,3時等式成立，即整理得解得a，bc.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3已知整數(shù)對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第60個數(shù)對是_解析本題規(guī)律：211；31221；4132231；514233241；一個整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n1)對設123(n1)60，60，n11時還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12，12111210394857，第60個數(shù)對為(5,7)答案(5,7)4已知數(shù)列an的通項公式an(nN*)，f(n)(1a1)(1a2)(1an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的值是_解析f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2)，由此猜想，f(n)(nN*)答案(nN*)三、解答題(共25分)5(12分)設數(shù)列an滿足a13，an1a2nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式(不需證明)；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，試求使得Sn2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明解(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)Snn22n，使得Snn22n.n6時，266226，即6448成立；假設nk(k6，kN*)時，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1時，不等式成立；由、可得，對于所有的n6(nN*)都有2nn22n成立6(13分)(2012安徽)數(shù)列xn滿足x10，xn1xxnc(nN*)(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充分必要條件是c0；(2)求c的取值范圍，使xn是遞增數(shù)列(1)證明先證充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是遞減數(shù)列；再證必要性，若xn是遞減數(shù)列，則由x2x1可得c0.(2)解假設xn是遞增數(shù)列由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，對任意n1都有xn0，即xn1.由式和xn0還可得，對任意n1都有xn1(1)(xn)反復運用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1，xn1和 xn(1)n1兩式相加，知21(1)n1對任意n1成立根據(jù)指數(shù)函數(shù)y(1)n的性質(zhì)，得210，c，故0c.若00，即證xn對任意n1成立下面用數(shù)學歸納法證明當0c時，xn對任意n1成立(i)當n1時，x10，結(jié)論成立(ii)假設當nk(kN*)時，結(jié)論成立，即xn.因為函數(shù)f(x)x2xc在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk1f(xk)f()，這就是說當nk1時，結(jié)論也成立故xnxn，即xn是遞增數(shù)列由知，使得數(shù)列xn單調(diào)遞增的c的范圍是.特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設計高考總復習光盤中內(nèi)容.